专题11 二次函数中平移﹑翻折﹑对称﹑旋转﹑折叠问题（期末复习专项训练，五大题型压轴）九年级数学上学期人教版+答案

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题型一 二次函数平移问题（共8小题）
1．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A−1,0，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线x=52．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将此抛物线在x轴下方的图像沿x轴向上翻折，图像的其余部分保持不变，得到一个新的图像L，若将直线BC向上平移t个单位长度，使得平移后的直线与图像L有两个公共点，请直接写出t的取值范围．
(3)如图②点P是直线BC下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PD∥x轴交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，直接写出PD+52PE的最大值及此时点P的坐标；
2．（19-20九年级上·重庆·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点A−2,0，B8,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式和点C的坐标；
(2)连接AC，BC，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，若有S△PBC=12S△ABC，求出点P的横坐标；
(3)若将抛物线沿直线AC方向平移一定距离得到新抛物线L，且抛物线L满足当1≤x≤3时，有最大值为0，直接写出抛物线L的对称轴．
3．（2023九年级下·江苏·专题练习）如图，将抛物线y=x2向右平移aa>0个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
(1)求a的值；
(2)在新抛物线上是否存在一点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2025·重庆开州·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线y=18x2+bx+ca≠0交x轴于A−4,0，B8,0两点，交y轴于C，连接AC，BC．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点P是线段BC下方抛物线上一动点，过点P作PH∥y轴交直线BC于点H，点E和点F是直线BC上的两个动点（点F在点E的下方），且EF=5，连接AF，EP，当PH有最大值时，求AF+EF+EP的最小值；
(3)将抛物线沿射线CB方向平移25个单位得新抛物线y'，点Q是新抛物线y'上的一点，连接QB，当∠QBC=∠ABC+∠ACO时，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
5．（21-22九年级上·广东广州·期末）如图，抛物线y=mx2+2mx−3mm≠0与x轴交于点A，点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．
(1)直接写出点C的坐标（用含m的代数式表示）；
(2)若△ABC的面积为6，求m的值；
(3)在（2）的条件下，将抛物线向右平移ℎℎ>0个单位，记平移后抛物线中y随x的增大而减小的部分为H，当直线AC与H总有两个公共点时，求ℎ的取值范围．
6．（24-25九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，直线y=x+3与坐标轴交于B，C两点，抛物线y1=−x2+bx+c经过B，C两点，与x轴交于点A，连接AC．
(1)求抛物线y1的解析式；
(2)如图1，点D是直线BC上方抛物线上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，连接AE，AD，BD，求S△DEB+S△DEA的最大值；
(3)如图2，只将图1中的抛物线y1向右平移两个单位长度得到新抛物线y2，y2与x轴正半轴的交点为F，连接CF，点G是抛物线y2第二象限上的一点，连接GF．若∠GFC=∠ACF，请求出点G的坐标．
7．（24-25九年级上·四川泸州·期末）如图1，若二次函数y=ax2−2x+ca≠0的图象与x轴交于点A和点B3,0，与y轴交于点C0,−3．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，连接BC，点P为直线BC下方抛物线上的动点，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图3，将抛物线y=ax2−2x+ca≠0先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标．
8．（2024·贵州·模拟预测）如图①，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地面竖直高度OH为1.5m．如图②，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE=3m，竖直高度EF=0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边缘抛物线y1的最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
(1)求外边缘抛物线y1的函数表达式；
(2)求内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
(3)要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
题型二 二次函数翻折问题（共6小题）
1．（24-25九年级上·吉林·期末）如图1，抛物线y=ax2+4x经过点A4,0．
(1)求a的值．
(2)将图1中抛物线在y轴右侧部分沿x轴翻折，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为图象G，如图2，直接写出图象G对应的函数解析式．
(3)点P在图象G上，其横坐标为m．
①点O为坐标原点，当图象G在O、P两点之间的部分（含O、P两点）所对应函数最大值与最小值的差等于4时，直接写出m的取值范围．
②点Q在图象G上，其横坐标为3−m．当图象G在P、Q两点之间的部分（含P、Q两点）所对应函数最大值与最小值均不随m的变化而变化时，直接写出m的取值范围．
2．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C(0,3)，点B的坐标为(3,0)，点P是抛物线上一个动点．
(1)求二次函数解析式；
(2)若点P在第一象限运动，过点P作PH⊥x轴于点H，与线段BC交于点M，当点P运动到什么位置时，线段PM的值最大？请求出点P的坐标和PM的最大值；
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（22-23九年级上·江苏泰州·期末）如图，抛物线y=−x2+4x+5与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．
(1)求出A、B、C三点的坐标；
(2)将抛物线y=−x2+4x+5图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线y=t恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G．若以EF为直径作圆，该圆记作图像N．
①在图像M上找一点P，使得△PAB的面积为3，求出点P的坐标；
②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围．
4．（22-23九年级上·河南新乡·期末）抛物线y=ax2+bx−6a与x轴交于A，B两点，且A−2,0，抛物线的顶点为P．
(1)求点P的坐标；（用只含a的代数式表示）
(2)若−8≤a≤−5，求△ABP面积的最大值；
(3)当a=1时，把抛物线y=ax2+bx−6a位于x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不动，得到新的函数图象．若直线y=−x+t与新的函数图象至少有3个不同的交点，求t的取值范围．
5．（2022·青海西宁·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D1,0，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．
(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，求△BCE的面积；
(3)拋物线上是否存在一点P，使∠PEA=∠BAE？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（24-25九年级上·山西运城·期末）综合与实践
问题情境：某市计划在一处正方形的场地上建一座供市民休闲娱乐的绿地公园，要求是把场地划分成四大区域，场地内有曲线形的观光道路，有一个休息室，一个洗手间，休息室与洗手间要关于场地的中轴线对称．
设计人员小红的设计方案是：如图1所示，把一张边长为4的正方形纸ABCD先对折，得到AB的垂直平分线MO，摊开，铺平后再次将正方形折叠，使点D，C落到MO上且折叠后点D与点C重合，记为点P，折痕为AE，BF，再次摊开，铺平，连接AP，BP，EP，FP，得到△ABP，△EFP，四边形ADEP，四边形BCFP四个区域．一条抛物线形的路把这四个区串起来，抛物线经过A，P，B三点，点P是抛物线的顶点．
1．在四边形ADEP区域内的抛物线上找一点N，使得△APN的面积最大，在此处建一个休息室；
2．……
工程师小李在听了小红的设计方案后，在图2中以AB所在直线为x轴，MO所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请按照他的方法解决下列问题：
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)求出△APN面积的最大值；
(3)根据对称性，请你直接写出小红把洗手间（用点H表示）设计在四边形BCFP区域内的坐标．
题型三 二次函数对称问题（共5小题）
1．（24-25九年级上·山西吕梁·阶段练习）综合与实践
问题情境：元旦晚会舞台布置中需要搭一条抛物线型灯链，最初的设计方案如图1所示，灯链两端连接A，B两点，点C位于点B正下方的地面处，以点A正下方的地面处的点O为原点，OC所在的直线为x轴，OA所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，抛物线解析式的二次项系数为0.03，OC=10米，OA=BC=3米，但实际实施方案后发现最低点过低．
方案修改：莉莉将方案进行修改，如图2，将图1中灯链的最低点固定在距地面2.7米的点N处，点N两侧的灯链形成了两个对称的新抛物线．
(1)求图1中抛物线的解析式．
(2)若图1中抛物线的最低点为M，求点M到的距离．
(3)若图2中两个最低点的距离为4米，修改方案后最低点提高了多少米？
2．（2025·四川南充·一模）如图1，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A−3,0，B两点，与y轴交于点C，其对称轴直线为x=−1．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M在直线AC上方的抛物线上，AC平分∠BCM，求点M坐标；
(3)如图2，点D与点C关于直线x=−1对称，过点D与抛物线有唯一公共点的直线DG与x轴交于点G，直线PQ∥DG交抛物线于P，Q两点，连接BP交y轴正半轴于点E，连接BQ交y轴负半轴于点F，探究OE−OF的值是否变化？若不变，求出OE−OF的值；若变化，请说明理由．
3．（25-26九年级上·河北唐山·阶段练习）已知抛物线C1:y=axx+1（其中a≠0，且a为常数）与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），抛物线C2:y=kx2+2kx+k−1（其中k≠0，且k为常数）．
(1)直接写出A，B两点的坐标；
(2)淇淇说：“无论k为何值，抛物线C2的顶点坐标都不变．”请对淇淇的说法进行说理；
(3)已知抛物线C2经过点P−3,1；
①求抛物线C2的解析式；
②点Q在抛物线C2上，且点P，Q关于抛物线C2的对称轴对称，连接PQ．若线段PQ与抛物线C1只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．
4．（2024·湖北·模拟预测）已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A 在点B的右侧），与y轴负半轴交于点C，且OB=OC=3
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，M为对称轴左侧的抛物线上一点，点N与M关于直线BC对称，若点N在y轴右侧，求S△MBC的取值范围；
(3)如图2，点D，E分别在x轴和抛物线上，点E绕点D顺时针旋转90°得到点F，若抛物线上仅存在唯一的一个点E，使得点F恰好落在直线y=−34x−6上，求出点D和点E的坐标．
5．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2−2ax−3a（a是常数，且a