甘肃省兰州市外国语学校七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份甘肃省兰州市外国语学校七年级下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可．
【详解】解：A.，故原选项错误；
B. ，故原选项错误；
C. ，计算正确；
D. ，故原选项错误
故选C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．
2. 下列各图中，与是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义即可进行解答．
【详解】解：根据题意可得：
与是对顶角的是
“ ”，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义，解题的关键是掌握如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．
3. 人体内一种细胞的直径约为0.00000156m，数据0.00000156用科学记数法表示为（ ）
A. 1.56×10﹣5B. 1.56×10﹣6C. 15.6×10﹣7D. ﹣1.56×106
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000156用科学记数法表示为1.56×10﹣6，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
4. 下面哪幅图象可以近似的刻画情境：足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】足球受力的作用后会升高，并向前运动，当足球动能减小后，足球不再升高，而逐渐下落，运动轨迹正好是一抛物线．
【详解】解：A、足球受力的作用后会升高，并向前运动，当足球动能减小后，足球不再升高，而逐渐下落，运动轨迹正好是一抛物线，选项符合题意；
B、球在飞行过程中，受重力的影响，不会一直保持同一高度，选项不合题意；
C、球在飞行过程中，总是先上后下，不会一开始就往下，选项不合题意；
D、受重力影响，球不会一味的上升，选项不合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数的图象，也考查了现实中的现象，赋予传统试题新的活力．
5. 下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可．
【详解】解：A、（-a+b）（-a-b）=a2-b2能用平方差公式计算，故选项A符合题意；
B、（a+b）（a-2b）不符合平方差公式，故选项B不符合题意；
C、（-a+b）（a-b）=-（a-b）（a-b），不能用平方差公式计算，故选项C不符合题意；
D、（-a-b）（a+b）=-（a+b）（a+b），不能用平方差公式，故选项D不符合题意，
故选：A．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键．
6. 若（x＋3）（x－5）＝x2＋mx＋n，则（ ）
A. m＝－2，n＝15B. m＝2，n＝－15C. m＝2，n＝15D. m＝－2，n＝－15
【答案】D
【解析】
【分析】将等式左边展开，再合并同类项，
【详解】解：（x＋3）（x－5）
＝x2-5x＋3x-15
= x2-2x-15
= x2＋mx＋n
∴m=-2，n=-15，
故选D．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握运算法则.
7. 星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离（千米）与时间（分钟）的关系图像．根据图像信息，下列说法正确的是（ ）．
A. 小王去时的速度大于回家的速度
B. 小王在朋友家停留了10分钟
C. 小王去时花的时间少于回家所花的时间
D. 小王去时走下坡路，回家时走上坡路
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可求出答案．
【详解】由图象可知：
小王去时时间为分钟，速度为：千米/分，
回家回家时间为分钟，速度为：千米/分，
所以A、C均错；
小王在朋友家呆的时间为：分钟，所以B对；
D选项无法判断；
故选：B
【点睛】本题主要考查函数图象，掌握函数图像上点的坐标的意义是关键．
8. 已知在直线l上有三个点A、B、C，点P在直线l外．若，则点P到直线l的距离（ ）
A. 等于B. 不小于
C. 不大于D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短进行判断即可．
【详解】解：∵，，且点到直线，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离不大于；
故选C．
9. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断即可．
【详解】A.，不符合题意；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，符合题意，
故选D．
【点睛】本题考查了是否构成三角形，熟练掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
10. 如图，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据即可得出答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及垂线的定义，熟知两直线平行同旁内角互补是解本题的关键．
11. 若一个三角形的三个内角度数的比为2︰3︰5，那么这个三角形的最大内角的度数为（ ）
A. 54°B. 60°C. 90°D. 100°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形的内角和和一个三角形的三个内角度数比为2：3：5，设出三个角，写出相应的方程，然后求解即可
【详解】解：设三个角依次为，，，
则，
解得：，
所以最大的角为，
故选：C．
【点睛】本题是基础题，考查的是三角形的内角和，一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
12. 动点H以每秒x厘米的速度沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从的路径匀速运动，相应的的面积与时间的关系图象如图2，已知，则说法正确的有几个（ ）
①动点H的速度是；
②的长度为；
③当点H到达D点时的面积是；
④b的值为14；
⑤在运动过程中，当的面积是时，点H的运动时间是和．
A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个
【答案】A
【解析】
【分析】先根据点H的运动，得出当点H在不同边上时的面积变化，并对应图2得出相关边的边长，最后经过计算判断各个说法．
【详解】解：当点H在上时，如图所示，
，
，
此时三角形面积随着时间增大而逐渐增大，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
∴，此时三角形面积不变，
当点H在上时，如图所示，是的高，C，D，P三点共线，
，点H从点C点D运动，HP逐渐减小，故三角形面积不断减小，
当点H在上时，如图所示，是的高，且，
，此时三角形面积不变，
当点H在时，如图所示，
，点H从点E向点F运动，HF逐渐减小，故三角形面积不断减小直至零，
对照图2可得时，点H上，
，
∴，，
∴动点H的速度是，故①正确，
时，点H在上，此时三角形面积不变，
∴动点H由点B运动到点C共用时，
∴，故②错误，
时，当点H在上，三角形面积逐渐减小，
∴动点H由点C运动到点D共用时，
∴，
∴，
在D点时，的高与相等，即，
∴，故③正确，
，点H在上，，
∴动点H由点D运动到点E共用时，
∴，故④错误．
当的面积是时，点H在上或上，
点H在上时，，
解得，
点H在上时，
，
解得，
∴，
∴从点C运动到点H共用时，
由点A到点C共用时，
∴此时共用时，故⑤错误．
综上分析可知，正确的有①③，共计2个，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题是动点函数的图象问题．考查了三角形的面积公式，函数图象的性质，理解函数图象上的点表示的意义，是解决本题的关键．
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
13. 已知，，则________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平方差公式解答即可．
【详解】解：因，
所以，
因为，
所以．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
14. 若，，则_____．
【答案】18
【解析】
【分析】根据幂的乘方和同底数幂的乘法的逆运算法则求解即可．
【详解】解：∵，，
∴
，
故答案为：18．
【点睛】本题考查幂的乘方和同底数幂的乘法，利用幂的乘方和同底数幂的乘法逆运算法则是解答的关键．
15. 若是一个完全平方式，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】解：∵是一个完全平方式，
∴，
∴．
故答案为：±12
16. 如图，两个正方形边长分别为a、b，如果，则阴影部分的面积为________．
【答案】38
【解析】
【分析】由图知：阴影部分面积=，再由已知条件和完全平方公式可求得的值，从而可求得结果．
【详解】阴影部分面积=


∵，，
∴，
∴，
∴阴影部分面积．
故答案为：38．
【点睛】本题考查完全平方公式的变形应用，单项式乘多项式，关键是把阴影部分的面积表示出来．
三、解答题（本大题共12小题，满分72分）
17. 计算：
【答案】21
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，先进行乘方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算即可．
【详解】解：原式．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查幂的运算，单项式乘以单项式，单项式除以单项式的运算，先进行积的乘方，幂的乘方运算，再进行单项式乘以单项式和单项式除以单项式的运算即可．
【详解】解：原式．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先化简，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当，时，
原式．
20. 如图，线段交于E．

（1）尺规作图：以点D为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据作一个角等于已知角的步骤作出图形即可．
（2）证明即可．
【小问1详解】
解：如图，射线即为所求作．
【小问2详解】
解：结论：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图-基本作图，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21. 已知多项式与的乘积的展开式中不含x的一次项，且常数项为2，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】先求出的值，即可得出，求出，代入后求出即可．
【详解】解：
，
∵多项式与的乘积的展开式中不含x的一次项，且常数项为2，
∴，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．
22. 图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度与旋转时间之间的关系．如图2所示，根据图中的信息，回答问题：
（1）根据图2补全表格；
（2）如表反映的两个变量中，自变量是 ，因变量是 ；
（3）在到时，随着时间x的增加，摩天轮上一点离地面的高度y的变化趋势是 ；（填“变大”或“变小”）
（4）根据图象，摩天轮的直径为 ．
【答案】（1）见解析 （2）旋转时间，圆上一点离地面的高度
（3）变大 （4）65
【解析】
【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）直接读图即可解答；
（2）根据因变量与自变量的定义即可解答；
（3）直接读图即可解答；
（4）根据离地面最短距离与距地面最大距离即可求解．
【小问1详解】
解：由图象可知，当时，，当时，；
填表如下：
【小问2详解】由图象可知，自变量为旋转时间，因变量为圆上一点离地面的高度；
故答案为：旋转时间，圆上一点离地面的高度；
【小问3详解】
由图象可知：到时，函数图象呈上升趋势，
∴随着时间x的增加，摩天轮上一点离地面的高度y的变化趋势是变大；
故答案为：变大；
【小问4详解】
由图可知，直径为：；
故答案为：65．
23. 完成下面推理过程：
如图，ABCD，∠ABC=50°，∠CPN=150°，∠PNB=60°，∠NDC=60°，求∠BCP的度数．
解：，（已知）
，（等量代换）
PN // CD，（ ）
_________=180°，（ ）
，（已知）
，（已知）
____________，（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
__________，（等量代换）
BCP=BCD－PCD=____________°－30°=_________°．
【答案】同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．
【解析】
【分析】根据平行线的判定推出PNCD，可得∠CPN＋∠PCD＝180°，求出∠PCD＝30°，根据平行线的性质得出∠ABC＝∠BCD，求出∠BCD＝50°，代入∠BCP＝∠BCD−∠PCD计算即可．
【详解】解：∵∠PNB＝60°，∠NDC＝60°，（已知）
∴∠PNB＝∠NDC，（等量代换）
∴PNCD，（同位角相等，两直线平行）
∴∠CPN＋∠PCD＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
∵∠CPN＝150°，（已知）
∴，
∵ABCD，（已知）
∴∠ABC＝∠BCD，（两直线平行，内错角相等）
∵∠ABC＝50°，（已知）
∴∠BCD＝50°，（等量代换）
∴∠BCP＝∠BCD−∠PCD＝50°−30°＝20°，
故答案为：同位角相等，两直线平行；PCD；两直线平行，同旁内角互补；BCD；两直线平行，内错角相等；50；20．
【点睛】本题考查了平行线性质和判定的应用，也考查了学生的推理能力，灵活运用各性质定理是解题的关键．
24. 如图，E为DF上的点，B为AC上的点，DF∥AC，∠C＝∠D，判断∠1＝∠2是否成立，并说明理由．
【答案】∠1＝∠2成立，见解析
【解析】
【分析】依据平行线的性质，即可得到∠C＝∠CEF，然后可得BD∥CE，进而得出∠3＝∠4，再根据对顶角相等，等量代换得到∠1＝∠2．
【详解】解：∠1＝∠2成立．
理由：∵DF∥AC，
∴∠C＝∠CEF，
又∵∠C＝∠D，
∴∠CEF＝∠D，
∴BD∥CE，
∴∠3＝∠4，
又∵∠3＝∠2，∠4＝∠1，
∴∠1＝∠2．
【点睛】此题考查平行线的判定与性质．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．
25. 如图，从一个长方形铁皮中剪去一个小正方形，长方形的长为米，宽为米，小正方形的边长为b米．
（1）求剩余铁皮（阴影部分）的面积．
（2）当时，求剩余铁皮的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查整式运算的应用：
（1）用长方形的面积减去正方形的面积，进行求解即可；
（2）将代入（1）中的结果中，进行计算即可．
【小问1详解】
解：；
答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为；
【小问2详解】
当时，；
答：剩余铁皮（阴影部分）的面积为．
26. 如图，直线相交于点O，，平分．
（1）证明：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了几何图形中的角的计算，用到了角平分线的定义、对顶角的性质、垂直的定义、邻补角等知识，熟练掌握各角之间的关系是解题的关键．
（1）由角平分线的定义得到，又由，，得到，结论得证；
（2）由，根据得到，根据对顶角相等即可得到的度数．
【小问1详解】
证明：∵，平分，
∴，，
∵，
∴，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
．
27. 如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则 ；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
【答案】（1），
（2）B （3）①3，②，6
【解析】
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，数字的变化类，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提，发现数字所呈现的规律是得出正确答案的关键．
（1）根据图2的长为，宽为，可表示出面积，图3阴影部分的面积是两个正方形的面积差，用代数式表示即可；
（2）由图2、图3面积相等可得答案；
（3）①根据平方差公式进行计算即可；
②将原式配上因式，连续利用平方差公式得出结果为，再根据底数为2的整数幂的个位数字所呈现的规律得出答案．
小问1详解】
解：图2阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
【小问2详解】
由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
【小问3详解】
①，即，而，
，
故答案为：3；
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
28. 已知，，点C在上方，连接．
（1）如图1，若，，求的度数；
（2）如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系；
（3）如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系．
（1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得；
（2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得；
（3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解．
【小问1详解】
解：过点C作，如图1，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，理由：
过点C作，如图，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即；
【小问3详解】
解：延长交于点Q，过点G作，如图3，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
由（2）可得：，
∴，
即．
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高
5
5
5
…
旋转时间x/min
0
3
6
8
12
…
高
5
70
5
54
5
…