2021-2022学年甘肃省兰州市八年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年甘肃省兰州市八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    在实数，，，，中，无理数有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2.    下列各点中，在第二象限的点是(    )

A.  B.  ， C.  ， D.

3.    将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.    下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

5.    点与点关于轴对称，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.    下列说法错误的是(    )

A. 是无理数 B. 的平方根是
C. 的算术平方根是 D. 的立方根是

7.    若是关于、的二元一次方程的解，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    已知和均在正比例函数图象上，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9.    某班的一次数学考试中，其中七名同学的成绩分别为：，，，，，，，这组数据的中位数和众数分别为(    )

A. ， B. ， C. ， D. ，

10. 将一次函数的图象向下平移个单位长度后，图象不经过(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

11. 九章算术是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．其中卷八方程七中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊直金几何？”译文：“假设有头牛、只羊共值金两；头牛、只羊共值金两．问每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，那么下面列出的方程组中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

12. 如图，已知直线：，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点，过点作轴的垂线交直线于点，则点的坐标为(    )

A.  ， B.  ， C.  ， D.   ，

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

13. 比较大小： ______填“”“”或“”
14. 一组数据，，，，其中最大的平均数与中位数相等，则为______．
15. 已知函数与函数的图象交点如图所示，则方程组的解是______．

16. 如图，在长为的线段上，作如下操作：经过点作，使得；连接，在上截取；在上截取，则的长为______．

三、解答题（本大题共12小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    计算：．
18. 本小题分
    解二元一次方程组
19. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，，，，作关于轴对称的图形，并写出点的对应点的坐标．

20. 本小题分
    如果关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，求的值．
21. 本小题分
    如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时千米的速度向南走，小方以每小时千米的速度向西走，小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．

22. 本小题分
    已知正实数的平方根分别是和，若，求的平方根．
23. 本小题分
    某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、教研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如表：单位：分

若学校将教学、教研和组织能力三项测试得分按：：的比确定每人的最后成绩，按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？

24. 本小题分
    某图书馆现有本图书供学生借阅，如果每个学生借本，请回答下列问题：
    请写出剩下的图书的数量本与借书学生人数之间的关系式．
    求个学生借书后图书馆剩下的图书数量．
25. 本小题分
    某生态柑橘园现有柑橘若干吨，计划租用、两种型号的货车将柑橘运往外地销售．已知满载时，用辆型车和辆型车一次可运柑橘吨；用辆型车和辆型车一次可运柑橘吨，则辆型车和辆型车满载时一次分别运柑橘多少吨？
26. 本小题分
    如图，已知等腰的底边，是腰延长线上一点，连接，且，．
    判断的形状，并说明理由；
    求的周长．

27. 本小题分
    为庆祝中国共产党建党周年，某中学组织七、八年级全体学生开展了“党史知识”竞赛活动，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取名学生的成绩满分为分．
    收集数据：
    七年级：，，，，，，，，，；
    八年级：，，，，，，，，，．
    整理数据：

分析数据：

根据以上信息回答下列问题：
求表格中，，，，的值；
通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．

28. 本小题分
    甲同学骑共享单车保持匀速从家到公园，到达公园后休息了一会，以相同的速度原路骑共享单车返回家中．设甲同学距离家的路程为，运动时间为，与之间的函数图象如图所示．
    ______．
    在甲同学从公园返回家的过程中，求与之间的函数关系式．
    在甲同学从家出发的同时，乙同学以的速度从公园匀速步行去甲同学家学习，当乙同学与甲同学之间的路程为时，直接写出甲同学的运动时间．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，，是有理数，，是无理数，
在所有数字中无理数有个，
故选：．
根据实数的概念进行辨别．
此题考查了对无理数的辨别能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
 

2.【答案】 

【解析】解：选项，在第二象限，符合题意；
选项，在第一象限，不符合题意；
选项，在第四象限，不符合题意；
选项，在第三象限，不符合题意；
故选：．
根据第二象限的点的坐标特征判断即可．
本题考查了点的坐标，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键，第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故不能组成直角三角形，不符合题意；
B、，故不能组成直角三角形，不符合题意；
C、，故不能组成直角三角形，不符合题意；
D、，故能组成直角三角形，符合题意．
故选：．
判断是否为直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

4.【答案】 

【解析】解：、被开方数含分母，不是最简二次根式，故A选项错误；
B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故B选项错误；
C、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故C选项正确；
D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故D选项错误．
故选：．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
 

5.【答案】 

【解析】解：点和点关于轴对称，
，，
则的值是：．
故选：．
直接利用关于轴对称点的性质得出，的值，进而得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：是无理数，选项正确，不符合题意；
的平方根是，选项错误，符合题意；
的算术平方根是，选项正确，不符合题意；
的立方根是，选项正确，不符合题意，
故选：．
利用无理数，平方根，算术平方根，立方根定义判断．
本题考查了无理数，平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是掌握无理数、平方根、算术平方根、立方根的定义．
 

7.【答案】 

【解析】解：将代入方程，得：，
解得：，
故选：．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
 

8.【答案】 

【解析】解：正比例函数的图象经过，
，解得，
正比例函数的解析式为，
在此函数上，
，
故选：．
直接把代入正比例函数即可得出的值，进而可得出正比例函数的解析式，再把代入求出的值即可．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：将这七名同学的成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数是分，因此中位数是分，
出现众数最多的是分，共出现次，因此众数是分．
故选：．
根据中位数、众数的定义和计算方法进行计算即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的意义，掌握中位数、众数的计算方法是解决问题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：将一次函数图象向下平移个单位长度，所得一次函数解析式为，
，，
直线经过二、三、四象限，
不经过第一象限，
故选：．
根据函数图象上加下减，可得平移后的函数解析式，根据函数解析式进行判断即可．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，利用函数图象的平移规律得到平移后的解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：设头牛值金两，只羊值金两，
由题意可得，，
故选：．
根据“头牛、只羊共值金两．头牛、只羊共值金两”，得到个等量关系，即可列出方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
 

12.【答案】 

【解析】解法一：解：直线：，过点作轴的垂线交直线于点，
，
，，
由勾股定理可得，
设，则，
轴，，
，
由勾股定理得，
，
解得：，
，，
轴，交直线于，
，
解得，
．
故选：．
解法二：解：直线：，过点作轴的垂线交直线于点，
，
直线，
设直线的解析式为，
直线过点，
，
解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，
轴，交直线于，
，
解得，
．
故选：．
解法一：根据所给条件可求出点的坐标，则，，根据勾股定理可得，设，则，根据勾股定理可得，可得，以此即可确定点的坐标．
解法二：根据所给条件可求出点的坐标，由可设直线的解析式为，将点坐标代入可求得，根据与轴交点为可求出其坐标，以此也可求出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理或利用两直线垂直的关系求出点的坐标是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故答案为：．
先判断出的取值范围，进而可得出结论．
本题考察的是实数的大小比较，先根据题意判断出是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：中位数是．
根据题意得：，
解得．
故答案是：．
首先求得中位数，根据平均数的定义，即可列方程求解．
本题主要考查了中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．
 

15.【答案】 

【解析】解：函数与函数的交点坐标是，
方程组的解为．
故答案为．
根据函数图象与二元一次方程组的关系，求方程组的解，就是求两方程所表示的两一次函数图象交点的坐标，从而得出答案．
本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，比较简单，熟悉交点坐标就是方程组的解是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，
，
由勾股定理得：，
，
．
故答案为．
利用可得，由勾股定理得：，根据即可求解．
本题考查了勾股定理的知识，解题的关键是利用勾股定理求得直角三角形的斜边的长．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：
，可得，
解得，
把代入，解得，
原方程组的解是． 

【解析】应用加减消元法，求出方程组的解是多少即可．
此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用．
 

19.【答案】解：如图所示，即为所求；
点的对应点的坐标为．
 

【解析】根据轴对称的性质，即可画出图形．
本题主要考查了作图轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
 

20.【答案】解：，
得：．
又，
，
解得：，
的值为． 

【解析】利用，可得出，结合，可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
本题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，通过解二元一次方程组，找出是解题的关键．
 

21.【答案】解：由题意可得：，，
则，
答：的距离为． 

【解析】根据题意得出，的长，进而利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出，的长是解题关键．
 

22.【答案】解：正实数的平方根是和，
，
，
，
，
．
的平方根是． 

【解析】根据平方根的概念可得的值，然后可得问题的答案．
此题考查的是平方根的概念，掌握其概念：如果一个数的平方等于，这个数就叫做的平方根，也叫做的二次方根是解答此题关键．
 

23.【答案】解：甲的成绩为：分，
乙的成绩为：分，
若按此成绩，乙将被录用． 

【解析】根据加权平均数的定义分别计算出甲、乙的平均成绩，从而得出答案．
本题主要考查加权平均数与算术平均数，掌握加权平均数和算术平均数的定义是关键．
 

24.【答案】解：由题意可得：；
将代入，
得：，
答：个学生借书后图书馆剩下的本图书． 

【解析】直接利用剩余总数借出总本书，进而得出关系式；
将代入求得的关系式即可求解．
 

25.【答案】解：设满载时辆型车一次可运柑橘吨，辆型车一次可运柑橘吨，
依题意，得，
解得：，
答：辆型车满载时一次可运柑橘吨，辆型车满载时一次可运柑橘吨． 

【解析】根据用辆型车和辆型车一次可运柑橘吨；用辆型车和辆型车一次可运柑橘吨，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可．
本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程组．
 

26.【答案】解：是直角三角形，
理由是：，，，
，
，
即是直角三角形；
设，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
，
，
的周长．
故的周长是． 

【解析】根据勾股定理的逆定理得出答案即可；
设，在中根据勾股定理求出，再求出的周长即可．
本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
 

27.【答案】解：八年级分的人数为，
，
七年级成绩中位数为，
即，
八年级的平均数为，
即，
八年级的众数为，
即，
八年级的方差为，
即；
八年级成绩比较好，理由如下：
七、八年级的学生成绩中位数和众数相同，但平均数八年级比七年级高，且从方差看，八年级的成绩更稳定，故八年级成绩比较好． 

【解析】根据抽样数据得出结论即可；
利用平均数、方差及众数得出哪个年级成绩好即可．
本题主要考查中位数、众数、方差等知识，熟练掌握中位数、众数、方差的知识是解题的关键．
 

28.【答案】 

【解析】解：根据题意，从家到公园与公园回家的路程和速度相等，则所用时间也相等，
，
，
故答案为：；
设与之间的函数关系式为：，
将与代入得，
解得，
与之间的函数关系式为：；
根据题意，公园到甲同学家的距离为，乙同学从公园匀速步行去甲同学家速度为，当时，，当时，，
对应的函数解析式为：，
甲同学从家去往公园的途中，对应的函数解析式为：，
当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距，
，解得；
当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距，
，解得，
当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家时，甲乙相距，
，解得，
综上所述：的值为或或．
根据题意，从家到公园与公园回家的路程和速度相等，则所用时间也相等，进而根据图象列式求解即可；
设与之间的函数关系式为：，将图象中的两个点代入解析式求得、即可求解；
本题需要进行分类讨论，分别以当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇前，甲乙相距，当甲同学在前往公园的途中，与乙同学相遇后，甲乙相距，当甲同学在返回家中的途中，当乙同学已经到达甲同学家时，甲乙相距为三种情况列式求解即可得解．
本题主要考查了一次函数的实际应用，准确分析图象并结合行程问题求解是解决问题的关键．