3.2.3建立平面直角坐标系 -课件-2025-2026学年2024北师大版数学八年级上册教学同步课件

幻灯片 1：封面课程标题：3.2.3 建立平面直角坐标系副标题：2024 北师大版八年级数学授课人：[授课人姓名]衔接提示：我们已经认识了平面直角坐标系，也掌握了点的坐标特征。但在实际问题中，如何根据图形或场景 “自主建立” 坐标系，让点的坐标更简洁、问题更易解决呢？今天我们就来学习建立平面直角坐标系的方法与技巧。幻灯片 2：学习目标理解建立平面直角坐标系的核心原则（让关键点位坐标简单，如落在坐标轴上），能根据几何图形或实际情境确定原点、坐标轴正方向和单位长度。掌握建立平面直角坐标系的基本步骤，能在建立的坐标系中写出图形顶点或关键点的坐标。能运用建立坐标系的方法解决简单问题（如求图形边长、面积），体会 “优化建系” 的数学思想，提升问题解决能力。幻灯片 3：知识回顾与情境导入1. 知识回顾平面直角坐标系三要素：原点 (O)、坐标轴（x 轴、y 轴，互相垂直）、单位长度（统一）；点的坐标特征：坐标轴上的点有一个坐标为 0，对称点坐标有固定变换规律，平行于坐标轴的直线上点的坐标有共性。2. 情境导入：为什么要 “合理建系”？问题 1：如图，有一个长方形 ABCD，若随意取一点作为原点，顶点坐标可能为 (2,3)、(5,3)、(5,7)、(2,7)；若将 A 点作为原点，AB 为 x 轴，AD 为 y 轴，坐标则为 (0,0)、(3,0)、(3,4)、(0,4)，明显更简洁。问题 2：校园内有教学楼、操场、图书馆，若以校门为原点，东西为 x 轴，南北为 y 轴，能更清晰地用坐标表示各地点位置。结论：建立坐标系时，合理选择原点、坐标轴方向和单位长度，能让点的坐标更简单，后续计算更便捷 —— 这是建立坐标系的核心目标。幻灯片 4：建立平面直角坐标系的核心原则1. 原点选择原则：优先选 “特殊点”几何图形中：选择图形的顶点、边的中点、对称中心等（如矩形的一个顶点、三角形的一个顶点或重心）；实际场景中：选择起点、中心点、标志性地点（如校门、广场中心、路线起点）。示例：三角形 ABC，选 A 为原点比选边上任意一点更简洁；圆形选圆心为原点，能让圆上点的坐标满足 “x²+y²= 半径 ²”。2. 坐标轴方向原则：贴合 “图形边” 或 “实际方向”几何图形中：让坐标轴与图形的边平行或重合（如矩形的边与 x 轴、y 轴平行，减少坐标计算量）；实际场景中：按 “上北下南左西右东” 或路线方向设定（如道路为东西走向，设为 x 轴）。示例：正方形 ABCD，让 AB 边沿 x 轴，AD 边沿 y 轴，顶点坐标均为非负整数，计算边长时直接用坐标差。3. 单位长度原则：“统一且适配”根据图形大小或实际距离设定：图形边长为整数时，单位长度设为 1（如边长为 5 的正方形，单位长度 1，坐标差为 5）；实际场景中：单位长度与实际单位对应（如 1 个单位长度代表 10 米，适配校园、街道等较大场景）；注意：同一坐标系内单位长度必须统一，不可随意更改。幻灯片 5：建立平面直角坐标系的基本步骤（四步法）步骤 1：确定原点 (O)根据原则选择特殊点作为原点，标注 “O (0,0)”。步骤 2：确定坐标轴正方向画 x 轴（横轴）和 y 轴（纵轴），确保两轴互相垂直；标注正方向（x 轴一般向右，y 轴一般向上，实际场景按需求调整），并标注 “x”“y”。步骤 3：确定单位长度根据图形大小或实际距离，在 x 轴、y 轴上标注刻度（如 1 格代表 1 单位）；确保单位长度统一，刻度均匀（如每 1cm 代表 1 个单位长度）。步骤 4：写出关键点坐标在建立的坐标系中，根据点的位置（向 x 轴、y 轴作垂线），写出关键点的坐标；检查坐标是否符合特征（如坐标轴上的点是否有一个坐标为 0），确保无错误。口诀总结：“选原点，定方向，标单位，写坐标”幻灯片 6：例题讲解 1：根据几何图形建立坐标系（多边形）例题：如图，已知三角形 ABC 为等腰三角形，AB=AC=5，BC=6，建立平面直角坐标系，并写出 A、B、C 三点的坐标。建系过程（优化方案）：步骤 1：选原点选择 BC 边的中点 O 作为原点（理由：BC 为底边，中点为对称点，能让 B、C 关于原点对称，坐标更简洁）。步骤 2：定坐标轴方向让 BC 边沿 x 轴（正方向向右），则 x 轴过 B、O、C；过 O 作 BC 的垂线为 y 轴（正方向向上），y 轴过 A（因 AB=AC，等腰三角形顶点 A 在底边中垂线上）。步骤 3：定单位长度BC=6，O 为中点，故 BO=OC=3，单位长度设为 1（x 轴上 O 到 B 为 - 3，O 到 C 为 3，符合整数坐标）。步骤 4：写坐标原点 O (0,0)；B 点：在 x 轴负方向，距离 O 为 3，坐标 B (-3,0)；C 点：在 x 轴正方向，距离 O 为 3，坐标 C (3,0)；A 点：在 y 轴正方向，AB=5，由勾股定理得 AO=√(AB² - BO²)=√(25-9)=4，坐标 A (0,4)。其他建系方案对比（体现 “优化”）：若选 B 为原点，BC 沿 x 轴：B (0,0)，C (6,0)，A (3,4)（坐标也简洁，但 O 为中点的方案让 B、C 坐标对称，更易计算）；若随意选原点：如选 A 为原点，AB 沿 x 轴，坐标会出现根号，计算复杂（不推荐）。幻灯片 7：例题讲解 2：根据实际场景建立坐标系（校园地图）例题：校园内有校门（A）、教学楼（B）、操场（C）、图书馆（D），已知：校门在教学楼正南方向 200 米处，操场在教学楼正东方向 300 米处，图书馆在教学楼西北方向 100√2 米处（西北方向即北偏西 45°）。建立平面直角坐标系，写出各地点坐标。建系过程：步骤 1：选原点选择教学楼（B）作为原点（理由：所有地点均以教学楼为参考，原点设为 B，坐标计算更直接）。步骤 2：定坐标轴方向按 “上北下南左西右东” 设定：x 轴正方向为东，y 轴正方向为北；标注 x 轴（东）、y 轴（北）及正方向。步骤 3：定单位长度实际距离为 200 米、300 米，单位长度设为 100 米（1 个单位长度 = 100 米，坐标均为整数，便于计算）。步骤 4：写坐标教学楼 B（原点）：B (0,0)；校门 A：在 B 正南方向 200 米（y 轴负方向 2 个单位），坐标 A (0,-2)；操场 C：在 B 正东方向 300 米（x 轴正方向 3 个单位），坐标 C (3,0)；图书馆 D：在 B 西北方向 100√2 米（北偏西 45°，x 轴负方向 1 个单位，y 轴正方向 1 个单位，因 100√2 米对应 x、y 轴各 100 米），坐标 D (-1,1)。幻灯片 8：学生活动：自主建立坐标系并写坐标活动任务：给定一个平行四边形 ABCD，AB=4，AD=3，∠A=90°（实际为矩形），请你自主建立平面直角坐标系，写出 A、B、C、D 四点的坐标（至少设计 2 种建系方案）；对比两种方案，说说哪种方案更优（坐标更简洁、计算更方便），并说明理由。参考方案：方案 1：A 为原点，AB 沿 x 轴，AD 沿 y 轴，坐标 A (0,0)、B (4,0)、C (4,3)、D (0,3)（最优，坐标均为整数，边与坐标轴平行）；方案 2：AB 中点为原点，AB 沿 x 轴，坐标 A (-2,0)、B (2,0)、C (2,3)、D (-2,3)（也简洁，但需计算中点）。教师指导：巡视学生建系情况，纠正 “坐标轴不垂直”“单位长度不统一”“原点选择不合理” 等问题，引导学生对比方案优劣。幻灯片 9：随堂练习已知一个正方形边长为 5，建立平面直角坐标系，使正方形的一个顶点在原点，两条邻边分别与 x 轴、y 轴重合，写出另外三个顶点的坐标。解答：原点为 A (0,0)，x 轴上顶点 B (5,0)，y 轴上顶点 D (0,5)，对角顶点 C (5,5)。如图，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，AB=3，建立平面直角坐标系，写出 A、B、C、D 的坐标（要求让 B 点在原点）。解答：B (0,0)，BC 沿 x 轴（C (5,0)），BA 沿 y 轴（A (0,3)），AD∥BC（AD 沿水平方向），D (2,3)。实际场景：小明从家（O）出发，向东走 150 米到超市（A），再向北走 100 米到公园（B），建立坐标系（1 单位 = 50 米），写出 O、A、B 的坐标。解答：O (0,0)，A (3,0)（150 米 = 3 单位），B (3,2)（100 米 = 2 单位）。幻灯片 10：课堂小结核心原则：建立坐标系需遵循 “原点选特殊点、坐标轴贴合边 / 方向、单位长度统一适配”，目标是让坐标简洁、计算便捷。基本步骤：四步法 —— 确定原点、定坐标轴方向、标单位长度、写关键点坐标。关键思想：优化思想：同一图形可有多套建系方案，需选择 “最优方案”（坐标最简单、后续计算最易）；数形结合：通过建立坐标系，将几何图形或实际场景转化为 “数”（坐标），用代数方法解决几何问题。幻灯片 11：课后作业基础题：（1）已知等边三角形边长为 4，建立平面直角坐标系，使其中一边在 x 轴上，这边的中点为原点，写出三个顶点的坐标；（2）在平面直角坐标系中，画出以 A (0,0)、B (2,0)、C (2,3)、D (0,3) 为顶点的矩形，计算矩形的面积（利用坐标差求边长）。提升题：（1）已知三角形三点坐标 A (1,2)、B (4,2)、C (2,5)，若重新建立坐标系，使 B 点为原点，x 轴沿 BA 方向（向左为正），求 A、C 在新坐标系中的坐标；（2）实际应用：学校操场是长方形，长 100 米，宽 60 米，以操场的西南角为原点，建立坐标系（1 单位 = 20 米），写出操场四个角的坐标，并计算操场对角线的长度（用坐标和勾股定理）。实践题：画出自己家的房间平面图（简单标注床、书桌、衣柜位置），建立平面直角坐标系，写出这些家具关键顶点的坐标（单位长度自定，如 1 单位 = 1 米），下节课分享。【2024新教材】北师大版数学 八年级上册 授课教师： . 班 级： . 时 间： . 旧识回顾1．点的坐标及其表示：2．各象限内点的坐标有什么特征？点的坐标用(a，b)表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”分开第一象限内的点，横坐标为正数，纵坐标为正数；第二象限内的点，横坐标为负数，纵坐标为正数；第三象限内的点，横坐标为负数，纵坐标为负数；第四象限内的点，横坐标为正数，纵坐标为负数游戏导入“工兵排地雷”游戏 根据给出的坐标，找到地雷的位置，如果你找对了，地雷就爆炸了，如果找不对，地雷就不会爆炸哦！(-5，0)、(0，4)、(6，4)、(6，-4)、(2，3)、(-2，3)、(-3，-3)、(-5，6)、(2，-3)、(4，-3)、(0，0). 如图,长方形ABCD的长与宽分别是6和4，建立适当的直角坐标系,并写出各个顶点的坐标. （1）你是如何建立的直角坐标系? （2）各顶点坐标如何求得?建立适当的平面直角坐标系例1思考46o64（0，4）（6，0）（0，0）（6，4）（1）确定坐标原点；（2）确定x轴和y轴，建立直角坐标系；（3）根据条件中线段长度表示各顶点的坐标.交流探究BCDA解:如图,以点C为坐标原点, 分别以CD , CB所在的直线为x 轴,y 轴建立直角坐标系. 此时C点坐标为( 0 , 0 ).xy0(0 , 0 )( 0 , 4 )( 6 , 4 )( 6 , 0) 由CD长为6, CB长为4, 可得D , B , A的坐标分别为D( 6 , 0 ), B( 0 , 4 ),A( 6 , 4 ) . 46 还可以建立其他平面直角坐标系，表示长方形的四个顶点A,B,C,D的坐标吗？46y（C）DABO思考探究64（0，0） （6，-4）（ 0，-4 ）（6，0）成果交流64（-6，4）（0，0）（-6，0）（0，4）成果交流64（0，0） （-6，0）（ 0，-4 ）（-6，-4）成果交流（-3，2） （3，-2）（-3，-2）（3，2）O成果交流（-3，4） （3，0）（ -3，0 ）（3，4）o12成果交流 (5) (6)1.选原点;2.画x，y坐标轴;3.建立平面直角坐标系.根据图形的特点，建立简单直角坐标系.建立直角坐标系的步骤：成果交流汇展 (1) (2) (3) (4) 思考 由前面得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？小结：建立平面直角坐标系，一般要使图形上的点的坐标容易确定，例如以长方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系,又如以长方形的中心为原点建立平面直角坐标系．需要说明的是，虽然建立不同的平面直角坐标系，同一个点会有不同的坐标，但图形的形状和性质不会改变． （1）选取的坐标系不同，同一点的坐标不同；（2）为使计算简化，证明方便，需要恰当地 选取坐标系；（3）“恰当”意味着要充分利用图形的特点： 垂直关系、对称关系、平行关系、中点等.解: 如图,以边AB所在的直线为x轴,以边AB的中垂线为y轴建立直角坐标系.  例2 如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .224OD224A （2， ） C（4 ， 0）B（ 0， 0 ）如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .不同解法展示D如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .224A （-2， ） C（0 ， 0）B（ -4， 0 ）不同解法展示224DEA （0， ） C（2 ， ）B（ -2， ）不同解法展示如图，对于边长为 4的正三角形ABC, 建立适当的直角坐标系 ,并写出各个顶点的坐标 .知识点1 建立适当的坐标系求点的坐标 AA. B. C. D. 返回（第2题）        返回   返回知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标 C（第4题）  返回（第5题） D  返回（第6题）   返回   返回 D  返回（第9题） D  返回（第10题）   返回11.为更好地开展古树名木的系统保护工作，某公园对园内的5棵百年古树都利用坐标确定了位置，并且定期巡视。           返回  解：建立平面直角坐标系如图：          返回必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！