新高考数学二轮复习高分突破训练第01讲 函数的零点问题（2份，原卷版+解析版）

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1.零点问题的处理步骤：
（1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像
（2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围
（3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值
2.零点问题常见处理方法：
（1）代换法：将相等的函数值设为，从而用可表示出，将关于的表达式转化为关于的一元表达式，进而可求出范围或最值
（2）利用对称性解决对称点求和：如果关于轴对称，则；同理，若关于中心对称，则也有。将对称的点归为一组，在求和时可与对称轴（或对称中心）找到联系
3. 求解复合函数零点问题的技巧：
（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出的图像
（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于的方程中解的个数，再根据个数与的图像特点，分配每个函数值被几个所对应，从而确定的取值范围，进而决定参数的范围
例1．已知函数若函数有6个零点，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用数形结合可得在上有两个不同的实数根，然后利用二次函数的性质即得.
【详解】设，则，作出函数的大致图象，如图所示，
则函数有6个零点等价于在上有两个不同的实数根，
则解得.故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合，把问题转化为方程在上有两个不同的实数根，即二次方程根的分布问题，利用二次函数的性质即解.
例2．若函数恒有2个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．（，1） C． D．
【答案】A
【分析】先由导数得出单调性并画出其简图，再结合的图象，根据函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，得出a的取值范围.
【详解】令，得．令，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 的最大值是，作出函数及的图象，如图所示，函数恒有两个零点等价于函数及的图象有两个交点，所以，解得．故选：A．
例3．已知函数，，若函数在内有3个不同的零点，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】先考虑的情况，再考虑的情况，把函数有3个零点转化为方程有3个实根，化简，构造两个新函数，图像有3个交点，画图得答案.
【详解】，当时，显然有，即不是的零点；
当时，函数在内的零点个数即为方程在上的实根个数
当时，有，即；当时，有，即所以函数在内有3个不同的零点等价于与的图像有3个不同的交点，作出图像如图：
由图可知或故选：B.
例4．设函数在区间上存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C．7 D．
【答案】B
【分析】设t为在上的零点，可得，转化为点在直线上，根据的几何意义，可得，令，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.
【详解】设t为在上的零点，则，所以，即点在直线，又表示点到原点距离的平方，则，即，
令，可得，因为，所以，得在上为单调递增函数，所以当t=0是，，所以的最小值为.故选：B.
【点睛】解题的关键是根据的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、计算难度大，属难题.
例5．已知函数有四个不同的零点，，，，若，，，则的值为（ ）
A．0 B．2 C．－1 D．－2
【答案】D
【分析】将问题转化为与的交点问题，再根据数形结合思想可求解.
【详解】函数有四个不同的零点，即方程有四个不同的解，令，，即函数的图象与有四个不同的交点，两函数图象在同一个直角坐标系下的图象如下图所示：
所以，不妨设，
则，
所以.故选：D
例6．已知函数恰有4个零点，则a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】把的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数即可解决．
【详解】当时，，所以不是的零点；
当时，由，即，得，则的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数．作出函数的大致图象（如图所示），
由图可知．故选：D
过关练习
1．若函数满足对都有，且为R上的奇函数，当时，，则的零点个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】分析函数的性质，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，再借助图象求解作答.
【详解】依题意，，为R上的奇函数，即，则，因此，是周期为2的周期函数，当时，是递增的，令，有，即，在同一坐标系内作出函数与的部分图象，如图，
观察图象得函数与的图象有4个公共点，所以的零点个数为4.故选：C
2．已知，，若在区间上恰有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，3） B．（2，4） C． D．
【答案】C
【分析】x∈，数形结合确定的范围使得图像和恰好有四个交点.
【详解】，在区间上恰有4个零点，等价与图象恰好有4个交点，因为x∈，所以，
如图所示，
则应该满足，解得.故选：C.
3．已知，则函数的零点个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由解析式及指对数的性质分析分段函数的性质，求函数时对应值，应用数形结合法判断零点个数.
【详解】由题设，当时且递减，当时且递减，令，则，可得或，如下图示：
由图知：时有一个零点，时有两个零点，故共有3个零点.故选：C
4．已知函数，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】首先利用方程组法求函数的解析式，由解析式判断的对称性，利用导数分析的单调性及极值点，根据函数有唯一的零点知极小值，即可求正实数值.
【详解】由题设，，可得：，由，易知：关于对称.当时，，则，
所以单调递增，故时单调递减，且当趋向于正负无穷大时都趋向于正无穷大，
所以仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即，解得.故选：B
【点睛】关键点点睛：奇偶性求函数解析式，导数分析函数的单调性、极值，根据零点的个数及对称性、单调性求参数值.
5．已知函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，函数f（x）有两个极值点
B．当时，函数f（x）在上没有最小值
C．当，函数f（x）有两个零点
D．当，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增
【答案】C
【分析】先求出函数的导数，再结合各选项中的范围判断导数的符号并得到相应的单调性，从而可判断各项的正误.
【详解】，当时，，如取，则，此时恒成立，
故为上的增函数，故无极值点，故A错误.
当时，，而，故在上有且只有一个实数根，且：
当时，；当时，，故在上为减函数，在上为增函数，
故在上，，故B错误.
当时，，当或时，；当或时，，
故在上为减函数，在上为增函数，而，，故有两个零点，故C正确.
当时，取，则，令，则或，令，则，故的增区间为，，减区间为，而，故D错误.故选：C.
6．已知函数有两个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】显然需要参数分离，将原题改造成为，求与有两个交点。
【详解】由得到：；令，由题意可以看做是与有两个交点；则，其中，，是单调递减的，并且时，=0；因此函数存在唯一零点，；当时，；时，；；得如下函数图像：
显然当时，与有两个交点；故答案为：B.
7．已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．36
【答案】D
【分析】依题意可得，即可有三个不同的零点，令，利用导数研究函数的单调性与最值，令，则必有两个根、，且令、，则必有一解，有两解、，且，再利用韦达定理代入计算可得；
【详解】解：因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故故选：D.
8．已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数有三个零点转化为与有三个交点，画出图像即可求出的取值范围.
【详解】函数有三个零点转化为与有三个交点.
,当 在单调递增，单调递减，时取到最大值1.作出图像如下图，由图像可知
故选：B.
9．已知函数在内恰有3个极值点和4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由第4个正零点小于1，第4个正极值点大于等于1可解.
【详解】，因为，所以，
又因为函数在内恰有个极值点和4个零点，由图像得：解得：，所以实数的取值范围是.故选：A.
10．已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数零点性质，即可求解．
【详解】，令，，．又函数在区间内没有零点，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是．故选：C．
11．已知函数，则函数的零点个数为（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】通过解法方程来求得的零点个数.
【详解】由可得.当时，，或（舍去），
当时，或.故是的零点，是的零点，是的零点.综上所述，共有个零点.故选：C
12．已知函数，则函数的零点个数为（ ）
A．3 B．4 C．2 D．1
【答案】A
【分析】令，令，得出，求出关于的方程的根或，然后再考查直线或与函数的图象的交点个数，即可得出答案．
【详解】令，令，则,
当时，则，所以 ，，
当时，，则，作出函数的图象如下图所示，
直线与函数的图象只有1个交点，线，与函数的图象只有2个交点，
因此，函数只有3个零点，故选：．
13．已知函数有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为函数与图象有两个不同的交点，根据换元法将函数转化为，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.
【详解】函数的定义域为，，
设，则，令，令，
所以函数在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以
函数有两个不同的零点等价于方程有两个不同的解，
则，等价于函数与图象有两个不同的交点.
令，则，，设，则，
令，令，所以函数在(0，1)上单调递减，在上单调递增，且，所以，所以，解得.故选：D
14．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】将问题转化为函数与的图象交点的个数，进而作图判断即可.
【详解】解:函数的零点个数即函数与的图象交点的个数，作图如图所示，
由图可知，两图象有两个交点，故原函数有2个零点，故选：C
15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．(0，) B．[0，) C．[0，] D．(0，)
【答案】A
【分析】对分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得参数的取值范围.
【详解】有三个零点，即方程有三个根，不妨令,则，故在单调递减，在单调递增，在单调递减，，且当时，恒成立.当趋近于负无穷时，趋近于正无穷；趋近于正无穷时，趋近于，故当时，满足题意.故选：A.
16．设函数，且．若存在实数n，使得函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】判断的单调性，得出在各单调区间端点的函数值，根据零点个数判断区间端点函数值的大小即可得出的范围.
【详解】时，是减函数，且，时，，
当时，，在上是减函数，此时最多有两个零点，不符合题意；
当时，，在上单调递增，在上单调递减，且，，
若存在，使有三个零点，则，即，解得.故选：C.