新高考数学二轮复习高分突破训练第06讲 基本不等式（2份，原卷版+解析版）

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1.利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量
①求和的式子→乘积为定值
②乘积的式子→和为定值
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立
② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。
2.常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况
（2）已知（为常数），求的最值，
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。
（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解：
例1．已知，（，），若，则的最小值为__________．
【答案】16
【分析】由，列方程化简变形可得，从而，然后利用基本不等式可得答案
【详解】因为，，，所以，因为，，所以，
所以，当且仅当，即取等号，
所以的最小值为16，故答案为：16
例2．已知a，b均为正数且满足，则，的最小值为___________.
【答案】8
【分析】巧用值的代换拼凑，展开利用基本不等式即求得最小值.
【详解】因为，故，
当且仅当时即时等号成立，故最小值为8.故答案为：8.
例3．已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】利用基本不等式来求得最小值.
【详解】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）
＝4＋5＋＋≥9＋2＝，当且仅当＝，时取等号，
此时，故的最小值为．故答案为：
例4．已知a，b为正实数，且，则的最小值为______．
【答案】6
【分析】利用已知化简可得，根据基本不等式计算即可.
【详解】由已知条件得，，
当且仅当，即，时取等号．故答案为：6.
例5．已知正实数x，y满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】由基本不等式得出，再由得出最值.
【详解】，当且仅当时，取等号，即，，当且仅当时，取等号.故的最小值是故答案为：
例6．设，则最小值为________
【答案】4
【分析】将原式进行配凑变形得，结合基本不等式可求出代数式的最小值.
【详解】原式
，，则，，，
，，
当且仅当，时，即时等号成立，
又，当时等号成立，所以原式，故最小值为4.故答案为：4
例7．若，，则的最小值为________
【答案】
【分析】由题意可知，，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.
【详解】因为，，所以，，
所以．
当且仅当时，取得最小值．故答案为：.
例8．已知，，，若，则的最小值为________
【答案】
【分析】对已知条件进行因式分解，转化为一次因式的积，再由均值定理解决即可.
【详解】，．，，
令，解得，，．则，
当且仅当，即，时取等号．的最小值为．故答案为：．
例9．若正数，满足，则的最小值为________
【答案】
【分析】因为正数，满足，所以，再根据基本不等式中“1”的用法，即可求出结果.
【详解】正数，满足，．
．
当且仅当，即时取等号，此时结合，
得，可知的最小值为．故答案为：．
过关练习
1．若，，，则的最小值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由余弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，求得，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，且，所以，
又由，可得，则，
当且仅当，即时，等号成立，所以最小值等于.故选：D.
2．若两圆（）和（）恰有三条公切线，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】分别求出两圆得圆心与半径，再根据两圆恰有三条公切线，可得两圆外切，从而可求得，再根据，利用基本不等式即可得出答案.
【详解】解：圆化为，则圆心为，半径，
圆化为，则圆心为，半径，
因为两圆（）和（）恰有三条公切线，
所以两圆外切，则圆心距，所以，
所以，当且仅当，即时，取等号，
所以的最小值为.故选：C.
3．已知，，，则以下不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件结合基本不等式进行求解.
【详解】由题意，，故选项A错误；
，当且仅当时，等号成立，故选项B正确；
，则，故选项C错误；
，故选项D错误.故选：B.
4．当时，函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】将函数化为，再运用基本不等式求解.
【详解】，，
，
当且仅当时取等号，故函数的最小值为.故选：C.
5．已知实数，满足，若不等式对任意的正实数恒成立，那么实数m的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】由根据函数的单调性求，再由基本不等式求的最小值，由此可求实数m的最大值.
【详解】设，则，当时，，所以函数在上为增函数，∵ ∴ ，即，又，
∴ ，∴当且仅当时等号成立，
∵不等式对任意的正实数恒成立，∴ ，故选：D.
6．已知，，，则的最小值为（ ）
A．13 B．19 C．21 D．27
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求最小值.
【详解】，当且仅当，即，b＝6时，等号成立，故的最小值为27故选：D
7．在正项等比数列}中，存在两项且 ，使得，且，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由已知条件结合等比数列通项公式可得，进而有，再应用基本不等式“1”的代换求最值，注意等号成立条件.
【详解】令公比为，由题设，又，
所以，可得或(舍)，
由，即，可得，
所以，又，则，
，
当且仅当时等号成立，所以，故当时.故选：C
8．已知，且，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．10
【答案】D
【分析】对方程变形，再利用基本不等式进行求解.
【详解】整理为：，由基本不等式得：，
即，解得：或，由于，所以舍去，
从而的最小值是10故选：D
9．已知为正实数，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】A
【分析】由条件可得，然后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为所以
当且仅当，即时等号成立故选：A
10．已知，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由，得到，结合不等式的基本性质、作差比较、基本不等式和对数的运算法则，逐项判定，即可求解.
【详解】由，可得，则，
对于A中，由，所以，所以A不正确；
对于B中，由，且，则，所以B不正确；
对于C中，由，且，当时，，此时；
当时，，此时；当时，，此时，所以C不正确；
对于D中，由，因为，可得，所以，可得，所以D正确.故选：D.
11．已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【分析】由给定条件求出点A的坐标即可得出，再利用“1”的妙用即可得解.
【详解】解：函数中，由可得，，即函数的图象恒过定点，
若点在直线上，即有，
于是得，当且仅当时取“=”，
所以时，的最小值为.故选：D
12．已知，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，可得，因为，可得且，解得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.故选：B.
13．函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．9
【答案】D
【分析】由对数性质得出定点，再由基本不等式得出最值.
【详解】由得，即，故，因为点在直线上，，所以，且.，当且仅当时，等号成立.故选：D
14．已知函数，若正实数m，n满足，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】先判断函数的单调性和奇偶性，将已知条件转化为恒等式，变形为，根据“1”的妙用，利用基本不等式求解即可.
【详解】∵，∴函数在上为单调递增函数，
∵，∴函数为上的奇函数，∵，
∴，即，，当且仅当，即时取得最小值.故选:.
15．已知，且，则的最小值是______．
【答案】6
【分析】根据均值不等式求最小值即可.
【详解】由题意，得，则（当且仅当时取等号，即时取等号），故的最小值是6．
故答案为：6
16．已知，则的最小值为______．
【答案】9
【分析】根据对数的运算性质可得x＋2y＝xy，利用基本不等式计算即可得出结果.
【详解】因为，所以x＋2y＝xy，x＞0，y＞0，所以，
则，当且仅当且，即x＝y＝3时取等号．故答案为：9
17．若a，b为正实数，直线与直线互相垂直，则ab的最大值为______.
【答案】1
【分析】由题得，再利用基本不等式求解.
【详解】解：依题意得，所以，即，，当且仅当时，等号成立，故的最大值为1.故答案为：1
18．已知，直线与曲线相切，则的最小值是________．
【答案】
【分析】根据题意设直线与曲线的切点为，进而根据导数的几何意义得，再根据基本不等式“1”的用法求解即可.
【详解】解：根据题意，设直线与曲线的切点为，
因为，直线的斜率为，
所以，，所以，
因为所以，当且仅当时等号成立.
所以的最小值是.故答案为：
19．已知，，直线与曲线相切，则的最小值是______．
【答案】
【分析】设直线与曲线的切点为，求得，，将切点坐标代入切线方程可得出，将所求代数式变形为，将该代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得结果.
【详解】设直线与曲线的切点为，对求导得，所以，即，所以，所以切点为，由切点在切线上，可得，所以
，
当且仅当，即时，等号成立．所以的最小值是．
故答案为：．