福建省莆田市城厢区砺成中学八年级下学期第二次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市城厢区砺成中学八年级下学期第二次月考数学试题（解析版）-A4，共26页。试卷主要包含了 函数中自变量x取值范围是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1. 函数中自变量x取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查函数有意义的条件，掌握二次根式被开方数的非负性，分母不为零是解题的关键．
【详解】解：∵函数有意义，
∴，
解得，
故选D．
2. 已知点，都在直线上，则，大小关系是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质；根据一次函数的性质，当时，随的增大而减小，可以解答本题．
【详解】解：∵，，
∴随的增大而减小，
∵点，都在直线上，
∴，
故选A．
3. 如图是一次函数的图象，若，则x的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据y>0，即为一次函数图像在x轴上方，由此利用函数图像求解即可
【详解】解：如图，由函数图像可知：一次函数图像与x轴交点为（-3，0），当x＞-3时，一次函数图像在x轴的上方，
∴当x＞-3，y＞0，
故选C．
【点睛】此题主要考查了一次函数的性质，正确利用函数图象分析是解题关键．
4. 如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①，②，③，则a、b、c的大小关系是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】正比例函数，直线越陡，则越大；，图象在第一三象限.
【详解】解：∵，，的图象都在第一三象限，
∴，，，
∵直线越陡，则越大，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查正比例函数的图象性质，掌握图象与解析式系数k的关系是解题的关键．
5. 对于一次函数，下列说法正确的是( )
A. 这个函数的图象不经过第一象限．
B. 若点和点在这个函数图象上，则．
C. 点在这个函数图象上．
D. 这个函数的图象与坐标轴围成的图形面积是18．
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图象所经过的象限，图象与坐标轴的交点，正确掌握一次函数图象及性质是解题的关键．根据一次项系数和常数项的值判断A；利用一次函数图象的增减性判断B；将代入一次函数解析式即可判断C；求出直线与坐标轴的交点即可求出图象与两坐标轴围成的图形面积．
【详解】解：，，
函数图象经过第一、二、四象限，即图象经过第一象限，故选项A错误；
，
一次函数图象随着的增大值越来越小，
，
，故选项B正确；
当时，，即图象不经过点，故选项C错误；
当时，，解得：；
当时，，
与坐标轴的交点分别为，，
图象与坐标轴围成的图形面积是，
故选项D错误；
故选：B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，其中，的坐标分别是，，则边的长是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了坐标与图形，两点间距离公式，平行四边形的性质，先根据，的坐标分别是，，得出点C的坐标，然后根据两点间距离公式进行求解即可．
【详解】解：∵点A的坐标为，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点B的坐标为，
∴点C的坐标为，
∴．
故选：C．
7. 两个一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，由于a、b的符号均不确定，因此分①，，②，，③，，④，四种情况，判断出和所经过的象限，即可求解．
【详解】解：分四种情况： ①当，时，和的图象均经过第一、二、三象限，不存在此选项；
②当，时，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第一、二、四象限，选项B符合此条件；
③当，时，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三、四象限，不存在此选项；
④当，时，和的图象均经过第二、三、四象限，不存在此选项．
故选B．
8. 如果一次函数的图象经过一、二、四象限，则k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定k的取值范围，从而求解．
【详解】解：如果一次函数的图象经过第一、二、四象限，
则，
解得-1＜k＜0．
故选：D．
【点睛】一次函数y=kx+b的图象是一条直线，该直线的位置和性质与系数k，b的关系：①k＞0时，y随x的增大而增大．这时，若b＞0，则直线经过一、二、三象限；若b＜0，则直线经过一、三、四象限；若b=0，直线经过一、三象限和原点（此为正比例函数的图象）；②k＜0时，y随x的增大而减小．这时，若b＞0，则直线经过一、二、四象限；若b＜0，则直线经过二、三、四象限；若b=0，直线经过二、四象限和原点（此为正比例函数的图象）．
9. 如图，在平行四边形中，，厘米，厘米，点从点出发以每秒厘米的速度，沿在平行四边形的边上匀速运动至点．设点的运动时间为秒，的面积为平方厘米，下列图中表示与之间函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题的函数图象问题,涉及平行四边形性质、三角形外角性质、三角形面积公式等知识．由平行四边形性质得到厘米，点速度为每秒厘米，则点在上时，时间满足的取值范围为，观察符合题意的、、的图象，即点在处时，的面积各不相同，求得此时的面积，即可找到正确选项．判断出点运动到点时的时间及此时的面积是解决本题的关键．
【详解】解：四边形是平行四边形，厘米，
厘米，
点从点出发以每秒厘米的速度，
点走完所用的时间为：秒，
当点在上时，；故排除；
当时，点在点处，过点作于点，如图所示：
，
，
，
厘米，
厘米，
厘米，
平方厘米，
故选：B．
10. 如图，点C的坐标为，垂直与y轴于点A，D是线段上一点，且，点B从原点O出发，沿轴正方向运动，与直线交于点E，取的中点F，则的面积为（ ）
A. 6B. 5C. D. 4.5
【答案】D
【解析】
【分析】连接OC，根据已知条件得到AO＝4，AC＝3，求得AD＝1，OD＝3，求得直线CD的解析式为y＝x+3，和直线OE的解析式为：y＝x，得到CD∥OE，的面积等于△CDO的面积，即可得到结论．
【详解】解：连接OC，
∵点C的坐标为（3，4），CA⊥y轴于点A，
∴AO＝4，AC＝3，
∵OD＝3AD，
∴AD＝1，OD＝3，
∴D（0，3），
设直线CD的解析式为y＝kx+3，把（3，4）代入得，4＝3k+3，解得，，
∴直线CD的解析式为y＝x+3，
∵直线OE的解析式为：y＝x，
∴CD∥OE，
∴的面积等于△CDO的面积，
△CDO的面积为：，
故选：D
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数的解析式，根据解析式判断平行是解题的关键．
二．填空题
11. 计算：＝ ____．
【答案】
【解析】
【分析】利用积的乘方逆运算进行配凑计算即可．
【详解】解：原式=


．
故答案为：．
【点睛】本题考查了积的乘方的逆运算：，平方差公式，以及同底数幂相乘的逆运算，掌握积的乘方的逆运算是解题的关键．
12. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A，则方程组解为 ___．
【答案】
【解析】
【分析】由题意，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，
∵直线l1：yx与直线l2：y＝kx+3相交于点A（2，1），
∴方程组的解为；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．
13. 在平面直角坐标系中，将直线向右平移4个单位长度后，所得直线的解析式为 __．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查图形平移变换和函数解析式之间的关系．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．平移时的值不变，只有发生变化．
【详解】解：原直线的，；向右平移4个单位长度得到了新直线，那么新直线的．
新直线的解析式为．
故答案为：．
14. 如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

【答案】13
【解析】
【分析】本题考查了平面展开---最短路径问题，将杯子侧面展开，建立B关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图：

将杯子侧面展开，作B关于对称点，
连接，则即为最短距离，
．
故答案为：13．
15. 如图，在平面直角坐标系中，的边落在轴的正半轴上，且点，点，直线以每秒1个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 __秒该直线可将分成面积相等的两部分．
【答案】6
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的性质，以及一次函数的知识，关键是正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积．先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移6个单位，进而可得答案．
【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分；
四边形是平行四边形，
，
，
，
设的解析式为，
平行于，
，
过，
，
，
的解析式为，
直线于轴交于点，
直线要向下平移6个单位，
时间为6秒，
故答案为：6．
16. 如图，直线与的交点的横坐标为．则下列结论：
①，；
②直线一定经过点；
③与满足；
④不等式的解集为，
其中正确结论的序号是_____.
【答案】①②③
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质，解题关键是掌握一次函数图象与系数的关系，掌握一次函数与方程及不等式的关系．由直线与轴交点位置可判断与的符号，由可得直线一定经过点，联立两直线方程，将代入方程可得与的数量关系，结合图象，根据两直线交点横坐标及直线与轴交点坐标可得不等式的解集．
【详解】解：直线与轴交点在轴下方，
，
直线与轴交点在轴上方，
，①正确．
且，
时，，
直线一定经过点，②正确．
令，
将代入得，
，③正确．
直线经过且随增大而减小，直线与的交点的横坐标为，
时，直线在轴上方，直线下方，
不等式的解集为，④错误．
故选：①②③．
三、解答题
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据二次根式性质进行化简，然后再利用二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）求一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据直线平移时的值不变得出，再将点代入，求出的值，即可得到一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标，利用坐标与图形即可由三角形面积公式求解．
【小问1详解】
解： 一次函数的图象由直线平移得到，
，
将点代入，
得，解得，
一次函数的解析式为；
【小问2详解】
解：对于一次函数，
令，则，
∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为，
令，则，
∴一次函数的图象与x轴的交点坐标为，
∴一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形面积，数形结合是解题的关键．
19. 已知一次函数，完成下列问题：
（1）在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象．
（2）根据函数图象回答：
①不等式的解集是 ．
②当时，相应的取值范围是 ．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是画出函数图象，利用数形结合的思想解答．
（1）先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后画出函数图象即可；
（2）根据函数图象得出不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：，
当时，，当时，，
即该函数图象过点，，
函数图象如图所示，
【小问2详解】
解：①由图象可得，不等式的解集是．
故答案为：；
②把代入得：，
解得：，
∴根据函数图象可得：当时，相应的取值范围是，
故答案为：．
20. 已知一次函数．
（1）当m为何值时，这个函数为正比例函数？
（2）当m为何值时，这个函数y的值随着x值的增大而减小？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查正比例函数的定义，一次函数的性质，能熟练地根据一次函数的性质是解此题的关键．
（1）根据正比例函数的性质得出且，求出方程的解即可；
（2）根据一次函数的性质得出不等式求解．
【小问1详解】
∵函数为正比例函数，
∴且，
解得：，
答：当时，这个函数为正比例函数；
【小问2详解】
∵函数y的值随着x值的增大而减小，
∴，
答：当时，函数y的值随着x值的增大而减小．
21. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，若点在轴上，且，求点的坐标．
【答案】或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式；当时求解的值及当时得出，．得，，根据可得，进而可求解．
【详解】解：令中，则，
解得：，
，
令中，则，
．
设点的坐标为，
，
，
，
，
解得：或，
即点的坐标为或．
22. 一天早晨，佳佳从家出发匀速步行去学校，妈妈发现佳佳忘带数学书了，于是立即下楼骑车沿佳佳行进路线匀速追赶，妈妈追上佳佳后，立即按原路线返回家中，由于路人渐多，妈妈返回时的速度只是去时的，佳佳则以原速度的1．5倍赶往学校妈妈与佳佳之间的路程y（米）与佳佳从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（佳佳与妈妈交接学习用品耽搁的时间忽略不计），结合图象信息解答下列问题：
（1）佳佳步行速度是______，妈妈追佳佳时的速度是______；
（2）求图象中线段DE所表示的y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）直接写出佳佳出发多长时间，佳佳与妈妈相距300米的时间．
【答案】（1）50米/分钟；150米/分钟；
（2）（）；
（3）6分钟或12分钟或分钟．
【解析】
【分析】（1）根据题意和图像，列出一元一次方程，解方程即可求出答案；
（2）由题意，先求出点E的坐标，然后利用待定系数法即可求出解析式；
（3）根据题意，佳佳与妈妈相距300米可分为3种情况，分别求出每一种情况的时间即可
【小问1详解】
解：根据图像，设佳佳的速度为m米/分钟，则有
，
解得：；
设妈妈追佳佳时的速度是n米/分钟，则
，
解得：；
∴佳佳步行速度是50米/分钟；妈妈追佳佳的速度为150米/分钟；
故答案为：50米/分钟；150米/分钟；
【小问2详解】
解：由图可知，点E表示妈妈已经回到家，则
妈妈回家所用的时间为：（分钟），
∴点E的横坐标为：，
此时佳佳走过的路程为：（米），
∴点E的纵坐标为1312.5；
设线段DE的解析式为，则
把点D（15，0），点E（22.5，1312.5）代入，得
，解得，
∴；
∴自变量x的取值范围是；
∴（）；
【小问3详解】
解：根据题意，
①当佳佳出发300米，妈妈在家没有出发时，有
（分钟）；
②当妈妈追佳佳时相距300米，有
，
解得：；
③当妈妈返回家途中，与佳佳相距300米，有
，
解得：，
∴此时的时间是（分钟）；
综合上述，佳佳与妈妈相距300米的时间为：6分钟或12分钟或分钟．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题关键是能够理解函数图象各个拐点的实际意义求解．
23. 学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题．
（1）若，根据解析式，写出表格中，的值；
， ；
（2）在（1）的条件下在直角坐标系中画出该函数图象；并写出一条函数的性质： ；
（3）一次函数与该函数图象只有一个交点，求c的值.
【答案】（1）5；8 （2）图象见解析，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
（3）
【解析】
【分析】（1）先根据表格中的数据求出b的值，然后将和分别代入求出m、n的值即可；
（2）先描点，然后再连线，画出函数图象，根据函数图象写出性质即可；
（3）根据一次函数与该函数图象只有一个交点，得出一次函数经过，求出c的值即可．
【小问1详解】
解：对于，由表格中的对应值得：
当时，，
∵，
解得：，
对于，
当时，，
即，
当时，，
即．
【小问2详解】
解：将表格中的每一组对应值作为点的坐标在直角坐标系中描点，然后按照横坐标由小到大的顺序连线即可得到该函数的图象，如图1所示：
由图象可知，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
故答案为：当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；
【小问3详解】
如图2，一次函数与该函数图象只有一个交点，
一次函数经过，代入得：
，
解得：，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了一次函数的图象，理解题意，熟练掌握求函数的对应值的方法，以及描点法画函数的图象是解决问题的关键，注意数形结合思想的应用．
24. 元旦前夕，某盆栽超市要到盆栽批发市场批发A，B两种盆栽共300盆，A种盆栽盆数不少于B种盆栽盆数，付款总额不超过3320元，两种盆栽的批发价和零售价如下表．设该超市采购x盆A种盆栽．
（1）求该超市采购费用y（单位；元）与x（单位；盆）的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
（2）该超市把这300盆盆栽全部以零售价售出，求超市能获得的最大利润是多少元；
（3）受市场行情等因素影响，超市实际采购时，A种盆栽的批发价每盆上涨了元，同时B种盆栽批发价每盆下降了m元．该超市决定不调整盆栽零售价，发现将300盆盆栽全部卖出获得的最低利润是1460元，求m的值．
【答案】（1）
（2）商场能获得的最大利润为1820元
（3）
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式组的应用、解一元一次方程，理解题意，正确列出函数解析式是解答的关键．
（1）根据题意列函数解析式和不等式组求解即可；
（2）设利润为W，根据题意得到总利润，利用一次函数的增减性质求解即可；
（3）设利润为W，根据题意得到总利润，分和，利用一次函数的增减性质求解即可．
【小问1详解】
解：该超市采购x盆A种盆栽，则采购盆B种盆栽，
根据题意，，
由题意得：，
解得：，
答：该商场的采购费用y与x的函数关系式为；
【小问2详解】
解：设总利润为W，根据题意得：
，
∵，
∴W随x的增大而增大，又，
∴当时，W最大，最大值为1820，
答：商场能获得的最大利润为1820元；
【小问3详解】
解：设总利润为W元，根据题意得：
，
当即时，W随x的增大而增大，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得，舍去；
当即时，W随x的增大而减小，
又∵，
∴当时，W有最小值为，
解得：，
综上分析可知，满足条件的m值为2．
25. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过，，D三点，点D在x轴上方，点C在x轴正半轴上，且，连接，已知．
（1）求直线 的表达式；
（2）求点D的坐标；
（3）在线段 上分别取点M，N，使得轴，在x轴上取一点P，连接 是否存在点M，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）线段的表达式
（2）点D的坐标为
（3）存在，点M的坐标为或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求直线的解析式；
（2）根据三角形面积公式得到D到 的距离等于B点到的距离的2倍，即D点的纵坐标为4，然后利用直线的解析式计算函数值为4所对应的自变量的值，从而得到D点坐标．
（3）先求出直线的表达式,再求出点N的坐标为，分情况讨论即可.
【小问1详解】
解：将点代入，得解得
线段的表达式
【小问2详解】
已知，且点C在x轴正半轴上，
∴点，
设点D的坐标为，如解图①，过点D作x轴的垂线交x轴于点H，则
即，解得，
∴点D的坐标为
【小问3详解】
存在，点M的坐标为或，设直线 的表达式为
将点代入，得，解得
直线的表达式．
已知点M在线段上，设点M的坐标为，则，
轴，且点N在上
∴将代入，得，，解得．
点N的坐标为
分三种情况讨论：
①如解图②，当M为直角顶点时，点P的坐标为
，
解得：，
点M的坐标为
②如解图③，当N为直角顶点时，点M的坐标与①中情况相同；
③如解图④，当P为直角顶点时，，过点P作轴，交MN于点Q，易得点Q为MN的中点，且，点Q的坐标为，
，
，
解得，
∴点M的坐标为
综上所述，点M的坐标为或
0
1
2
3
4
11
8
2
5
11
品名
批发市场批发价：元/盆
盆栽超市零售价：元/盆
A种盆栽
12
19
B种盆栽
10
15