四川省自贡市富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析)

这是一份四川省自贡市富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试卷(含解析)，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列各式中属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．，2，B．，，C．1，1，2D．9，12，15
3．使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．且D．且
4．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，分别以点、为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则四边形的周长是（ ）
A．28B．30C．32D．34
5．在Rt△中，，，则（ ）
A．9B．18C．20D．24
6．若一个直角三角形的两条边长分别为5和12，则其第三边的长为（ ）
A．B．或13C．D．13
7．如图，在四边形中，，分别以四边为边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，长方体的高为，底面是边长为的正方形一只蚂蚁从顶点开始爬向顶点，那么它爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．
9．代数式的最小值是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
11．如图，▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，E、F为线段BD上两动点（不与端点重合）且EF＝BD连接AE，CF，当点EF运动时，对AE+CF的描述正确的是（ ）

A．等于定值5﹣B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
12．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、百牛定理，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一、如图，在中，，以各边为边向外作正方形、正方形、正方形．连接、、，若，，则这个六边形的面积为（ ）

A．28B．26C．32D．30
二、填空题
13．是一个正整数，则的最小正整数是 ．
14．如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是 cm．
15．如图所示，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为 ．
16．化简：的结果是 ．
17．如图，中，，过点B作，且，连接交于点E，若，则 ．
18．如图，在正方形的对角线上取一点，使得，连接并延长到，使与相交于点，若，有下列四个结论：①；②；③；④．则其中正确的结论有 ．(填序号)

三、解答题
19．计算：
(1)；
(2)已知实数在数轴上的对应点位置如图，化简．
20．已知，，分别求下列代数式的值：
(1)；
(2)．
21．如图，一工厂位于点处，河边原有两个取水点，，其中，由于从工厂到取水点的路受阻，为了取水更方便，工厂新建一个取水点（点，，在一条直线上），并新修一条路，测得，，．
(1)请判断是否为从工厂到河边最近的一条路（即与是否垂直）？并说明理由；
(2)求的长．
22．如图，在平行四边形中，、分别在、边上，且．
(1)求证：；
(2)求证：四边形是平行四边形．
23．我国是最早了解勾股定理的国家之一，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示“赵爽弦图”（边长为c的大正方形中放四个全等的直角三角形，两直角边长分别为a，b，斜边长为c）．
(1)如图1，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．
方法1：______；
方法2：______；
根据以上信息，可以得到等式：______；
(2)小亮将“弦图”中的4个三角形进行了运动变换，得到图2，请利用图2证明勾股定理；
(3)如图3，将图2的2个三角形进行了运动变换，若，，求阴影部分的面积．
24．请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简：________________；比较大小：_____________；（用“”、“”或“”填空）
(2)设有理数、满足：，则_______________；
(3)已知，求的值．
25．我们规定用表示一对数对，给出如下定义：记，（，），将与称为数对的一对“对称数对”．
例如：的一对“对称数对”为与．
(1)求数对的一对“对称数对”；
(2)若数对的一对“对称数对”的两个数对相同，求的值；
(3)若数对的一对“对称数对”的一个数对是，求的值．
26．如图，在中，，，．

(1)如图1，求的长；
(2)如图2，，与交于点，点为边上一点，连接，是右侧一点，且，，连接、，是的中点．探究、和之间的数量关系并证明；
(3)如图3，动点由点出发以每秒个单位的速度在射线上匀速运动，同时动点也从出发，在射线上以每秒个单位的速度匀速运动，设运动时间为秒（），当点到直线的距离等于6时，求的值．
《四川省自贡市富顺县富顺第二中学校2024-2025学年八年级下学期3月月考数学试题》参考答案
1．A
解：A． 的被开方数不含能开得尽方的因数或因式，是最简二次根式，故此选项符合题意；
B． 的被开方数含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C ． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D． 的被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．D
解：A、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
B、，，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；
C、∵，∴不能构成勾股数，不符合题意；
D、∵，∴能构成勾股数，符合题意．
故选：D．
3．C
解：在实数范围内有意义，
，
解得且．
故选：C．
4．C
解：由作图知平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴四边形的周长
，
故选：C ．
5．B
∵Rt△中，，，
∴2=18
故选B.
6．B
当12和5均为直角边时，第三边；
当12为斜边，5为直角边，则第三边；
故第三边的长为13或．
故选B．
7．C
解：连接，
由勾股定理得，
∴甲的面积+乙的面积=丙的面积+丁的面积，即．
故选：C．
8．C
解：①如图，将长方体的正面和上面展开在同一平面内，则AD=6dm，BD=6+9=15dm，
；
②如图，将长方体的正面和右面展开在同一平面内，AC=6+6=12dm，BC=9dm，
；
③将长方体的上面和左面展开在同一平面内，则DE=6dm，BE=6+9=15dm，
；
∵，
所以蚂蚁爬行的最短路程为15dm．
故选：C．
9．B
解：∵
∴代数式表示点到和的距离的和，点是轴上的动点，
如图所示，作关于轴的对称点，连接，就是所求的最短路径，
∴
∴代数式的最小值是．
故选：B．
10．C
【详解】如图，由题意和“两点之间线段最短”及“平行四边形的对边相等”可知，由A到B的最短距离的走法有下面三种：
（1）由A→C→D→B；（2）由A→F→E→B；（3）由A→F→D→B.
故选C.
11．D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∵EF＝BD，
∴OB＝EF＝OD，
∴BE＝OF，OE＝DF，
∵AB＝3，AD＝5，AC⊥AB，
∴AC＝＝4，
∴OA＝2，
∴OB＝＝，
当BE＝OE时，AE+CF的值最小，E为OB的中点，
∴AE＝OB，
同理：CF＝OD，
∴AE+CF＝OB＝，
即AE+CF的最小值为；
故选D．

12．A
解：设，，，则，
连接、交于点M，连接、，如图所示：

∵四边形和为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据勾股定理得：，，，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
连接，交于点N，
同理可得：，
∴，
∴，，
，，
∴，
即，
∴，
即，
得：，
解得：，
得：，
即，
解方程组：，
解得：，
∴，
∵a、b、c为正数，
∴，，
延长作于点P，作于点Q，如图所示：

则，
∵四边形为正方形，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
，，
∴，
同理：，，
，
∴，故A正确．
故选：A．
13．3
解：由二次根式的定义可得，
解得：，
是一个正整数，
或4或9，
解得：或8或3，
的最小正整数是3，
故答案为：3．
14．
解：∵OA=OC，EF⊥AC，
∴AE=CE，
∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），
∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．
考点：矩形的性质．
15．
解：△ABC的面积=×BC×AE=2，
由勾股定理得，
则，
解得，
故答案为：
16．
解：，
故答案为：．
17．/
解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，根据勾股定理，得
，
∴，
解得（负值舍去），
∴．
故答案为：．
18．①②④
证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴CB=CD，∠BCA=∠DCA=45°，

∴△CBE≌△CDE（SAS），
∴

故①正确；
如图，作 则



由勾股定理得：
解得：（舍去），

正方形，






故②正确．

如图，过作于，

由正方形得：


故③错误．
在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，

∵△CBE≌△CDE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F．
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°．
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF．
在△DEC和△FGC中，
，
∴△DEC≌△FGC（SAS），
∴DE=GF．
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，
故④正确；
综上：①②④正确，
故答案为：①②④．
19．(1)
(2)
（1）解：
（2）解：由图知：，
，，
原式；
20．(1)
(2)1
（1）解：∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴
．
21．(1)是从工厂到河边最近的一条路，理由见详解
(2)
（1）解：是从工厂到河边最近的一条路，理由为：
，，，
，
是直角三角形，且，则，
根据垂线段最短，是从工厂到河边最近的一条路；
（2）解：设，则，
在中，由得
解得，
即；
22．(1)见解析
(2)见解析
（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
；
（2）四边形是平行四边形，
，，
，
，即，
四边形是平行四边形．
23．(1)；；
(2)见解析
(3)27
（1）解：方法1：；
方法2：；
∵，即，
故；
根据以上信息，可以得到等式：；
故答案为：；；；
（2）解：∵，
即，
整理得，
故；
（3）解：如图，，
∵，，
∴，
则，
∴，
故阴影部分的面积为27．
24．(1)，
(2)
(3)3
（1）；
∵
∴
∴
∴；
（2）∵
∵
∴；
（3）∵
∴
∴
∴
∴
∴．
25．(1)与
(2)
(3)或
（1）解：由题意得：，，
的一对“对称数对”为与．
（2）解：由题意，，，
数对的一对“对称数对”的两个数对相同，
，
，
．
（3）解：由题意得：，3或3，，
，或，．
或．
26．(1)10
(2)；见解析
(3)或
（1）解：过作的垂线，垂足是，在中，

∵，
∴，
∴，
∴，
设，
在中，，
解得：，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得；
（2）解：；理由如下，

∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，是的中点，
∴，
在中，，
∴；
（3）解：过作于点，作于点，作，与交于点，则，
①当点在线段上时，如图，

∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴；
②当点在的延长线上时，如图，则，

同理可证，
∴，
∴，
∴，
综上，当点到直线的距离等于6时，或．