专题12 二次函数与几何动点及最值﹑存在性问题（期末复习专项训练，十四大题型压轴）九年级数学上学期人教版+答案

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题型一 与线段交点个数问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·江西新余·期中）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(5,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上一点D，满足S△DAC=S△OAC，求点D的横坐标；
(3)如图2，已知N(0,1)，将抛物线在点A、B之间部分（含点A、B）沿x轴向上翻折，得到图象T（虚线部分），点M为图象T的顶点，现将图象T保持其顶点在直线MN上平移，得到的图象T1与线段BC至少有一个交点．求图象T1的顶点横坐标的取值范围．
2．（25-26九年级上·安徽六安·月考）已知抛物线y=ax2−2ax−2a≠0与y轴交于点C．
(1)该抛物线经过一个定点D（异于点C），请求出D点的坐标．
(2)若该抛物线与x轴交于点A−1,0、B，且点E是该抛物线上位于直线BC下方的点，求出四边形ACEB的最大面积，并写出面积最大时点E的坐标．
(3)已知点M4,2，若该抛物线与线段OM有交点，试求a的取值范围．
3．（25-26九年级上·浙江绍兴·阶段练习）已知二次函数y=−x2+2tx+2（t为常数）．
(1)证明：该二次函数图象与x轴必有两个交点．
(2)已知点M−1,1，N3,1，若该二次函数图像与线段MN只有一个交点，求t的取值范围．
(3)若图像上有点Am,a，Bm+2,a，C4,b，且满足a>b>2，求m的取值范围．
题型二 抛物线上的点到某一直线的距离问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为4,0，点C坐标为0,4，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一个点，连接PC，PB，当四边形PBOC的面积最大时，求出P点的坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，记PM的长为d，点P到y轴的距离为g，且l=d+g．
①求l与m的函数解析式；
②当l=14时，直接写出m的值．
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中；已知抛物线的顶点坐标为2,0，且经过点4,1，如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=−1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA−PB取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知Fx0,y0为平面内一定点，Mm,n为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
3．（2025·湖北孝感·三模）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上不与A、C重合的一动点，过点P作直线AC的平行线交x轴于点D，交y轴于点E，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图①，当点P在第二象限时，若PD=PE，求m的值；
(3)将C，E两点间的距离记为d，当两点重合时其距离为0．
①求d关于m的函数解析式；
②当PD≤AC时，请直接写出m的取值范围及对应的d的取值范围．
题型三 已知点关于直线对称点问题（共4小题）
1．（2025·陕西铜川·模拟预测）自古以来，放风筝便是春天不可或缺的乐趣之一．如图是某同学设计的一只风筝的平面示意图，其外轮廓为三角形，中间有一个抛物线形的装饰图案，抛物线的顶点为P，抛物线与三角形的一边相交于O、A两点（点O与点A关于抛物线的对称轴对称），以OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，已知OA=8dm，点P到OA的距离为8dm．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)已知点H的坐标为4,2，该同学准备在抛物线上取两点M、N（点M与点N关于抛物线的对称轴对称），MN与抛物线对称轴的交点为D，点D在点H的上方，沿MN和DH缝制两条装饰线条，请你计算MN与DH长度之和的最大值．
2．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）抛物线y=12x2−x+c与x轴相交于点A和点B3,0，与y轴相交于点C，D是抛物线的顶点，P，Q是抛物线上动点，P，Q关于抛物线的对称轴对称，设点P的横坐标为m．
(1)直接写出c的值及点D的坐标；
(2)如图1，若点P在对称轴左侧，PQ交y轴于点E，当EQ=EC时，求m的值；
(3)若点P在第四象限，设此抛物线在点C与点P之间的部分（包括点C和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h．求h关于m的函数解析式；
3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A1,0,B−6,0两点，与y轴交于点C．
(1)求拋物线的函数解析式．
(2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD+2PE的最大值及此时点P的坐标．
(3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在PD+2PE取得最大值的条件下，连接AP，交y轴于点M，平移后的抛物线上是否存在一点N，使得∠AMN=90°？若存在，直接写出符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知，如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=x−2经过A、C两点．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)P为抛物线上一点，若点P关于直线AC对称点Q落在y轴上，求P点坐标；
(3)现将抛物线平移，保持顶点在直线y=x−114，若平移后的抛物线与直线y=x−2交于M、N两点．
①求证：MN的长度为定值；
②结合（2）的条件，求△QMN的周长的最小值．
题型四 特殊角度存在性问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+2与x轴相交于A−2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q，使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图1，已知抛物线y=ax2+bx−3的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为−1,0，且抛物线对称轴为直线x=1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M，作PN⊥y轴交y轴于点N，求PM+PN的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，连接AC、BC，在直线BC下方抛物线上是否存在一点Q，使得∠ACO+∠QBC=45°，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·江苏无锡·三模）如图，抛物线y=−12x2+bx与x轴交于点A5,0．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点B1,m是抛物线上一点，点C是线段AB上一点，连接OC并延长交抛物线于点D，若OCCD=54，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点P，使得∠OPA=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
题型五 将军饮马模型解决存在性问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·天津蓟州·月考）已知，抛物线y=−x2+bx+c经过点A−1,0和C0,3．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PAC的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
2．（25-26九年级上·安徽·阶段练习）抛物线y=(x+1)2+k与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)抛物线的对称轴是直线 ，k的值是 ；
(2)若抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
(3)点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，当点M运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标．
3．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A−1,0，B2,0，交y轴于点C0,−2．

(1)求二次函数的解析式；
(2)点P在该二次函数图象的对称轴上，且使PB−PC最大，求点P的坐标；
(3)在平面内是否存在一个点M，使点A、点C、点M、点B所围成的图形为平行四边形，若存在求出M点的坐标；若不存在请说明理由．
题型六 二次函数中面积存在性问题（共5小题）
1．（25-26九年级上·新疆和田·月考）如图，已知抛物线y=ax2+32x+4的对称轴是直线x=3，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线表达式；
(2)求A，B两点的坐标；
(3)如图，若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），是否存在点P，使三角形△BPC的面积最大？若存在，求点P的坐标及三角形BPC的最大面积；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级上·天津河西·期中）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°,∠BAD=120°,AB=5cm,AD=9cm,BC=16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为t s．
(1)当t=143s时，判断线段CN与DM的长度是否相等，并说明理由；
(2)当点M在边AB上运动时，求△BMN面积的最大值；
(3)是否存在t的值，使得△BMN的面积为39cm2？若存在，直接写出符合条件的t值；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·山东淄博·期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1,0),B(3,0),C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数解析式及其对称轴．
(2)设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC最小时，求P点坐标．
(3)在抛物线上存在一点Q，使S△ABQ=10，求点Q的坐标．
(4)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与直线y=x+2相交于A−2,0,B3,m两点，与x轴相交于另一点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线AB上方抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求△PAB的面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在点M，使△ABM的面积等于△ABC面积的一半？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A−2,0，B1,0两点，与y轴交于点C0,−2，连接AC，点D是线段AC下方的抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D在运动的过程中，△ACD的面积是否存在最大值？若存在，求△ACD面积的最大值；若不存在，请说明理由．
题型七 二次函数中等腰三角形存在性问题（共4小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A−1,0，B3,0，与y轴交于点C0,−3，点D是抛物线的顶点，连接AD，BC．
(1)求抛物线的解析式与直线BC的解析式；
(2)若点P是直线BC上的一个动点，是否存在点P，使△APD为等腰三角形，若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由
2．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C，点P是该函数图象上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
(1)求该二次函数的解析式及直线BC的解析式；
(2)当点P在第一象限时，求PE的最大值；
(3)是否存在点P，使△CPE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，OA=2，OB=6，D是直线BC上方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线交BC于点E，垂足为F，连接CD．
(1)求抛物线的表达式；
(2)设点D横坐标为t，
①用含有t的代数式表示线段DE的长度；
②是否存在点D，使△CDE是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于点A −1,0、B3,0，交y轴于点C．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，作MD⊥x轴交直线BC于点N，求线段MN长度的最大值．
(3)在二次函数图象的对称轴上是否存在一点P使△BCP是以BC为腰的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点P的坐标．
题型八 二次函数中直角三角形存在性问题（共5小题）
1．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标是−1，0，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)求抛物线的解析式
(2)第一象限内的抛物线上有一动点P，使△BCP的面积最大，求点P的坐标和△BCP面积的最大值．
(3)对称轴与x轴交于点N，在对称轴上找一点M，使△MNC为直角三角形，求点M的坐标．
2．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴的左右交点分别为点A、点B，与y轴交点为点C，若将此抛物线向下平移4个单位长度后，其顶点坐标为1,0．
(1)求该抛物线的顶点坐标；
(2)设点P在该抛物线的对称轴上运动，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)设点M在该抛物线的对称轴上运动，当△MAC是直角三角形时，求出所有满足条件的点M的坐标．
3．（25-26九年级上·云南昭通·期中）已知，如图所示，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)和B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)抛物线的对称轴是____________．
(2)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．
(3)设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．
4.（25-26九年级上·福建福州·月考）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6a≠0相交于A12,52和B4,m，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)是否存在这样的点P，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
(3)求△PAC为直角三角形时点P的坐标．
5．（2023·青海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，且直线y=12x−2经过点B，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)当四边形CDNM为平行四边形时，求P点坐标；
(3)在（2）的条件下探究抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得以点Q, M, N为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
题型九 二次函数中全等三角形存在性问题（共4小题）
1．（25-26九年级上·广东东莞·期中）综合与探究：
在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A−3,0，B1,0两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为点D．
(1)如图1，分别求这个二次函数和直线AC的表达式；
(2)如图2，连接AD，CD，求四边形AOCD的面积；如图3，若点P是第二象限内抛物线上的一点，且使△ACP的面积最大．请解答下面问题：
①求出点P的坐标；
②此时平面内是否存在另一点Q，使△ACQ和△ACP全等？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·宁夏·三模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，其中点A−2,0，其顶点为P的横坐标为1，对称轴与x轴交于点H．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)连接AP，点D是该二次函数图象第四象限上的动点，过D作DE⊥x轴于点E，点F是x轴上一点，是否存在以点D、E、F为顶点的三角形与△APH全等?若存在，求出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一次函数 y=−x+1的图像交于A，B两点，已知B6,−5．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC,BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足 MN=4，连接CM,BN，当 △ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，将点N向下平移1个单位得到点P，将该抛物线沿直线AB的方向平移得到新抛物线 y'，Q为新抛物线y'的顶点，在平移过程中，是否存在以A，B，Q为顶点的三角形和 △ABP全等?若存在，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由
4．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+3（a、b为常数，a≠0）的图象与x轴交于点A−3,0和点B1,0，其顶点为D，对称轴与x轴交于点H．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)连接BD，点P是该二次函数图象上第四象限内的动点，过点P作PG⊥x轴于点G，Q是x轴上的点，要使以P、Q、G为顶点的三角形与△BDH全等，求满足条件的点P、Q的坐标．
题型十 二次函数中相似三角形存在性问题（共6小题）
1．（24-25九年级下·湖南衡阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A−1,0,B4,0．
(1)求抛物线的表达式：
(2)如图1．抛物线的对称轴与直线BC交于点G，与x轴交于点H，若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由：
(3)如图2，抛物线与y轴相交于点C，连接AC，BC，点D是直线BC上方抛物线上一动点（不与端点重合），过动点D作DE∥AC线段BC于点E，连接DA,DB,AE，记△DAE的面积为S1,△DBE的面积为S2，当S1+S2取得最大值时，求点D的坐标并求出S1+S2的最大值．
2．（2024·贵州·三模）如图，已知二次函数y=−x2+bx+c的图像与x轴交于A−1,0和B2,0两点，与y轴相交于点C，
(1)求抛物线的解析式．
(2)在BC是否存在一点P，使PA+PO的值最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点N在第一象限内的抛物线上，在x轴是否存在点M，使得以O、M、N为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，求此点M坐标；若不存在，说明理由．
3．（2025·海南·三模）如图，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A1,0、B−3,0两点，与y轴交于点C，点M为抛物线的顶点，直线MC交x轴于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)点Pm,n是第三象限内抛物线上的一个动点，作PQ∥y轴交BC于点Q．
①求线段PQ的最大值及此时点P的坐标；
②是否存在点Q，使得以点Q,B,O为顶点的三角形与△BDM相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·湖南永州·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C0,−3，与x轴相交于点A−2,0，B6,0，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在y轴上有一点P，求出PB+PD的值最小时点P的坐标，及此时PB+PD的值．
(3)在第四象限内的抛物线上是否存在一点E，过点E作EF⊥x轴交x轴于点F，使△OEF与△OBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（24-25九年级下·海南·阶段练习）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C0,−3，其对称轴直线x=1与x轴相交于点D，点M为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点F是第四象限内抛物线上的一个动点，点F运动到何处时，△BCF的面积最大？求出此时点F的坐标；
(3)如图2，延长MC交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A−1,0，B3,0，交y轴于点C0,3，点M是该抛物线上第一象限内的一个动点，ME⊥x轴，交x轴于点E，交线段BC于点D，MN∥x轴，交y轴于点N．
(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
(2)若四边形MNOE是正方形，求该正方形的边长；
(3)连接OD、AC，抛物线上是否存在点M，使得以C、O、D为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
题型十一 二次函数中平行四边形存在性问题（共5小题）
1．（25-26九年级上·四川泸州·期中）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接BC，点P是直线BC下方抛物线上的动点，当点P在该抛物线上什么位置时，△PBC面积最大，并求出此时P点的坐标；
(3)设点D是该抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（24-25九年级上·福建龙岩·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为2,0，点B的坐标为−3,0，点C的坐标为0,3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使AQ+CQ的值最小，并求出点Q的坐标．
(3)点P是抛物线上位于直线BC上方的点，连接PB、PC，P点的横坐标为m，S△BCP=S，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值．
(4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B−1,0两点（点A 在点B 的右侧），与y 轴交于点C0,−3，且OA=OC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，直线l1：x=x0与抛物线交于点P，与直线AC交于点M，将直线l₁向右平移两个单位得到直线l2：x=x0+2，直线l2与抛物线交于点Q，与直线AC交于点N．
①当点Q在直线AC下方时，求△MNQ面积的最大值及此时点N的坐标；
②抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，N，M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（25-26九年级上·吉林·期中）如图，抛物线y=ax2+bx−3经过点A2,−3，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当−5