2.2.4估算和用计算器开方 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：2.2.4 估算和用计算器开方副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们已经学习了平方根和立方根的定义与性质，但遇到无法直接开方的数（如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt[3]{7}\)）时，如何确定它们的近似值呢？今天我们将学习估算方法和用计算器开方，解决这一问题。幻灯片 2：学习目标理解估算的意义，掌握无理数（平方根、立方根）的估算方法，能估算出无理数的大致范围，并精确到指定位数。学会使用计算器求一个数的平方根和立方根，能根据计算器结果解决实际问题。体会估算在生活中的应用价值，培养数感和估算能力，感受 “近似与精确” 的数学思想。幻灯片 3：知识回顾平方根性质：正数有两个互为相反数的平方根，\(0\)的平方根是\(0\)，负数没有平方根；如\(\sqrt{9} = 3\)，\(\sqrt{16} = 4\)。立方根性质：任何数都有唯一立方根，正数立方根为正，负数立方根为负，\(0\)的立方根是\(0\)；如\(\sqrt[3]{8} = 2\)，\(\sqrt[3]{ - 27} = - 3\)。提出问题：对于\(\sqrt{10}\)（不是完全平方数）、\(\sqrt[3]{15}\)（不是完全立方数），它们的具体值是多少？如何确定它们的近似值？幻灯片 4：探究活动 1：估算平方根（以\(\sqrt{10}\)为例）第一步：确定\(\sqrt{10}\)的整数范围我们知道完全平方数的平方根是整数，先找出与\(10\)相邻的两个完全平方数：\(3^2 = 9\)，\(4^2 = 16\)，且\(9 < 10 < 16\)。根据平方根的性质（被开方数越大，平方根越大），可得：\(\sqrt{9} < \sqrt{10} < \sqrt{16}\)，即\(3 < \sqrt{10} < 4\)。结论：\(\sqrt{10}\)的整数部分是\(3\)，小数部分是\(\sqrt{10} - 3\)（因为\(\sqrt{10} = 3 + \)小数部分，且小数部分大于\(0\)小于\(1\)）。第二步：精确到十分位要确定\(\sqrt{10}\)的十分位数字，需计算\(3.1^2\)、\(3.2^2\)、\(3.3^2\)… 直到找到相邻的两个数，使它们的平方分别小于\(10\)和大于\(10\)：\(3.1^2 = 9.61\)（\(9.61 < 10\)）；\(3.2^2 = 10.24\)（\(10.24 > 10\)）。因此：\(3.1 < \sqrt{10} < 3.2\)，需进一步判断十分位是\(1\)还是\(2\)，计算中间值\(3.15^2\)：\(3.15^2 = 9.9225\)（\(9.9225 < 10\)），说明\(\sqrt{10}\)更接近\(3.2\)，但精确到十分位时，\(\sqrt{10} ≈ 3.2\)（或根据 “四舍五入”，因\(3.15^2 < 10\)，十分位取\(2\)）。第三步：精确到百分位（可选，加深理解）继续计算\(3.16^2\)、\(3.17^2\)：\(3.16^2 = 9.9856\)（\(9.9856 < 10\)）；\(3.17^2 = 10.0489\)（\(10.0489 > 10\)）。因此：\(3.16 < \sqrt{10} < 3.17\)，精确到百分位时，\(\sqrt{10} ≈ 3.16\)。总结估算平方根的方法找相邻的两个完全平方数，确定整数部分；逐步缩小范围，按要求精确到十分位、百分位等（“夹逼法”）；依据 “被开方数越大，平方根越大” 的性质，通过计算中间值的平方判断近似值。幻灯片 5：探究活动 2：估算立方根（以\(\sqrt[3]{15}\)为例）第一步：确定整数范围找出与\(15\)相邻的两个完全立方数：\(2^3 = 8\)，\(3^3 = 27\)，且\(8 < 15 < 27\)。根据立方根性质，可得：\(\sqrt[3]{8} < \sqrt[3]{15} < \sqrt[3]{27}\)，即\(2 < \sqrt[3]{15} < 3\)。结论：\(\sqrt[3]{15}\)的整数部分是\(2\)，小数部分是\(\sqrt[3]{15} - 2\)。第二步：精确到十分位计算\(2.4^3\)、\(2.5^3\)、\(2.6^3\)：\(2.4^3 = 13.824\)（\(13.824 < 15\)）；\(2.5^3 = 15.625\)（\(15.625 > 15\)）。因此：\(2.4 < \sqrt[3]{15} < 2.5\)，计算中间值\(2.45^3\)：\(2.45^3 = 2.45×2.45×2.45 = 6.0025×2.45 ≈ 14.706\)（\(14.706 < 15\)），说明\(\sqrt[3]{15}\)更接近\(2.5\)，精确到十分位时，\(\sqrt[3]{15} ≈ 2.5\)。总结估算立方根的方法与估算平方根类似，利用 “夹逼法”：找相邻的两个完全立方数，确定整数部分；计算十分位、百分位对应的数的立方，逐步缩小范围，精确到指定位数；注意立方根的符号（正数立方根为正，负数立方根为负，如\(\sqrt[3]{ - 15} ≈ - 2.5\)）。幻灯片 6：用计算器开方（以常见科学计算器为例）1. 用计算器求平方根（以计算\(\sqrt{10}\)为例）步骤：打开计算器，确保处于 “标准” 或 “科学” 模式；输入被开方数 “\(10\)”；按下平方根键 “\(\sqrt{\quad}\)”（部分计算器需先按 “SHIFT” 或 “2nd” 键，再按对应按键）；显示屏上显示结果 “\(3.16227766\)”，即\(\sqrt{10} ≈ 3.1623\)（根据需求保留小数位数）。注意：若计算负数的平方根，计算器会显示 “错误”（因负数没有平方根）。2. 用计算器求立方根（以计算\(\sqrt[3]{15}\)为例）步骤：输入被开方数 “\(15\)”；按下立方根键 “\(\sqrt[3]{\quad}\)”（部分计算器需先按 “SHIFT” 或 “2nd” 键，再按 “\(x^3\)” 键，因立方与开立方互为逆运算）；显示屏上显示结果 “\(2.466212074\)”，即\(\sqrt[3]{15} ≈ 2.4662\)；若计算负数的立方根（如\(\sqrt[3]{ - 15}\)），可先输入 “\(-15\)”，再按立方根键，结果为 “\(-2.466212074\)”，即\(\sqrt[3]{ - 15} ≈ - 2.4662\)。3. 计算器使用注意事项不同品牌计算器的按键布局可能不同，需先熟悉说明书，找到平方根、立方根对应的按键；计算结果需根据题目要求保留小数位数（如精确到十分位、百分位），注意 “四舍五入” 规则；对于完全平方数或完全立方数，计算器会显示整数结果（如\(\sqrt{16} = 4\)，\(\sqrt[3]{27} = 3\)）。幻灯片 7：例题讲解：估算与计算器开方的应用例题 1：估算应用题目：一个正方形的面积为\(28m^2\)，求它的边长（精确到\(0.1m\)），并判断该边长在哪两个相邻整数之间。解答：设正方形边长为\(x m\)，则\(x^2 = 28\)，即\(x = \sqrt{28}\)；估算\(\sqrt{28}\)：找相邻完全平方数：\(5^2 = 25\)，\(6^2 = 36\)，故\(5 < \sqrt{28} < 6\)（整数部分为\(5\)）；精确到十分位：\(5.2^2 = 27.04\)，\(5.3^2 = 28.09\)，因\(27.04 < 28 < 28.09\)，故\(5.2 < \sqrt{28} < 5.3\)；计算\(5.29^2 = 27.9841\)（接近\(28\)），\(5.30^2 = 28.09\)，故\(\sqrt{28} ≈ 5.3\)（精确到\(0.1\)）。结论：正方形边长约为\(5.3m\)，边长在\(5\)和\(6\)之间。例题 2：计算器开方应用题目：用计算器计算下列各数的平方根（精确到\(0.001\)）和立方根（精确到\(0.001\)）：（1）\(42\)；（2）\(-78\)解答：（1）\(42\)的平方根：用计算器计算\(\sqrt{42} ≈ 6.480740698\)，精确到\(0.001\)为\(6.481\)；\(42\)的立方根：\(\sqrt[3]{42} ≈ 3.476026645\)，精确到\(0.001\)为\(3.476\)；（2）\(-78\)的平方根：无（负数没有平方根）；\(-78\)的立方根：\(\sqrt[3]{ - 78} ≈ - 4.272658681\)，精确到\(0.001\)为\(-4.273\)。幻灯片 8：随堂练习估算下列各数的近似值（精确到\(0.1\)）：（1）\(\sqrt{17}\)：\(4.1^2 = 16.81\)，\(4.2^2 = 17.64\)，故\(\sqrt{17} ≈ 4.1\)；（2）\(\sqrt[3]{30}\)：\(3.1^3 = 29.791\)，\(3.2^3 = 32.768\)，故\(\sqrt[3]{30} ≈ 3.1\)；（3）\(-\sqrt{23}\)：\(4.7^2 = 22.09\)，\(4.8^2 = 23.04\)，故\(-\sqrt{23} ≈ - 4.8\)。用计算器计算（精确到\(0.01\)）：（1）\(\sqrt{56.7}\)：≈\(7.53\)；（2）\(\sqrt[3]{ - 123.4}\)：≈\(-4.98\)；（3）\(\sqrt{0.0089}\)：≈\(0.09\)。一个正方体的体积为\(50cm^3\)，用估算和计算器两种方法求它的棱长（精确到\(0.1cm\)）。估算：\(3^3 = 27\)，\(4^3 = 64\)，\(3.6^3 = 46.656\)，\(3.7^3 = 50.653\)，故棱长≈\(3.7cm\)；计算器：\(\sqrt[3]{50} ≈ 3.684\)，精确到\(0.1\)为\(3.7cm\)。幻灯片 9：课堂小结估算方法：核心是 “夹逼法”，通过找相邻的完全平方数（平方根）或完全立方数（立方根），确定无理数的整数部分；逐步计算十分位、百分位对应的数的平方（或立方），缩小范围，精确到指定位数；负数的立方根估算需注意符号（与正数立方根互为相反数）。计算器开方：平方根：输入被开方数（非负），按平方根键，注意结果保留小数位数；立方根：输入被开方数（任意实数），按立方根键，负数结果带负号；不同计算器操作略有差异，需熟悉按键功能。应用场景：估算适用于无计算器或快速判断范围的场景；计算器开方适用于需要精确结果的场景，两者结合可提高解题效率。幻灯片 10：课后作业基础题：估算下列各数（精确到\(0.1\)）：（1）\(\sqrt{22}\)；（2）\(\sqrt[3]{45}\)；（3）\(-\sqrt{31}\)。提升题：用计算器计算（精确到\(0.001\)）：（1）\(\sqrt{89.23}\)；（2）\(\sqrt[3]{ - 202.5}\)；（3）\(\sqrt{0.0123}\)。实践题：（1）测量家中一个正方形桌面的边长，计算它的面积（精确到【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 1.能通过估算检验计算结果的合理性，能用有理数估计一个无理数的大致范围，并能通过估算比较两个数的大小；2.会用计算器求平方根和立方根，并能探求数学中的规律.问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.(1)公园的宽大约是多少?它有1 000 m吗?(1)设公园的宽为x m，则长为2x m.根据题意，得2x2=400 000，即x2 =200 000，因为5002=250 000，所以x≈500.故公园的宽大约是500 m，没有1 000 m大.问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.知识点1 估算无理数的大小问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2.知识点1 估算无理数的大小(2)如果要求结果精确到10 m，它的宽大约是多少?(2)因为4502=202 500，4452=198 025，所以445＜x＜450，所以x≈450，所以结果精确到10 m，它的宽大约是450 m. 知识点1 估算无理数的大小问题 某地开辟了一块长方形的荒地，新建一个环保主题公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为 400 000 m2. 知识点1 估算无理数的大小 知识点1 估算无理数的大小 知识点1 估算无理数的大小 知识点1 估算无理数的大小要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”. 知识点1 估算无理数的大小  知识点1 估算无理数的大小   C知识点1 估算无理数的大小除了估算，我们也可以利用计算器进行开方运算.知识点2 用计算器进行开方运算尝试·思考(1)观察你的计算器面板，对于开方运算，可能用到哪些按键?  5.89知识点2 用计算器进行开方运算 -1285(2)任意找一个你认为很大的正数，利用计算器对它进行开平方运算，对所得结果再进行开平方运算，随着开方次数的增加，结果有什么规律吗？用另一个小于1的正数试一试，看看是否仍有类似的规律.(2)不管是很大的正数，还是小于1的正数，随着开方次数的增加，所得结果都不断趋近于1.知识点2 用计算器进行开方运算 知识点2 用计算器进行开方运算    (1)按键顺序： ， 7=225显示：85. (2)按键顺序： ， 1=2显示：3.464 101 615. 知识点1 估算无理数的大小 CA.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间 返回 BA.1 B.2 C.3 D.4 返回 BA.2 B.3 C.4 D.5 返回知识点2 用估算法比较数的大小   返回        返回知识点3 用计算器进行开方运算  56.745  0.296 返回7.用计算器比较下列各组数的大小：     返回 C  返回9. 如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是( )AA.4 B.5 C.6 D.7 返回   返回估算要估算带根号的无理数大小，常常通过平方或立方等运算，先确定其整数部分，再确定十分位、百分位等小数部分，这种估算的方法称为“夹逼法”.估算无理数的大小并比较大小用计算器进行开方运算无理数的大小必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！