专题10 二次函数中线段﹑周长与面积的最值问题及定值问题（期末复习专项训练，8大题型）九年级数学上学期人教版+答案

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题型一 利用二次函数解决单线段的最值问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·安徽合肥·月考）在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+ca≠0与x轴交于A−1, 0, B3, 0两点，与y轴交于点C，作直线BC．
(1)求抛物线的解析式．
(2)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，请问线段PQ是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点M是直线BC上一动点，N是抛物线上一点，过点M作线段MN∥OC（点N在直线BC下方），已知MN=2，请直接写出点M的坐标．
2．（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A−1,0，B3,0两点，与y轴交于点C0,3．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．当点P在第一象限时，求线段PE的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，抛物线y=ax2+bx−4(a≠0)与x轴交于点A−2,0、B4,0，与y轴交于点C，连接BC．点P是线段BC下方抛物线上的一个动点（不与点B、C重合），过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点N，设点P的横坐标为t．
(1)求出该抛物线的解析式；
(2)根据图像直接写出y>0时，x的取值范围；
(3)求线段PM长度的最大值．
题型二 利用二次函数解决两条线段之和的最值问题（共3小题）
1．（2025·江苏连云港·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+1x−3(a>0)与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为E．直线y=kx−kk≠0与x轴交于点F，与抛物线交于M，N两点，且EF=4．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若∠CFN=2∠ACO，求k的值．
(3)直线AM与直线BN交于点P，求PA+PB的最小值．
2．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A1,0、B0,−3，点C的坐标为2,m．
(1)求此抛物线对应的函数解析式；
(2)直接写出抛物线的对称轴；
(3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标；
(4)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，抛物线y=12x2+bx−2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A(−1,0)．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)点M是对称轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求M点的坐标及MC+MD的最小值．
题型三 利用二次函数解决两条线段之差的最值问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线y=ax2+x+ca≠0经过A，B两点与x轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式：
(2)若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，过M作ME⊥BC于点E，当ME最大时，Q为y轴上一动点，求MQ−CQ的最大值．
(3)若点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC+∠OBA=45°时，请直接写出点P的坐标．
2．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中；已知抛物线的顶点坐标为2,0，且经过点4,1，如图，直线y=14x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=−1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使PA−PB取得最大值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)已知Fx0,y0为平面内一定点，Mm,n为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．
3．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=−12x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c的对称轴是直线x=32，该对称轴与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为抛物线对称轴上一动点，当BM−CM的值最小时，请你求出点M的坐标；
题型四 利用二次函数解决三条线段之和的最值问题（共4小题）
1．（25-26九年级上·重庆合川·期中）如图，抛物线y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点A和B(8,0)，与y轴正半轴交于点C，且3OC=4OA抛物线的顶点为D．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，当△BCP的面积最大时．在x轴上找一点N，在y轴上找一点M，使得MD+MN+PN的值最小，并求此时的点M和N的坐标．
(3)若Q是抛物线上一点，∠QCB=∠ABC，请写出点Q的坐标，并写出其中一个点的求解过程．
2．（25-26九年级上·重庆·月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+b的图像与一次函数y=−x+1的图像交于A，B两点，已知B6,−5．

(1)求抛物线的表达式；
(2)点C是直线AB上方抛物线上的一动点，连接AC，BC．点M，N是y轴上的两动点（M在N上方），且满足MN=3，连接CM，BN，当△ABC的面积取得最大值时，求CM+MN+BN的最小值；
(3)当（2）中CM+MN+BN取得最小值时，若Q是抛物线对称轴上位于直线MC上方的一动点，是否存在以C、M、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
3.（25-26九年级上·天津和平·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的表达y=−12x2+bx+c与x轴交于点B−2,0和点C4,0，与y轴交于点A．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是直线AC上方抛物线上的一动点，过点P作PQ⊥AC，垂足为点Q，点E，F分别是x轴和直线AC上一点，当PQ取得最大值时，求此时点P的坐标及OF+EF+EQ的最小值．
题型五 利用二次函数解决三角形周长的最值问题（共3小题）
1．（25-26九年级上·天津河西·阶段练习）已知抛物线y=ax−12−3a≠0的图象与y轴交于点A0,−2，顶点为B．

(1)试确定a的值，并写出B点的坐标；
(2)试在x轴上求一点P，使得△PAB的周长取最小值．
2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为A1,4，抛物线与y轴交于点B0,3，与x轴交于C、D两点，点P是抛物线对称轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积．
(3)求点P的坐标，使△PCB的周长最小．
3．（2025·甘肃武威·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A1,0,B−3,0两点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)求（1）中抛物线的对称轴及顶点坐标；
(3)设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022·青海西宁·一模）已知，如图，抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．

(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点E，使得△BCE的周长最小，如果存在，求出点E；
(3)若点D是x轴下方抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，△ABD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；请问当m为何值时，S有最大值？最大值是多少．
题型六 利用二次函数解决四边形周长的最值问题（共4小题）
1．（2025·甘肃定西·三模）如图1，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A, B−3, 0两点，与y轴交于C0, −3，直线y=x+m经过点B，且与y轴交于点D，与抛物线交于点E．
(1)求抛物线y=x2+bx+c的表达式；
(2)连接BC, CE，求△BCE的面积；
(3)如图2，直线BE与抛物线对称轴交于点F，在x轴上有M, N两点（M在N的右侧），且MN=2，若将线段MN在x轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形MEFN的周长最小，求出此时周长的最小值．
2．（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于A−1,0，B5,0两点，与y轴交于点C0,5．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标．
3．（2025·湖南岳阳·二模）如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=ax2−4x+ca≠0的图象与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C0,3．
(1)求此抛物线的表达式．
(2)如图2，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)将抛物线y=ax2−4x+c在x轴以下的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到新图象，如图3，若直线y=kx+116k>0与此新图象有且仅有三个交点．求当1≤x≤3时，代数式kx+116+ax2−4x+c的最大值．
4．（24-25九年级上·山东威海·期末）抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P为第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ∥x轴交直线BC于点Q．过点P作PH⊥x轴于点H，过点Q作QG⊥x轴于点G．当点P位于何处时，四边形PQGH的周长最大？最大周长为多少？
题型七 利用二次函数解决图形面积的最值问题（共2小题）
1．（23-24九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上两点，且CE=CF，AB=4．
(1)设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数关系式；
(2)当x取何值时，△AEF的面积最大？求出此时△AEF的面积．
3．（2025·四川绵阳·三模）如图，过A1,0、B3,0作x轴的垂线，分别交直线y=4−x于C、D两点．抛物线y=ax2+bx+c经过O、C、D三点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点M，N是平面直角坐标系中的两点，若四边形ODMN是正方形，求直线DN与抛物线的交点P的坐标；
(3)若△AOC沿CD方向平移（点C在线段CD上，且不与点D重合），在平移的过程中△AOC与△OBD重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
类型一 利用割补、拼接法解决面积最值问题（共5小题）
1．（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A−3,0，C0,4两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)已知点M是抛物线对称轴上一点，当△MBC的周长最小时，求M点的坐标．
(3)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(4)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，使以点B，C，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，已知点B坐标为4,0，点C坐标为0,4，点P为抛物线上的一个点，其横坐标为m．
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P为直线BC上方抛物线上的一个点，连接PC，PB，当四边形PBOC的面积最大时，求出P点的坐标；
(3)过点P作PM⊥x轴，交直线BC于M，记PM的长为d，点P到y轴的距离为g，且l=d+g．
①求l与m的函数解析式；
②当l=14时，直接写出m的值．
3．（2022·黑龙江绥化·二模）图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B(1,0)，与y轴交于点C(0,3)，其对称轴为x=−1．
(1)求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标；
(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴上．
①当PA⊥NA，且PA＝NA时，求此时点P的坐标；
②求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．
4．（2024九年级下·山西·专题练习）综合与探究
如图，抛物线y=x2+bx与x轴交于A,O两点（点A在点O的右侧），与直线y=kx交于点B4,4，点C0,3在y轴上．点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线的函数表达式及点A的坐标．
(2)如图1，过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC,OD，当四边形OCPD为平行四边形时，求t的值．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以每秒1个单位长度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ,PC，求四边形CPQO面积的最大值．
5．（2024·湖南·一模）定义：若抛物线L:y=ax2+bx+c的图象恒过定点Mx0,y0，则称Mx0,y0为抛物线L的“不动点”．已知：若抛物线L:y=ax2−2ax+x+1(a