重难点培优14 圆锥曲线中的韦达定理和非对称韦达的应用（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4

这是一份重难点培优14 圆锥曲线中的韦达定理和非对称韦达的应用（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测（原卷版）-A4，共11页。
\l "_Tc28373" 02 题型精研・技巧通法提能力 PAGEREF _Tc28373 \h 2
\l "_Tc16555" 题型一 韦达化处理：消y（★★★★★） PAGEREF _Tc16555 \h 2
\l "_Tc7141" 题型二 韦达化处理：消x（★★★★★） PAGEREF _Tc7141 \h 3
\l "_Tc26803" 题型三 韦达化处理：配凑（★★★★★） PAGEREF _Tc26803 \h 5
\l "_Tc13512" 题型四 非对称韦达化的处理（★★★★★） PAGEREF _Tc13512 \h 6
\l "_Tc25070" 03 实战检测・分层突破验成效 PAGEREF _Tc25070 \h 7
\l "_Tc621" 检测Ⅰ组 重难知识巩固 PAGEREF _Tc621 \h 7
\l "_Tc1659" 检测Ⅱ组 创新能力提升 PAGEREF _Tc1659 \h 10
一、直线和曲线联立（以椭圆和抛物线为例）
1、椭圆与直线相交于两点，设，
，
椭圆与过定点的直线相交于两点，设为，如此消去，保留，构造的方程如下：，
注意：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②焦点在轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述．
2、抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
特殊地，当直线过焦点的时候，即，，因为为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆．
抛物线与直线相交于两点，设，
联立可得，时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析．
二、非对称韦达问题
在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的运算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．


题型一 韦达化处理：消y
1．（25-26高三上·四川成都·月考）已知点在抛物线上．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点的直线l交抛物线C于A，B两点，设直线，的斜率分别为，，O为坐标原点，求的值．
2．（25-26高三上·陕西·月考）已知椭圆的长轴长为4，焦距为2，过点的一条直线与椭圆相交于两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，求直线的方程.
3．（25-26高三上·云南·月考）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且．
(1)求的方程；
(2)点关于轴对称点为（异于点），直线交轴于点，记，的面积分别为，求的值．
4．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知椭圆，点P为C的上顶点．
(1)求椭圆C的离心率；
(2)求椭圆上动点T到点P的距离的最大值；
(3)设与两坐标轴均不垂直的直线l与椭圆C交于异于P的两点A和B，设直线PA、PB的斜率分别为、．当时，判断直线l是否经过定点？若是，请求出这一定点；若不是，请说明理由．
5．（25-26高三上·山西太原·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上， 的周长为6，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由．

题型二 韦达化处理：消x
1．（25-26高三上·广东湛江·月考）已知椭圆（）的离心率为．
(1)求E的方程；
(2)记坐标原点为O，过点的直线与E交于A，B两点，若，求的面积．
2．（24-25高三上·云南大理·开学考试）已知双曲线的右焦点为，右顶点为为坐标原点，且.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与的右支交于两点，记的左顶点为，证明：.
3．（25-26高三上·云南·月考）已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，过点的直线交于两点，当与轴垂直时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线的斜率存在且不为，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围.
4．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知为抛物线的焦点，点在拋物线上，且点的纵坐标为3，以线段为直径的圆与直线相切．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线交抛物线于两点，作于点，若直线的斜率之和为3，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．（25-26高三上·天津·月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是椭圆上的一点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求的最小值.
6．已知双曲线的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为2.
(1)求的方程；
(2)经过点的直线、（斜率都存在）分别与交于点、和、，、分别为、的中点.
（i）若点，求直线的方程；
（ii）若点，且，证明：直线过定点.

题型三 韦达化处理：配凑
1．（25-26高三上·湖南湘西·月考）在直角坐标系中，已知抛物线与，过点的直线与交于两点，直线和分别与交于点和（异于原点）．
(1)证明：为定值；
(2)证明：；
(3)设为直线的交点，，求的最小值．
2．已知双曲线的一条渐近线方程为，右焦点为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若双曲线的右顶点为，过焦点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点，记直线的斜率分别为，的面积分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）求的取值范围.
3．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的左，右焦点分别为、，直线与椭圆交于M、N两点，（点M在点N的上方），与y轴交于点E.

(1)求椭圆的离心率e；
(2)若直线l过点时，设，，求证：为定值，并求出该值；
(3)当k为何值时，恒为定值，并求此时三角形面积的最大值.

题型四 非对称韦达化的处理
【技巧通法·提分快招】
1．如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3．
2．已知、分别是离心率的椭圆的左右顶点，P是椭圆E的上顶点，且.
（1）求椭圆E的方程；
（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.
3．已知椭圆：（）过点，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程.
4．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知椭圆E： 的左焦点为，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值，
①求定点 Q 的坐标；
②求△ABQ 面积的最大值.


检测Ⅰ组 重难知识巩固
1．（25-26高三上·广东·月考）已知双曲线的渐近线方程为，且过点.
(1)求的方程；
(2)过的上焦点且斜率为的直线与交于，两点，证明：.
2．（25-26高三上·天津红桥·月考）已知椭圆C的焦点在x轴上，中心在坐标原点，离心率为，过椭圆的左焦点F且倾斜角为的直线与圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若B关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点.
3．（2025高三上·广东深圳·专题练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于两点，过分别作的垂线，垂足分别为，直线，与直线分别交于点．
(1)求的方程；
(2)记的纵坐标分别为，当时，求直线的斜率．
4．（2025·湖南岳阳·模拟预测）抛物线的焦点为，且过点．过点的一条直线与交于两点（在线段之间），且与线段交于点．
(1)证明：点到和的距离相等；
(2)若的面积等于的面积，求点的坐标．
5．（25-26高三上·青海·月考）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左、右顶点，C为椭圆的上顶点，且．直线：交椭圆于M，N两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线AM的斜率为，直线BN的斜率为，求的值；
6．已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点.
（i）证明：点在定直线上；
（ii）求的最大值.
7．（25-26高三上·海南海口·月考）已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点.
(1)求双曲线的实轴长和离心率；
(2)证明：直线的方程为；
(3)求的面积.
8．（2025·湖南·模拟预测）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l与椭圆C交于A，B两点，直线交线段于点Q，且，证明：直线l过定点．
(3)在（2）的条件下，求的最大值．
9．（25-26高三上·全国·月考）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且．直线l：交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线的斜率为，直线的斜率为，求的值；
(3)若，证明：当时，为锐角三角形．
10．（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆．
(1)求椭圆的离心率；
(2)设、、是椭圆上的不同三点，若，点为线段的中点，求证：点在椭圆上；
(3)已知直线过点且斜率为，直线与椭圆相交于，设与的面积比为，当时，求实数的取值范围．
11．若椭圆的两个焦点分别为，且椭圆过点，若直线经过点且交椭圆于两点，交直线于点，直线的斜率分别为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线关于直线对称，求；
(3)探究的数量关系.
12．（25-26高三上·云南·期中）已知点在椭圆：上，且的长轴长为短轴长的2倍.
(1)求的方程.
(2)若，是上关于原点对称的两个点，为上一动点，直线，的斜率均存在，且分别设为，，判断是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
(3)已知过点，且斜率不为0的直线与交于，两点，弦的中点为，直线（为坐标原点）与交于，两点，求四边形的面积的取值范围.

检测Ⅱ组 创新能力提升
1．（2025·湖南郴州·一模）已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
2．（25-26高三上·上海·月考）已知椭圆的离心率为，且过点．四边形的顶点均在椭圆上，直线过的左焦点，对角线交点为椭圆的右焦点．
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积的最大值；
(3)若点在第一象限，求直线斜率的取值范围．
3．（25-26高三上·河南安阳·月考）已知椭圆经过点，且离心率为.
(1)求的方程.
(2)若的右顶点为，左焦点为，点是上的两个动点，直线的斜率存在且不为0.
（i）若直线关于轴对称，证明：直线过定点；
（ii）若为坐标原点，直线过点，直线与直线分别交于点，证明：.
4．设椭圆的右顶点为A，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线上两点M，N关于x轴对称，直线AM与椭圆C相交于点B（B异于点A），直线BN与x轴相交于点D，若的面积为，求直线AM的方程；
(3)P是y轴正半轴上的一点，过椭圆C的右焦点F和点P的直线l与椭圆C交于G，H两点，求的取值范围.
5．（2025·河南·三模）已知抛物线，焦点F在直线上，又动直线l与C的交点为A，B两点，A，B在x轴同侧，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)证明直线l经过定点；
(3)直线与直线，分别交于M，N，若恒成立，求t的值．
6．（2025·湖北黄冈·一模）已知双曲线（，）过点，且焦距为4.
(1)求C的方程.
(2)设A为C的右顶点，B为C左支上一点，求面积的最小值.
(3)若过点的直线与C的左、右两支分别交于点E，F，直线上是否存在不同于点D的点Q，使得DQ平分？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
7．（2025·上海金山·三模）已知双曲线的右焦点为．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)已知，点在双曲线上且不与坐标轴垂直，若为直角三角形，求的面积；
(3)过点的动直线交双曲线C于两点，过点分别作直线的垂线，垂足分别为与（不同于点），连接，这两条直线相交于点，问点是否为定点，若是，请求出点的坐标，若不是，请说明理由．
8．（2025·陕西安康·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，离心率为，双曲线过点，直线与双曲线的右支交于、两点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线过点，定点（异于点）满足，求的值；
将直线的方程与圆锥曲线方程联立，消去，得到关键方程（设方程的两根和），在某些问题中，可能会涉及到需计算两根系数不相同的代数式。例如，运算过程中出现了、等结构，且无法直接通过合并同类项化为系数相同的情况处理，像这种非对称的结构，通常是无法根据韦达定理直接求出的，此时一般的处理技巧是抓住和的关系将两根积向两根和转化，通过局部计算、整体约分的方法解决问题。