四川省富顺第二中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)

这是一份四川省富顺第二中学校2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷(含解析)，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
1. 乐乐看到妈妈手机上有好多图标，在下列图标中，可看作轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
A、轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形，
故选：A.
2. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：A．，此选项不正确，不符合题意；
B． ，此选项不正确，不符合题意；
C．，此选项正确，符合题意；
D．，此选项不正确，不符合题意；
故答案为：C.
3. 如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么该多边形的一个外角是（ ）
A. 30°B. 36°C. 60°D. 72°
答案：B
解：设这个多边形为n边形，
由题意得，，
∴，
∵，
∴该多边形的一个外角是36°，
故选B．
4. 将分式中的x，y同时扩大4倍，则分式的值（ ）
A. 扩大4倍B. 扩大2倍C. 缩小到原来的一半D. 保持不变
答案：A
解：分别用4x和4y去代换原来分式中的x，y，得：
；
可见新的分式是原分式的4倍；
故选：A．
5. 下列式子变形中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
A．，故错误；
B．，故错误；
C．，故正确；
D．,故错误；故选C.
6. 内找一点P，使P到B、C两点距离相等，并且P到C的距离等于A到C的距离．下列尺规作图正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解：∵P到A、C两点的距离相等
∴P在AC的垂直平分线上
又∵P到C和A到C的距离相等
∴A、P在以C为圆心，AC为半径的圆上
故选C.
7. 如果是个完全平方式，那么m的值是（ ）
A. 8B. C. D. 8或
答案：D
解：∵是个完全平方式，
∴，
∴，则或，
故选：D．
8. 如图，在中，， ，分别是、边上的高且相交于点P，的平分线分别交、于M、N、以下四个结论，①等边三角形；②除了外，还有4个等腰三角形；③；④当时，则．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
答案：D
解： ， ，分别是，边上的高，
，
，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
的平分线分别交，于，，
，
又，
为等腰三角形，
中，，
，
，
，
等腰三角形，
， ，，
，
为等边三角形，故①正确；
，，
，
，
，
为等腰三角形；
除了外，为等腰三角形，还有4个等腰三角形，故②正确；
，分别是，边上的高，
，
，
，，
，故③正确；
在直角三角形中，
，，
，在等腰三角形中，，
，
在等腰直角三角形中，，
，故④正确；
故答案为：①②③④．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
9. 若式子，则实数x的值是______________．
答案：
解：根据题意得：且，
解得：．
故答案为：
10. 因式分解：______．
答案：
解：，
故答案为：．
11. 等腰三角形的一个角为，则它的顶角的度数为________．
答案：或##或
解：当为底角时，
顶角为：，
当为顶角时，
底角为：，
故答案为：或．
12. 已知，则________．
答案：10
解：由a-b=2，a-c=1，
可得：2a-b-c=3，c-a=-1，
∴原式=，
故答案为：10．
13. 如图，在中，，面积是10．的垂直平分线分别交边于E、D两点，若点F为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值为_____．

答案：7
解：是线段的垂直平分线，
与关于对称，
连接，

，
周长，
当、、三点共线时，周长最小，
为边的中点，，
，
，
，
，
周长，
周长的最小值为7，
故答案为7．
14. 如图，在的边上取点，连接，平分，平分，若，的面积是2，的面积是6，则的长是 _______．
答案：8
解：如图，作于，于，于，连接，
，
平分，，，
，
同理可得：，
，
，的面积是2，
，
，
，
的面积是6，
，
，
，
故答案为：8．
三、解答题（本题共10小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤）
15. （1）计算：；
（2）分解因式：．
答案：（1）；（2）
解：（1）；
；
（2）
．
16. 先化简，再求值：
，其中，满足．
答案：，6
解：
=4x2-4xy+y2-4x2+y2+3xy-2y2
=．
∵
∴，
∴，
∴原式=．
17. 在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的顶点在格点上．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）求的面积．
（3）在y轴上找出点Q，使的周长最小．
答案：（1）见解析 （2）
（3）见解析
【小问1详解】
如图，即为所求．
【小问2详解】
的面积；
【小问3详解】
如图，点即为所求．
理由：由轴对称的性质得：，
的周长为，
当取最小值时，的周长最小，
由两点之间线段最短可知，当点共线时，取得最小值，
则与轴的交点即为所求．
18. 如图，在中，是上一点，，是外一点，，．

（1）求证：；
（2）若，求的度数．
答案：（1）证明见解析
（2）
【小问1详解】
证明：，
，
在和，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
，，
，
.
19. 在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减，例如：，，不难发现，结果都是7．
（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；
（2）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．
答案：（1）见解析 （2）见解析
【小问1详解】
解：例如：；
；
【小问2详解】
设最小的一个数为，其他三个分别为，，，
则
．
20. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E､F，连接EF，EF与AD相交于点G．AD与EF垂直吗？证明你的结论．
答案：垂直，见解析
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD与EF垂直．
21. 综合与探究
【知识生成】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如，由图1可以得到，基于此，请解答下列问题．
【直接应用】（1）若，，求的值．
【类比应用】（2）若，则___________．
【知识迁移】（3）将两块全等的特制直角三角板（）按如图2所示的方式放置，其中点，，在同一直线上，点，，也在同一直线上，连接，．若，，求一块直角三角板的面积．

答案：（1）；（2）；（3）
解：（1）
又
，
；
（2）∵，则
故答案为：；
（3）∵两块直角三角板全等，
，，
点A，O，D在同一直线上，点B，O，C也在同一直线上，
，．
设，．
，
又，
，
，
，
，
答：一块直角三角板的面积为16．
22. 如图所示，中，，于点E，于点D，交于F．
（1）若，求的度数；
（2）若点F是的中点，求证：．
答案：（1）
（2）见解析
【小问1详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，连接，
∵，且点F是的中点，
∴，，
∴．
∵，
∴，
∴．
23. 给出如下定义：我们把有序实数对叫做关于的一次多项式的特征系数对，有序数对叫做关于的二次多项式的特征系数对，并且把关于的一次多项式叫做有序实数对的特征多项式，把关于的二次多项式叫做有序实数对的特征多项式．
（1）关于的一次多项式的特征系数对在第 象限；关于的二次多项式的特征系数对为 ；
（2）求有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，求、、的值；
（3）若有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，计算的值．
答案：（1）二；
（2），，
（3）
【小问1详解】
解：关于的一次多项式的特征系数对为，在第二象限，
关于的二次多项式的特征系数对为，
故答案为：二；；
【小问2详解】
解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积为，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，；
【小问3详解】
解：∵有序实数对的特征多项式与有序实数对的特征多项式的乘积的结果为，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的值为．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，已知点，且x，y满足．
（1）求的面积；
（2）如图1，以为斜边构造等腰直角，请直接写出点C的坐标；
（3）如图2，已知等腰直角中，，点D是腰上一点（不与A，C重合），连接，过点A作，垂足为点E．
①若是的角平分线，求证：；
②探究：如图3，连接，当点D在线段上运动时（不与A，C重合），的大小是否发生变化？若改变，求出它的最大值；若不改变，求出这个定值．
答案：（1）6 （2）或
（3）①证明见解析②的大小不变，总为，理由见解析
【小问1详解】
解：，
，，
解得：，．
，，
的面积．
【小问2详解】
当点C在上方时：
作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：

∴，
∵，
，，
，，
，
和中，
，
，
，，
∵，
，即：，
解得：，
，，
；
当点C在下方时；
作为等腰直角三角形，过点作轴于F，轴于E，如图：

，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
∵，
，
，即：，
解得：，
，
，
综上所述：点的坐标为：或．
【小问3详解】
①延长，，它们相交于点，如图：

等腰直角中，，，且，
，
又，
，
在和中，
，
，
．
是的角平分线，
，
，
，
在和中，
，
，
即，
．
②的大小不变，总为，理由如下：
作，，垂足分别是，，如图：

，
由①可知：，，
在和中，
，
，
，
是的角平分线，
．