重难点培优09 直线与圆锥曲线的位置关系（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优09 直线与圆锥曲线的位置关系（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共16页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 3
\l "_Tc16555" 题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判断（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 3
\l "_Tc7141" 题型二 直线与圆锥曲线相交弦长（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 4
\l "_Tc26803" 题型三 直线与圆锥曲线相切（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 切线与定值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc3897" 题型五 切线与定点问题（★★★★★） PAGEREF _Tc3897 \h 7
\l "_Tc326" 题型六 切线与最值问题（★★★★★） PAGEREF _Tc326 \h 8
\l "_Tc11957" 题型七 其他切线问题（★★★★★） PAGEREF _Tc11957 \h 10
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 11
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 11
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 14
1、直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去(或)，得到关于(或)的一元二次方程，则
（1）直线与圆锥曲线相交⇔；
（2）直线与圆锥曲线相切⇔；
（3）直线与圆锥曲线相离⇔.
2、弦长公式
设，根据两点距离公式．
（1）若在直线上，代入化简，得；
（2）若所在直线方程为，代入化简，得
（3）构造直角三角形求解弦长，．其中为直线斜率，为直线倾斜角．
3、双切线问题
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法.
（1）解题思路：
①根据曲线外一点设出切线方程．
②和曲线方程联立，求出判别式．
③整理出关于双切线斜率的同构方程．
④写出关于的韦达定理，并解题．
（2）过一点的圆锥曲线的切线方程
①点在圆上，过点作圆的切线方程为．
②点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
③点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
④点在圆上，
过点作圆的切线方程为．
⑤点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
⑥点在圆内，过点作圆的弦（不过圆心），分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
⑦点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
⑧点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
⑨点在椭圆内，过点作椭圆的弦（不过椭圆中心），分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
⑩点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
⑪点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．


题型一 直线与圆锥曲线的位置关系判断
【技巧通法·提分快招】
1．直线与椭圆（）的位置关系为（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定
2．（2025·天津·二模）“”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．直线与曲线（）的公共点的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．直线过点与双曲线有且只有一个交点，则这样的直线有 条．
5．讨论直线与双曲线的公共点的个数．
6．（24-25高三上·广东·月考）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．
(1)求的方程；
(2)讨论过点的直线与的交点个数．

题型二 直线与圆锥曲线相交弦长
【技巧通法·提分快招】
1．过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线与双曲线交于A，B两点，则＝（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（2025·山东泰安·模拟预测）已知抛物线的焦点是圆的圆心，过点的直线与相交，交点自上而下分别为，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知椭圆：的左焦点为，不经过且斜率为的直线交于，两点.当的周长最大时，（ ）
A．B．C．D．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线焦点为，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），其准线与轴交于点，若线段的垂直平分线恰好过，则（ ）
A．B．C．D．2
5．已知双曲线：，若直线的倾斜角为60°，且与双曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若，则点P的坐标为 .
6．（25-26高三上·黑龙江绥化·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆C上一点，且的周长是，椭圆C的离心率为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且，求.
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在上，且.
(1)求的标准方程；
(2)过的直线交于M，N两点，线段与线段交于点，若的面积等于的面积，求.

题型三 直线与圆锥曲线相切
【技巧通法·提分快招】
1．已知为抛物线上一点，若过点且与该抛物线相切的直线交轴于点，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．（2025·河北·模拟预测）已知椭圆C：与直线相切，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．（2025·上海·三模）抛物线中，以为切点的切线方程为
4．写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为 .
5．（1）求双曲线在点处的切线方程；
（2）已知是双曲线外一点，过P引双曲线的两条切线，A，B为切点，求直线AB的方程．

题型四 切线与定值问题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知抛物线：与双曲线：相交于点．
(1)若，求抛物线的准线方程；
(2)记直线l：与、分别切于点M、N，当p变化时，求证：的面积为定值，并求出该定值．
2．（2025高三·全国·专题练习）在直角坐标系xOy中，点，，过点M的直线AM与BM的斜率之积为．
(1)求点M的轨迹C的方程；
(2)过曲线C上任一点N作C的切线l，若l与直线，分别交于点P，Q，试判断△OPQ的面积是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
3．已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，，求直线的方程．
(3)若过椭圆上一点的切线方程为，利用上述结论，设是从椭圆中心到椭圆在点处切线的距离，当在椭圆上运动时，判断是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由．
4．已知椭圆，分别为双曲线的左，右顶点，分别为和的离心率．
(1)若．
（ⅰ）求的渐近线方程；
（ⅱ）过点的直线l交的右支于两点，与直线交于两点，记坐标分别为，求证：；
(2)从上的动点引的两条切线，经过两个切点的直线与的两条渐近线围成三角形的面积为S，试判断S是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，说明理由．
5．（24-25高三上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线为C上不与左、右顶点重合的两点，记直线AB的斜率为中点为
(1)当直线OM斜率存在时，求用a，b表示；
(2)记C在点A处切线的斜率为，在点B处切线的斜率为，证明：依次构成等差数列的充要条件为

题型五 切线与定点问题
1．已知椭圆的离心率为，椭圆上的点与两个焦点构成的三角形的最大面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点为直线上的任意一点，过点作椭圆的两条切线（切点分别为），试证明动直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．
2．已知椭圆（）的焦距为2，点在C上．
(1)求C的方程；
(2)若过动点P的两条直线，均与C相切，且，的斜率之积为，点，问是否存在定点B，使得？若存在，求出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知圆，设点为圆与轴负半轴的交点，点为圆上一点，且满足的中点在轴上.
（1）当变化时，求点的轨迹方程；
（2）设点的轨迹为曲线，、为曲线上两个不同的点，且在、两点处的切线的交点在直线上，证明：直线过定点，并求此定点坐标.
4．（23-24高三下·河南信阳·月考）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，右焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的方程；
(2)设动直线与相切于点A，且与直线相交于点，点为平面内一点，直线的倾斜角分别为．证明：存在定点，使得．
5．（23-24高三下·山西·开学考试）如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．

(1)若，求切线的方程；
(2)若，求证：直线恒过定点．
6．（2025·河南·模拟预测）（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为；
（2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程；
（3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点．

题型六 切线与最值问题
1．（2025·云南·模拟预测）已知抛物线的焦点为，是上任意一点，的最小值为1.
(1)求的方程；
(2)设坐标原点为，在点（异于点）处的切线交轴于点，求的最大值.
2．已知椭圆：与抛物线：有相同的焦点，且椭圆过点．
(1)求椭圆与抛物线的标准方程；
(2)椭圆上一点在轴下方，过点作抛物线的切线，切点分别为，求的面积的最大值．
3．已知椭圆的离心率为，它的顶点构成的四边形面积为4，过点作的切线交椭圆于、两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，求面积的最大值.
4．（2025·河北廊坊·模拟预测）已知双曲线过点，离心率为，直线与的左支交于两点，与轴交于点.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，设的面积分别为，若，求的方程；
(3)若上存在点，过点可以作的两条切线，且两条切线互相垂直，求的取值范围.
5．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，已知为半圆上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，直线分别与轴交于点，记的面积为，的面积为．
(1)若的焦点为，且的最小值为，求的值；
(2)若存在点，使得，求的取值范围．
6．（23-24高三下·辽宁·月考）已知双曲线（，）的离心率为，且经过点.
(1)求的方程；
(2)过原点的直线与交于，两点（异于点），记直线和直线的斜率分别为，，证明：的值为定值；
(3)过双曲线上不同的两点，分别作双曲线的切线，若两条切线相交于点，且，求的最大值.
7．（25-26高三上·青海西宁·月考）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为.点在线段上，且满足.当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的标准方程及离心率.
(2)点是直线上一动点.
（i）若点在轴上，为坐标原点，过点的直线与交于不同的两点，为线段的中点，且，求的方程；
（ii）过作的两条切线分别交轴于两点，求面积的取值范围.

题型七 其他切线问题
1．已知椭圆，过原点和点的直线交椭圆于点，过点的中点弦为，过分别作切线，交于点，求证：．
2．（25-26高三上·重庆·月考）过点的动直线与抛物线相交于两点，线段的中点为.
(1)求点的轨迹的方程；
(2)设为轨迹上的两点，且，设轨迹在处的切线交于点，若在直线上，求直线的斜率.
3．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且焦距为．
(1)求的方程；
(2)上是否存在点，使得过点可作的两条互相垂直的切线？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
4．如图，已知半径为，圆心在椭圆上的动圆，过椭圆中心作圆的两条切线，分别交椭圆于两点，问：是否为定值？

5．在平面直角坐标系中，曲线的点均在圆外，且对上任意一点，点到直线的距离比点到点的距离小1．
(1)求曲线的方程；
(2)若直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，求四边形面积的最小值；
(3)设为直线上一动点，过点作圆的两条切线，分别与曲线相交于点和．证明：点的纵坐标之积为定值2304．

检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（24-25高三上·湖南永州·月考）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
2．若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（ ）．
A．存在过点的直线与该双曲线相切
B．不存在过点的直线与该双曲线相切
C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切
D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点
3．（2025·河南·模拟预测）若过点的直线与抛物线交于B，C两点，以B，C为切点分别作的两条切线，则两条切线的交点的轨迹方程为 ．
4．在平面直角坐标系xOy中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线与相切于点，若点的纵坐标为2，求直线的方程.
5．已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且．
(1)求p；
(2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程．
6．（25-26高三上·福建·开学考试）已知椭圆E: 的离心率为 短轴长为2.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)若不与坐标轴平行的直线l与椭圆E相切于点 P，证明：直线OP与直线l的斜率之积为定值；
7．已知椭圆，是直线在第一象限上一点，由向已知椭圆作两切线，切点分别是，求直线的方程，使与两坐标轴围成的三角形面积最小，并求出这个最小值.
8．（25-26高三上·重庆·月考）已知抛物线的焦点到直线的距离为，直线与交于两点.
(1)求的准线方程；
(2)若直线的方程为，求；
(3)过两点分别作的切线，且相交于点，若点的纵坐标为，证明：直线过定点.
9．已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等.
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线的斜率都存在，求证：两条切线斜率之积为定值.
10．已知圆的方程为，直线的方程为，点为平面内一动点，是圆的一条切线为切点），并且点到直线的距离恰好等于切线长．
（1）求点的轨迹方程；
（2）已知直线的方程为，过直线上一点作（1）中轨迹的两条切线，切点分别是，两点，证明：直线经过定点，并求出定点坐标．
11．在平面直角坐标系中，已知圆心为点的动圆恒过点，且与直线相切，设动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)为直线：上一个动点，过点作曲线的切线，切点分别为，，过点作的垂线，垂足为，是否存在实数，使点在直线上移动时，垂足恒为定点？若不存在，说明理由；若存在，求出的值，并求定点的坐标．
12．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆上的任一点，从原点向圆引两条切线，设两条切线的斜率分别为，
（i）求证：为定值；
（ii）当两条切线分别交椭圆于时，求证：为定值.
13．（24-25高三上·河南周口·期末）已知抛物线的顶点为，焦点为，直线与相交于，两点，当时，.
(1)求的方程.
(2)若，试问是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
(3)若经过点，直线与相切于点，且，求面积的最小值.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.
(1)求C的方程.
(2)若直线与C的右支相切，切点为P，与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由.
2．已知为坐标原点，椭圆的右焦点为，且点在上.
(1)求的方程；
(2)设直线交于两点，与在第二象限相切于点，且直线和过点，若，，依次成等比数列，证明：.
3．已知曲线和曲线.
(1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：；
(2)若直线与曲线相切，求证：；
(3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切.
4．已知椭圆的上、下焦点分别为，顶点在原点的抛物线的焦点与椭圆的上焦点相同，过点的直线与交于两点，与抛物线交于两点，当直线垂直于时，．
(1)求椭圆和抛物线的标准方程；
(2)若的内切圆的半径为，求直线的方程；
(3)分别以为切点作抛物线的切线，则两切线的交点是否在定直线上？证明你的结论．
5．设抛物线C：的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且，求直线AB的倾斜角；
(2)求的值.
6．（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）已知双曲线(其中)的离心率为，且E上的点到焦点距离的最小值为．
(1)求E的方程；
(2)过直线上一点P，作双曲线E的两条切线，切点分别为A，B，连接AB．
（i）求证：直线AB过定点，并求出定点的坐标；
（ⅱ）已知点P在第一象限，A，B分别在第一、四象限，若的面积为，求直线AB的方程．
7．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）椭圆的左，右焦点分别为，，过的直线交于，两点（点位于轴上方），为坐标原点.
(1)若，求的值；
(2)已知二次曲线在点处的切线方程为，现过，两点作的两条切线相交于点，求面积的最小值.
8．（25-26高三上·河北衡水·开学考试）关于椭圆有如下结论：“过椭圆上一点作该椭圆的切线，切线方程为”.已知离心率都为的椭圆，的对称中心都是原点.焦点都在轴上，且椭圆的焦距是椭圆的焦距的倍，椭圆的长轴长为4.
(1)分别求椭圆，的标准方程；
(2)已知点是椭圆上的任意一点，过点分别作椭圆的两条切线.切点分别为，，直线，分别与椭圆相交于异于点的，两点.
（i）证明：线段是的中位线：
（ii）证明：直线经过原点.
9．（2025·海南·模拟预测）已知抛物线与圆没有公共点，过上一动点作圆的两条切线，切点分别为、．
(1)求实数的取值范围．
(2)若，求的最小值．
(3)设直线、分别交于另一点、，是否存在实数，使得当点在上运动时，直线总与圆相切?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
10．（2025·浙江·二模）已知椭圆，过作椭圆在第四象限的切线，其中切点为.设是椭圆第一象限上的动点，过作椭圆的另一条切线，交轴于点.
(1)求切线的方程；
(2)过点垂直于轴的直线与直线交于点，求面积的最大值；
(3)直线和切线相交于点，过点作的平行线交切线于点.问：是否存在实数，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.
11．（24-25高三上·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点．当垂直于轴时，长度为；
(1)求的方程；
(2)若点的横坐标为，求；
(3)设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
12．（24-25高三下·湖南长沙·开学考试）如图已知抛物线，点A，B，C是抛物线上的三个不同的动点，当抛物线的焦点F为的重心时，线段FA，FB，FC长度之和为．过A，B，C三点作抛物线的切线，三条切线两两交于点D，E，G．
(1)求p；
(2)求证：；
(3)已知和的面积分别为，是否存在实数，使得?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
13．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知双曲线的离心率为2，右焦点与抛物线的焦点重合，双曲线的左、右顶点分别为，点为第二象限内的动点，过点作双曲线左支的两条切线，分别与双曲线的左支相切于两点，已知的斜率之比为．
(1)求双曲线的方程；
(2)直线是否过定点？若过定点请求出定点坐标，若不过定点请说明理由；
(3)设和的面积分别为和，求的取值范围．
直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程联立方程消元后得到一元二次方程，其中；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式：．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．