重难点培优10 圆锥曲线中的面积问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优10 圆锥曲线中的面积问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共15页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 1
\l "_Tc16555" 题型一 三角形面积：12底×高（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 4
\l "_Tc7141" 题型二 三角形面积：分割三角形（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 5
\l "_Tc26803" 题型三 三角形的面积：共角、等角模型（★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 三角形的面积：对顶角模型（★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 7
\l "_Tc3897" 题型五 四边形的面积问题（★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 8
\l "_Tc326" 题型六 四边形的面积：对角线垂直模型（★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 10
\l "_Tc11957" 题型七 面积的最值（范围）问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 11
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 12
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 12
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 14
一、弦长公式
（最常用公式）

二、三角形的面积
直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积，处理方法：
1、一般方法：（其中为弦长，为顶点到直线AB的距离），设直线为斜截式.
进一步，=
2、特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着轴或者轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在轴或者轴上，此时，便于找到两个三角形的底边长.


3、坐标法：设，则
4、面积比的转化：
三角形的面积比及其转化有一定的技巧性，一般的思路就是将面积比转化为可以利用设线法完成的线段之比或者设点法解决的坐标形式，通常有以下类型：
（1）两个三角形同底，则面积之比转化为高之比，进一步转化为点到直线距离之比
（2）两个三角形等高，则面积之比转化为底之比，进一步转化为长度（弦长之比）
（3）利用三角形面积计算的正弦形式，若等角转化为腰长之比
（4）面积的割补和转化
三、平行四边形的面积
直线为，直线为
注：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【注意】四边形一般都比较特殊，常见的情况是四边形的两对角线相互垂直，此时我们借助棱形面积公式，四边形面积等于两对角线长度乘积的一半；当然也有一些其他的情况，此时可以拆分成两个三角形，借助三角形面积公式求解.
四、范围问题
首选均值不等式，其实用二次函数
均值不等式
变式：
作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；
当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值
注意：应用均值不等式求解最值时，应注意“一正二定三相等”
圆锥曲线经常用到的均值不等式形式列举：
（1）（注意分三种情况讨论）
（2）
当且仅当时，等号成立
（3）
当且仅当时等号成立.
（4）
当且仅当时，等号成立
(5)
当且仅当时等号成立.


题型一 三角形面积：12底×高
【技巧通法·提分快招】
1．（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知双曲线的离心率为为上一点．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点且倾斜角为的直线交于两点，为坐标原点，求的面积.
2．（25-26高三上·安徽·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为.
(1)求C的方程；
(2)若直线与C交于两点，O为坐标原点，的面积为，求t的值.
3．在平面直角坐标系中，动点到定点的距离是点到轴的距离与点到直线的距离的等差中项，记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)若点，过的直线与曲线交于两点，且，求的面积.

题型二 三角形面积：分割三角形
1．（25-26高三上·江西南昌·开学考试）已知抛物线C：（p＞0）的焦点为F，过点F作直线l与抛物线C交于A，B两点O为坐标原点．当直线l⊥y轴时，|AB|＝4．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)若直线AB的斜率为1，求△ABO的面积．
2．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知椭圆C：的焦距为，离心率为.
(1)求C的标准方程；
(2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值.
3．已知双曲线的左顶点为，右焦点为.过点且垂直于轴的直线与交于，两点，其中位于第一象限，且.
(1)求的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于，两点，求的面积.

题型三 三角形的面积：共角、等角模型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025高三·安徽·专题练习）如图，椭圆C：的左右焦点分别为，，离心率为，且短轴长是4，点P是第一象限内C上一点，，的延长线分别交C于A，B两点，设，分别是，的内切圆半径．
(1)求C的方程；
(2)若点P的横坐标为2，求内切圆的方程；
(3)求的最大值．
2．（2025·湖南永州·三模）已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为.
(1)求双曲线E的标准方程：
(2)过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N.
（ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值：
（ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围.
3．（24-25高三下·重庆北碚·月考）已知椭圆，左右顶点为，，上下顶点为，，若四边形面积为，周长为，过右焦点且斜率为的直线交椭圆于，，直线，交于点，直线，交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：点在定直线上；
(3)证明：.
4．（2025·上海浦东新·三模）已知曲线，第一象限内点在曲线上.、，连接并延长与曲线交于点，.以为圆心，为半径的圆与线段交于点，记，的面积分别为，.
(1)若，求点的坐标；
(2)若点的坐标为，求证；
(3)求的最小值.

题型四 三角形的面积：对顶角模型
【技巧通法·提分快招】
1．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右焦点为，右顶点为，．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过的直线交椭圆于点（其中点在轴上方），为椭圆的左顶点．若与的面积分别为，，求的取值范围．
2．（2025·山东枣庄·二模）已知抛物线的焦点为为上一点，且.
(1)求的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点.
（i）证明：直线过定点；
（ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围.
3．已知椭圆的左焦点为，椭圆上任意一点到的距离最大值为3；
(1)求椭圆的方程；
(2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点；
（ⅰ）当时，设直线的斜率分别是，求证：为定值；
（ⅱ）过点作垂直于的直线交于，交圆于两点，记的面积分别为，求的取值范围．

题型五 四边形的面积问题
【技巧通法·提分快招】
1．焦点在轴上的椭圆，离心率为，短轴长为2．
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)过椭圆的左、右焦点，分别向斜上方作斜率为1的两条射线，依次交椭圆的上半部分于点，求四边形的面积．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程.
3．（2024·江苏苏州·模拟预测） 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点，且满足
(1)求椭圆γ的标准方程；
(2)A 是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦 BC 使得 ，求证:四边形OABC 的面积为定值.
4．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于
(1)求抛物线的标准方程；
(2)线段与交于点，线段与的中点分别为
①求证：三点共线；
②若，求四边形的面积.

题型六 四边形的面积：对角线垂直模型
【技巧通法·提分快招】
1．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，已知抛物线的焦点为为坐标原点．过作两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点．当垂直于轴时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求四边形面积的取值范围；
2．（24-25高三下·内蒙古呼和浩特·月考）已知椭圆的离心率为的面积为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为第三象限内一点且在椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.求证：四边形的面积为定值.
3．（24-25高三上·湖南·月考）已知双曲线的焦点在轴上，离心率为，点在双曲线上，点分别为双曲线的左､右焦点.
(1)求的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与双曲线的右支分别交于，两点和两点，求四边形面积的最小值.

题型七 面积的最值（范围）问题
【技巧通法·提分快招】
1．（2025高三·天津·专题练习）已知动点P到定点的距离与到直线的距离之差为1（P不在直线l左侧）. 过点F作直线m与动点P的轨迹交于A、B两点，点C位于轨迹上异于A、B的一点，且点C到直线AB的距离为.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)求面积的最小值.
2．（25-26高三上·云南红河·月考）平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左右焦点分别是，，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆于，两点．射线交椭圆于点．求面积的最大值．
3．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆的离心率为，焦距为，以为三边的三角形面积为.
(1)求C的方程；
(2)过右焦点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，求四边形面积的最小值.
4．（25-26高三上·江苏南京·月考）已知双曲线的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)已知，若垂直于轴的直线与相交于两点，直线和的另外一个交点为C．
（i）求证：直线过定点；
（ii）过点作直线l交的右支于两点，求的面积的最小值.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆相交于点，，若的面积是，求直线的方程．
2．已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，若C的离心率为2，点在C上，过的直线l交C的右支于P，Q两点．
(1)求直线AP，AQ的斜率之积；
(2)若的面积为，求l的方程．
3．（24-25高三下·云南·期中）已知动点到点 的距离和它到直线 的距离的比为 ，记点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)若 分别与 轴正半轴交于点 ，与 轴正半轴交于点 ，点 为 上任一点且在第三象限. 设 与 轴交于点 与 轴交于点 ，求四边形 的面积.
4．已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围.
5．椭圆的左、右焦点分别为，点为椭圆上动点，的值域为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的上下顶点分别为，直线交椭圆于另一点，点和点位于轴两侧，若四点构成的四边形面积为，求直线的斜率．
6．已知，分别为椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于，两点，且的周长为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过点，且与垂直，交椭圆于，两点，若，求四边形面积的范围.
7．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知椭圆，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，且，
（）证明：直线过定点；
（）求面积的最大值．
8．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知椭圆的长轴长为短轴长的倍，焦距为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)若坐标原点为，平行四边形的四个顶点，，，均在椭圆上，且圆内切于四边形.
（i）证明：四边形为菱形；
（ii）求四边形面积的最大值.
9．（25-26高三上·河北·开学考试）已知坐标平面内一动圆过点，且在轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程．
(2)设直线与曲线交于两点，，直线与直线的倾斜角互补．
①求的值；
②若，求面积的最大值．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．平面直角坐标系中，已知定点，动点满足，记动点的轨迹为曲线.过点作两条直线，分别与曲线交于点，和，四点（其中点、在上方）.
(1)求曲线的方程；
(2)若，求四边形面积的取值范围；
2．（2024·河北·模拟预测）已知，平面内动点满足直线的斜率之积为.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)过点的直线交的轨迹于两点，以为邻边作平行四边形（为坐标原点），若恰为轨迹上一点，求四边形的面积.
3．（2025·浙江嘉兴·一模）已知双曲线的左､右焦点分别是，并且经过点.
(1)求的方程；
(2)过点的直线交双曲线的右支于两点（点在第一象限），过点作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线经过定点；
（ii）记的面积为，求的取值范围.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为
(1)求直线的方程及椭圆的方程.
(2)若椭圆上的两动点A，B均在轴上方，且，求四边形的的面积的取值范围.
5．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为4的等边三角形．
(1)写出椭圆的标准方程；
(2)当直线的斜率为时，求以为直径的圆的标准方程；
(3)设点满足：．求证：与面积之比为定值．
6．（2025·安徽·三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且满足．
(1)求椭圆的方程；
(2)在直线上取一点，连接交椭圆于两点、，若，求点的坐标．
7．已知椭圆经过点，且其离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与轴交于点，与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点．是否存在定点，使得与的面积之比为定值？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．
8．已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，点在椭圆上.椭圆的左、右顶点分别为A，，点是椭圆外一点，直线，与椭圆的另一个交点分别为，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)若四边形的面积是的面积的倍，求的值.
9．（2025·湖南邵阳·二模）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求的方程；
(2)过的右焦点的直线交于两点，线段的垂直平分线交于两点．
①证明：四边形的面积为定值，并求出该定值；
②若直线的斜率存在且不为0，设线段的中点为，记，的面积分别为．当时，求的最小值．
10．如图，已知圆A：，点是圆A内一个定点，点P是圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线l和半径AP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)一组平行直线的斜率为，当它们与曲线C有两个公共点时，证明这些直线被曲线C截得的线段的中点在同一条直线上；
(3)设曲线C与y轴正半轴的交点为M，与y轴负半轴的交点为N，过点的直线TM、TN分别与曲线C交于E、F两点．若的面积是的面积的倍，求的最大值．
三角形的面积处理方法
（1）底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
（2）水平宽·铅锤高或
（3）在平面直角坐标系中，已知的顶点分别为，，，三角形的面积为．
等角、共角模型
对顶角模型
（1）一般四边形
（2）分割两个三角形
对角线垂直
一般都是利用面积公式表示面积，然后将面积转化为某个变量的一个函数，再求解函数的最值（一般处理方法有换元，基本不等式，建立函数模型，利用二次函数、三角函数的有界性求最值或利用导数法求最值，构造函数求导等等），在算面积的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算，灵活使用割补法计算面积，尽可能降低计算量．