重难点培优13 圆锥曲线中向量条件的突破问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优13 圆锥曲线中向量条件的突破问题（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共14页。
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc26889" 01 知识重构・重难梳理固根基 PAGEREF _Tc26889 \h 1
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 垂直关系转化为向量数量积为0（★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 利用向量解决夹角问题（★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 向量共线：单共线（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 4
\l "_Tc13512" 题型四 向量共线：三点共线（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 5
\l "_Tc3897" 题型五 向量共线：双共线（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 6
\l "_Tc326" 题型六 数量积问题（★★★） PAGEREF _Tc326 \h 7
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 8
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 8
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 12
1、首先，明确向量的定义和性质，理解共线向量的概念，即方向相同或相反的向量。其次，利用向量的坐标表示法，通过比较两向量的对应坐标分量是否成比例，来判断它们是否共线。若成比例，则两向量共线。另外，也可以利用向量的几何意义，结合圆锥曲线的特性，通过观察或计算向量的方向来判断其共线性。综上所述，结合向量的代数和几何性质，可以有效解决圆锥曲线中的向量与共线问题。
2、三点共线问题的解题策略
（1）斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等来证明三点共线；
（2）距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；
（3）向量法：利用向量共线定理证明三点共线；
（4）直线方程法：求出过其中两点的直线方程，在证明第三点也在该直线上；
（5）点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线；
（6）面积法：通过计算求出以三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”。


题型一 垂直关系转化为向量数量积为0
1．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：.
2．已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.
(1)求的标准方程；
(2)若线段的中点为，求直线的方程；
(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.
3．是抛物线上的一个定点，是抛物线上两个动点，如果，问：动直线是否过定点？定点坐标是什么？
4．如图，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，准线交对称轴于点，过焦点且平行于准线的直线交抛物线于点，直线分别交准线于两点，问：以为直径的动圆是否过定点？

5．（25-26高三上·云南曲靖·月考）已知椭圆：，直线：与交于，两点.
(1)若过的右焦点，求的离心率.
(2)已知是的右顶点，过点且与垂直的直线与轴交于点.
①证明：.
②若的离心率为，证明：.
6．（24-25高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为（-1，0），点为椭圆上一点，点为椭圆的左顶点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于，两点，直线，分别与直线交于，两点．
①求证：为定值；
②以为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，若不过定点，试说明理由．

题型二 利用向量解决夹角问题
1．已知抛物线的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与交于两点，向量的夹角为（其中为坐标原点），求实数的取值范围.
2．已知抛物线，直线过点，并交抛物线于两点，若，直线与轴交于点，问：与的夹角是否为定值？
3．椭圆Γ：与双曲线C：的离心率分别为，．
(1)若，求的值；
(2)当时，设点，若对于直线l：，椭圆Γ上总存在不同的两点A与B关于直线l对称，且，求的取值范围．
4．（2025·北京·模拟预测）已知椭圆的左焦点为，，分别为左右顶点.点是直线上异于点的动点，直线交椭圆的另一点为点.
(1)求的值；
(2)直线与交于点，求证：.

题型三 向量共线：单共线
1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标.
2．已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．
(1)求椭圆的标准方程：
(2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程．
3．（2025·北京·三模）已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)求的横坐标.
4．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，
①证明：；
②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围．
5．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知点和直线:，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)已知，过点作直线交于，两点，若，求的斜率的值.

题型四 向量共线：三点共线
1．（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，A为C上一点，的最小值为1.
(1)求C的方程；
(2)设点，斜率不为0的直线与C交于另一点B.
（i）若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率；
（ii）若D为C上一点，且点D与点A关于x轴对称，证明：三点共线.
2．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.
3．（2024·四川·模拟预测）已知与圆P：内切，且与直线：相切的动圆Q的圆心轨迹为曲线C，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，延长AO，BO分别与直线：相交于点M，N．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点A作于，若，O，B三点共线，试探究线段MN的长度是否存在最小值．如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
4．（23-24高三上·云南昆明·月考）已知椭圆的离心率是 ，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)求证：；
(2)若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

题型五 向量共线：双共线
1．（2024·陕西西安·模拟预测）在直角坐标系中，动点到定点的距离比点到轴的距离大2．
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过轴上的点的任意直线，交轨迹于不同两点和；交轴于，且，求的值．
2．（23-24高三上·北京海淀·月考）已知椭圆，、为椭圆的焦点，为椭圆上一点，满足，为坐标原点．
(1)求椭圆的方程和离心率．
(2)设点，过的直线与椭圆交于、两点，满足，点满足满足，求证：点在定直线上．
3．（25-26高三上·江西·月考）已知椭圆的焦距为2，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为.

(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B为椭圆的左右顶点，过右焦点的直线交椭圆于M，N两点，直线AM，BN交于点.
（i）求证点在定直线上；
（ii）设，求的最大值.
4．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，.
(1)求的方程；
(2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围.
5．（2025·广东珠海·模拟预测）已知点，以线段为直径的圆内切于圆．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)当过点的动直线与轨迹相交于两点（可以相同）时，，．求动点的轨迹长度．

题型六 数量积问题
1．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）设，分别是直线和上的动点，且，动点为线段的中点．
(1)求动点的轨迹方程；
(2)已知线段是圆的一条直径，求的最大值．
2．（25-26高三上·重庆·月考）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心､椭圆的短半轴长为半径的与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过定点斜率为的直线与椭圆交于两点，若求实数的值及的面积.
3．（2025·四川凉山·三模）已知是抛物线上的点，到抛物线的焦点的距离为．
(1)求的方程；
(2)若直线与交于，两点，且（点为坐标原点），求面积的最小值．
4．（24-25高三下·湖北·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，上一点与、的距离的差的绝对值等于4．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点作斜率为的直线与交于、两点．当为锐角时，求的取值范围．
5．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线，左､右顶点分别为，过的直线交双曲线于两点.
(1)若在第一象限，是等腰三角形，求的坐标；
(2)连接并延长交双曲线于，若，求的取值范围.
6．（2025·江苏苏州·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，直线与交于两点.
(1)若过，另一条过的直线与交于两点（在轴上方），直线分别交直线于两点，证明：为的中点；
(2)若上存在点，使得，证明：为定值.

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（2025·云南昆明·二模）已知，，动点满足直线与直线斜率之积为．记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点作直线与相交于，两点，与轴交于点，若，求直线的方程．
2．直线和抛物线相交于，以为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线过定点，并求定点的坐标.
3．（24-25高三上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知双曲线E：与有相同的渐近线，且过点.
(1)求E的方程；
(2)已知O为坐标原点，直线与E交于P，Q两点，且，求m的值.
4．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）已知抛物线的焦点为，且抛物线经过点，直线与抛物线交于两点，为坐标原点．
(1)求拋物线的标准方程；
(2)若直线过定点，求面积的取值范围；
(3)若，求直线的方程．
5．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系中，动点到点的距离与到直线：的距离相等，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线过点与曲线交于点，，点满足，当直线斜率最大时，求点的坐标.
6．已知椭圆过点，且离心率，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)判断是否存在直线l，满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
7．（2024·陕西商洛·一模）已知双曲线的左、右顶点分别是，点在双曲线上，且直线的斜率之积为3．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率不为0的直线与双曲线交于两点，为坐标原点，若，求点到直线的距离的最大值．
8．（2024·新疆·二模）已知椭圆的左焦点为，上任意一点到的距离的最大值和最小值之积为1，离心率为．
(1)求的方程；
(2)设过点的直线与交于，两点，若动点满足，，动点在椭圆上，求的最小值．
9．（25-26高三上·重庆·开学考试）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为直线上不同于点的任意一点，若直线分别与椭圆相交于异于，的点，证明：点在以为直径的圆内．
10．（2025·山东·模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线的焦距为，过点的直线与C交于A，B两点，当轴时，的面积为.
(1)求C的方程；
(2)证明：为钝角三角形.
11．已知为抛物线上的一点，，为抛物线上异于点的两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数.
（1）求直线的斜率；
（2）设直线过点并交抛物线于，两点，且，直线与轴交于点，试探究与的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由.
12．已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的右焦点为，若点在椭圆上，满足，求直线的斜率．
(3)过点的动直线与椭圆有两个交点，在y轴上是否存在点使得恒成立．若存在，求出点纵坐标的取值范围；若不存在，说明理由．
13．已知是椭圆的左顶点，是椭圆上不同的两点．
(1)求椭圆的焦距和离心率；
(2)设，若，且、、和、、分别共线，求证：三点共线；
(3)若是椭圆上的点，且，求的面积．
14．（25-26高三上·江苏·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点．
(1)求的方程；
(2)若均在的右支上，且的周长为，求的方程；
(3)是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2025·四川广安·模拟预测）已知椭圆：的右焦点为，上两点满足（），且.若椭圆的左右顶点为，，上下顶点为，，记四边形的内切圆为.
(1)求圆的标准方程；
(2)求证：以为直径的圆恒过异于点的一个定点；
(3)已知为椭圆上任意一点，过点作圆的切线分别交椭圆于，两点，试求三角形面积小值.
16．（2025·江西·一模）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，焦距为，圆与椭圆相交于，两点，，的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的动直线与椭圆有两个交点，，以线段为直径作圆，点始终在圆内（包括圆周），求的取值范围．

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为 ， 且经过点，分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于两点 (其中D在x轴上方).
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 求直线的方程.
2．（24-25高三上·广东广州·月考）已知椭圆C:的左、右焦点分别为，，离心率为，长轴长与短轴长之和为6.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知，，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设，.求证：当点P在椭圆C上运动时，为定值.
3．（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的离心率为，A为椭圆左顶点，已知点，且直线PA的斜率为.过点作直线l交椭圆于B，C两点（B在x轴上方，C在x轴下方），设PB，PC两直线分别交椭圆于另一点D，E（B，E分别在线段PD，PC上）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)当时，若l的斜率小于零，且的面积为，求证：；
(3)若存在实数，使得，求此时直线DC的斜率.
4．（23-24高三下·江西·开学考试）已知椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点.
(1)若点为上一动点，求的最大值与最小值；
(2)若，求的斜率；
(3)在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由.
5．已知椭圆：（）的右焦点为，且点到长轴两个端点的距离分别为和，为坐标原点.
(1)求的方程.
(2)过点且不与轴重合的直线与交于两点.
（ⅰ）若的面积为，求的方程；
（ⅱ）若线段的中点为，在点处分别作的切线，两切线相交于点，求证：，，三点共线.
6．（2024·河南驻马店·二模）已知双曲线的左顶点为，直线与的一条渐近线平行，且与交于点，直线的斜率为．
(1)求的方程；
(2)已知直线与交于两点，问：是否存在满足的点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
7．（24-25高三下·河南新乡·月考）已知椭圆的右焦点为，右顶点为，直线与轴交于点，且．
(1)求椭圆的方程．
(2)设点为直线上的动点，过作的两条切线，分别交轴于点．
①证明：直线的斜率成等差数列．
②设经过三点，是否存在点，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由．
8．若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标；
(3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线.
9．（2025·江西南昌·模拟预测）如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(2)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.
10．（24-25高三下·江苏常州·开学考试）已知中心在原点，焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦点E作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6.
(1)求E的方程；
(2)若面积为3的的三个顶点均在E上，边BC过F，边AB过原点，求直线BC的方程；
(3)已知，过点的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足，且？若存在，求S的坐标，若不存在，请说明理由.