四川省射洪中学校2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)

这是一份四川省射洪中学校2024-2025学年八年级上学期12月期末考试数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了 下列说法不正确的是， 下列计算正确的是， 实数，0，，，， 下列命题等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题4分，共72分）
1. 下列说法不正确的是（ ）
A. 的算术平方根是B. 是的一个平方根
C. 是的立方根D. 的立方根是
答案：C
解：根据题意得：
、的算术平方根是，说法正确，故本选项不符合题意；
、是的一个平方根，说法正确，故本选项不符合题意；
、是的立方根，选项说法不正确，故本选项符合题意；
、的立方根是，说法正确，故本选项不符合题意，
故选：．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意；
故选：D．
3. 实数，0，，，（相邻两个1之间依次多一个0），其中无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：C
为无理数，0为有理数，
为无理数，为有理数，
为无理数，
无理数有个，
故选：C．
4. 下列从左边到右边变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解：A．不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
B．是多项式乘法，不是因式分解，故选项错误，不符合题意；
C．是因式分解，故选项正确，符合题意；
D．不是因式分解，故选项错误，不符合题意．
故选：C．
5. 在中，，则不能作为判定是直角三角形的条件的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A、∵，能判定是直角三角形，故不符合题意；
B、∵，即，根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，故不符合题意；
C、由可设，则有，所以不能构成三角形，更不能判定是直角三角形，故符合题意；
D、由可设，所以，解得，能判定是直角三角形，故不符合题意；
故选：C．
6. 下列各多项式中，能运用公式法分解因式的有（ ）
（1）（2）（3）（4）．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：B
解：，故（1）符合题意；
不能运用公式法分解因式，故（2）不符合题意；
，故（3）符合题意；
，不能运用公式法分解因式，故（4）不符合题意；
所以能运用公式法分解因式的有（1）和（3），
故选：B
7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（ ）
A. 带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去
答案：C
解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；
第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；
第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合判定，所以应该拿这块去．
故选：C．
8. 已知a，b是两个连续整数，，则a，b分别是（ ）
A. 1，2B. 2，3C. 3，4D. 4，5
答案：A
解；∵，
∴，
∴，
∵a，b是两个连续整数，，
∴，
故选A．
9. 若关于x的二次三项式是一个完全平方式，则m的值为（ ）．
A. B. C. 或D. 或
答案：C
∵是一个完全平方式，
∴，
解得：或．
故选：C．
10. 下列命题：①如果a＞b，那么a+c＞b+c；②如果a≥0，b＜0，那么ab≤0；③直角三角形有两个锐角.
其中原命题与其逆命题都是真命题的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 0个
答案：A
①：原命题“如果a＞b，那么a+c＞b+c”是真命题；逆命题“如果a+c＞b+c，那么a＞b”是真命题.
②：原命题“如果a≥0，b＜0，那么ab≤0”是真命题；逆命题“如果ab≤0，那么a≥0，b＜0”是假命题，可能还存在a＞0，b≤0，或a＜0，b≥0，或a≤0，b＞0的情况.
③：原命题“直角三角形有两个锐角”是真命题；逆命题“如果一个三角形有两个锐角，那么这个三角形是直角三角形”是假命题，如钝角三角形.
故只有①的原命题与其逆命题都是真命题.
故选A.
11. 如图，在已知中，按以下步骤作图：①分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，；②作直线交于点，交于点，连接．若，，则的大小为（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解：，，
，
由作图的步骤可知，直线是线段的垂直平分线，
，
，
．
故选：C．
12. 若实数、满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
答案：A
解：由，可得a2≤1，b2≤1，
∴﹣1≤a≤1，﹣1≤b≤1，
=a（b+1）+3（b+1）-3=（a+3）（b+1）-3，
∵a+3＞0，b+1≥0，
∴（a+3）（b+1）≥0，
当b=-1时，有最小值﹣3，
故选：A；
13. 已知实数、满足，且、恰好是等腰的两条边的边长，则的周长是（ ）
A. 10B. 8C. 10或8D. 6
答案：A
解：∵，
∴，
当三角形的三边为时，此时，三角形不存在；
当三角形的三边为时，此时三角形存在，且周长为；
故选：A．
14. 如图，在四边形中，点C在边上，连接，．已知，若，．记，，则和的大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
答案：A
解：过点作，交于点，如图：
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
15. 如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A. 1种B. 2种C. 3种D. 4种
答案：C
如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离的走法有下面三种：
（1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B.
故选C.
16. 如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（ ）
A. B. 3C. D. 9
答案：C
解：延长交于点．设交于点．
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
当时，的面积最大，最大面积为．
故选：．
17. 勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）

A. 28B. 26C. 32D. 30
答案：A
解：设，，，则，
连接、交于点M，连接、，如图所示：

∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，，，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
连接，交于点N，
同理可得：，
∴，
∴，，
，，
∴，
即，
∴，
即，
得：，
解得：，
得：，
即，
解方程组：，
解得：，
∴，
∵a、b、c为正数，
∴，，
延长作于点P，作于点Q，如图所示：

则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
同理：，，
，
∴，故A正确．
故选：A．
18. 如图，任意画一个的，再分别作的两条角平分线和，和相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④；⑤，正确的有（ ）
A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个
答案：B
解：、分别是与的角平分线，，
，
，
故①正确；
，
，
过点作，，，，
、分别是与的角平分线，
是的平分线，
故②正确；
若，则，则，则为等边三角形，
这与题干任意画一个 的不符，
故③错误．
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
同理，，
，，
两式相加得，，
，
，
故④正确；
是角平分线，
到、距离相等，
，
故⑤正确．
故选：．
二．填空题（每小题4分，共24分）
19. 计算：_______．
答案：
解
故答案为∶．
20. 如果，那么____．
答案：1
解：∵，
，
解得，
，
故答案为：．
21. 如图；的面积为，垂直的平分线于P，则的面积为________．
答案：
解：如图，延长交于E，
垂直于的平分线于P，
，，
在与中，
，
，
，，
和等底同高，
，
，
故答案为：.．
22. 如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，则∠A的度数是______
答案：12°
设∠A=x，
∵AP1=P1P2=P2P3=…=P13P14=P14A，
∴∠A=∠AP2P1=∠AP13P14=x．
∴∠P2P1P3=∠P13P14P12=2x，∠P3P2P4=∠P11P13P12=3x，
……，
∠P7P6P8=∠P8P9P7=7x．
∴∠AP7P8=7x，∠AP8P7=7x．
在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7=180°，即x+7x+7x=180°．
解得x=12°，即∠A=12°．
故答案为：12°
23. 数形结合是数学的重要思想和解题方法，如：“当时，求代数式的最小值”，其中可看作两直角边分别为x和2的的斜边长，可看作两直角边分别是和3的的斜边长．于是将问题转化为求的最小值，如图所示，当与共线时，为最小．请你解决问题：当时，则代数式的最小值是______．
答案：5
解：依题意如图，可以可看作两直角边分别是x和1的的斜边长，，可以可看作两直角边分别是和2的的斜边长，
故问题转化为求的最小值，连接，则的最小值为的长，
∴，，，，，
∴，
∴，
代数式的最小值是5．
故答案为：5．
24. 如图，在四边形中，，，则______．
答案：15
解：如下图，将绕点D顺时针旋转得到，连接，作于点H，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故答案为：15．
三．解答题（共52分）
25. 计算：．
答案：
解：原式
，
．
26 先化简，再求值：，其中a、b满足．
答案：；
解：∵，
∴且，
解得：，；
；
27. 如图所示，在中，，，，交的延长线于点F，，
（1）求证：；
（2）求的长度．
答案：（1）见详解 （2）2
【小问1详解】
证明∶ ，
，
又，
在和中，
；
【小问2详解】
，
，
是的中线，
28. 某中学为了充分提高学生积极参与体育活动的积极性举办了“大课间”的活动，让学生自主选择各类活动，校体育组采取抽样调查的方法，从跳绳、呼啦圈、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好，并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图（如图1，图2要求每位同学只能选择一种自己喜欢的活动；图中用跳绳、呼啦圈、篮球、排球代表喜欢这四种活动中的某一种活动的学生人数），请你根据图中提供的信息解答下列问题：
(1) 在这次研究中，一共调查了多少名学生？
(2) 喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
(3) 补全频数分布折线统计图.
答案：（1）100名；（2）36°；（3）见解析．
（1）=100（人），一共调查了100名学生；
（2）篮球人数为：100×40%=40人，
排球的人数为：100﹣40﹣20﹣30=10人，
360°×=36°，排球所占的圆心角的度数是36°；
（3）如图：
29.
（1）【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
（2）【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
（3）【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
答案：（1）
（2）；
（3）；43或
【小问1详解】
首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即，所以．
故答案为：．
【小问2详解】
①把二次项系数2写成，，满足，所以
．
故答案为：．
②把项系数6写成，把项系数2写成，满足，
所以．
故答案为：．
【小问3详解】
①把项系数3写成，把项系数-2写成，常数项-4写成满足条件，
所以．
故答案为：．
②把项系数1写成，把项系数-18写成，常数项-24写成或满足条件，
所以m=或m=，
故m的值为43或-78．
30. （1）问题：如图1，在中，，D为边上一点（不与点B，C重合），连接，过点A作，并满足，连接．则线段和线段的数量关系是______，位置关系是______．
（2）探索：如图2，当D点为边上一点（不与点B，C重合），与均为等腰直角
三角形，．试探索之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（3）拓展：如图3，在四边形中，，若，，请求出线段的长．
答案：（1），（2），理由见解析（3）
解：（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
∴，；
故答案为：，；
（2），证明如下：
如图所示，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
（3）将线段绕点A逆时针旋转得到，连接，，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．