福建省莆田市城厢区砺成中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4

这是一份福建省莆田市城厢区砺成中学九年级下学期月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. -2的倒数是（ ）
A. 2B. -2C. 0D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据倒数的定义即可求解．
【详解】-2的倒数是，
故选D．
【点睛】此题主要考查倒数的求解，解题的关键是熟知有理数的性质．
2. 据初步统计，2016年高青县实现地区生产总值（）约为亿元.其中亿元用科学记数法表示为（ ）
A. 元B. 元C. 元D. 元
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】解：亿元用科学记数法表示应为：元 ，
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方，根据同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方，即可解答，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法、积的乘方、合并同类项、幂的乘方．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算错误，不符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算正确，符合题意；
故选：D．
4. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出原不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解决即可．
【详解】解：，
．
表示在数轴上是：
故选：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
5. 如图，在中，，，，BD平分，则点D到AB的距离等于( )
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】如图，过点D作于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.
【详解】如图，过点D作于E，
，，
，
，BD平分，
，
即点D到AB的距离为2，
故选C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键.
6. 若两个相似三角形的面积比为1：9，则它们周长的比为（ ）
A. 1：2B. 1：3C. 1：6D. 1：9
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】两个相似三角形的面积比为1：9，则它们的周长比为1：3，
故选：B．
7. 如图，将一副直角三角尺按如图位置摆放在同一平面内，使两个直角三角尺的斜边AB∥DF，含30°角的直角三角尺的直角顶点E在含45°角的直角三角尺的斜边AB上，且点F在CB的延长线上，已知∠A＝45°，则∠1的度数是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
【答案】C
【解析】
【分析】由含30°角的直角三角尺，可得∠EDF=60°，根据平行线的性质可求出∠1．
【详解】解：由题意知，在Rt△DEF中，∠EDF=60°，
∵AB∥DF，
∴∠1=∠EDF=60°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键．
8. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”设绳索的长为x尺，下列方程正确的是（ ）．

A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设绳索有尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：设绳索有尺长，

则，即，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
9. 如图，AB是☉O直径，点C，D在☉O上，且，OD绕着点O顺时针旋转，连结CD交直线AB于点E，当DE=OD时，的大小不可能为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分三种情况求解即可：①当点D与点C在直径AB的异侧时；②当点D在劣弧BC上时；③当点D在劣弧AC上时.
【详解】①如图，连接OC，设，
则，
，
∵，
，
在中， ，
，
∴，
；
②如图，连接OC，设，则，
，
，
，
在中， ，
，
∴，
；
（3）如图，设，则，
，
，
，
由外角可知， ，
，
，
，
故选C
【点睛】本题考查了圆的有关概念，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键.
10. 已知抛物线（，是常数，），过点，，，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；
根据抛物线过点和可得对称轴为，求出抛物线的对称轴在和之间，再根据点A、B的坐标求出抛物线对称轴为，可得，然后可得答案．
【详解】解：当时，，
∴抛物线过点；
∵抛物线（，是常数，），过点和，
∴抛物线对称轴为，
∵，
∴，即抛物线的对称轴在和之间，
又∵抛物线过点，，
∴抛物线对称轴为，
∴，
∴，
故选：B．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 已知正比例函数，且随的增大而增大，请写出符合上述条件的的一个值：________．
【答案】（不是唯一值）
【解析】
【分析】根据正比例函数的性质，当时，随的增大而增大，即可．
【详解】∵正比例函数，当时，随的增大而增大，
∴即满足题意，
故答案为：（不是唯一值）．
【点睛】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的图象和性质．
12. 正六边形的每个内角等于______________°．
【答案】120
【解析】
【详解】解：六边形的内角和为：（6-2）×180°=720°，
∴正六边形的每个内角为：，
故答案为：120
13. 已知关于x的不等式的解集为，则a的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的基本性质，由不等式的解集为，可得：，据此求出a的取值范围即可．
【详解】解：∵不等式的解集为
∴
∴a的取值范围为：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了不等式的解集，不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质的应用是解题的关键．
14. 二次函数的部分图象如图所示，则方程的根是 __．
【答案】或
【解析】
【分析】由二次函数的部分图象过，对称轴为，可得点关于对称轴的对称点为，从而可得方程的根是或1，即可得方程的根满足或1，故方程的根是或．
【详解】解：由图可得，二次函数的图象过，对称轴为，
∴点关于对称轴的对称点为，
∴方程的根是或1，
∴方程的根满足或1，
∴方程的根是或．
故答案为：或．
15. 如图，在由10个完全相同正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝_____________．

【答案】
【解析】
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：

在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【点睛】此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
16. 直线与双曲线交于点和点，点在轴的正半轴上，作点关于的对称点，现有结论：①一定垂直平分；②；③、、三点可能共线；④四边形不可能是正方形，其中正确的有___________（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【解析】
【分析】根据题意画出图形，结合垂直平分线的性质、反比例函数和一次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，

∵点在轴的正半轴上，点关于的对称点为，
∴一定垂直平分，不一定平分，故①错；
∵点关于的对称点为，
∴，，
∴，故②正确；
当与反比例函数相交时，、、三点可能共线，如图所示，

故③正确；
当垂直平分时，根据垂直平分线的性质可得四边形是菱形，
当时，
∴，
此时四边形是正方形，如图所示，

故④错误；
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数综合问题，涉及到垂直平分线的性质等，灵活运用数形结合是关键．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
首先计算乘方、零指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【详解】解：
．
18 先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=2+．
【答案】原式==+1．
【解析】
【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【详解】解：原式=，
=，
=，
当a=2+，
原式=．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则．
19. 如图，在中，点D、B、C、E在同一条直线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边对等角：
（1）由等边对等角，得，结合，即可作答；
（2）因为相似，所以，直接代数计算，即可作答．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵
∴
∵，
∴
解得
20. 下面是证明等腰三角形判定定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种完成证明．
【答案】见解析
【解析】
【分析】利用辅助线信息，结合“”证明全等三角形即可．
【详解】证：（1）作的平分线交于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴；
（2）作边上高线交于点D，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等腰三角形判定定理的证明，掌握全等三角形的判定与性质是解题关键．
21. 嘉嘉和琪琪周末约好参观展览馆，如图是该展览馆出入口示意图．嘉嘉和琪琪分别从两入口进入参观．
（1）参观结束后，嘉嘉从C出口走出的概率是 ．
（2）参观结束后，通过画树状图或列表求嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【小问1详解】
解：由图可知，有出口、出口、出口，共3个出口，
参观结束后，嘉嘉从出口走出的概率是．
故答案为：．
【小问2详解】
解：列表如下：
共有9种等可能的结果，其中嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的结果有3种，
嘉嘉和琪琪恰好从同一出口走出的概率为．
22. 某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资建设了日废水处理为a吨的废水处理车间，对该厂工业化废水进行无害化处理，但随着工厂生产规模扩大，该厂需将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理，已知该车间处理废水，每天需固定成本20元，并且每处理一吨废水还需要其他费用7元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付11元，根据记录，某日该工厂产生废水30吨，共花费废水处理费270元，求该车间的日废水处理量．
【答案】该车间日废水处理量为20吨
【解析】
【分析】根据题意首先确定的范围，然后结合已知条件建立一元一次方程求解即可．
【详解】解：若，则30吨废水应全部在本厂处理，
∴总费用，则说明，
由题意，，
解得：，
∴该车间日废水处理量为20吨．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意，准确建立方程并求解是解题关键．
23. 在学习《圆》这章时，我们学习了圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补；事实上，它的逆命题：对角互补的四边形的四个顶点共圆，也是一个真命题．在图形旋转的综合问题中经常会出现对角互补的四边形，那么，我们就可以借助“对角互补的四边形的四个顶点共圆”，然后借助圆的相关知识来解决问题，例如：
已知：如图，是等腰直角三角形，，点是内一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，并延长交直线于点．请解答下列问题：
（1）当点在如图所示的位置时，
①求度数；
②利用题干中的结论，证明：四点共圆；
（2）连接，点在内部运动的过程中，若，直接写出线段的长．
【答案】（1）①；②证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①根据全等三角形的性质可得，根据，进而得出，即可得出；
②根据四边形对角互补，可得四点共圆；
（2）连接，过点D作于点H，勾股定理求得，进而得出，根据四点共圆，得出是等腰直角三角形，进而即可求解．
【小问1详解】
解：①∵是等腰直角三角形，
∴，
∵线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴
，
，
，
，
；
②证明： ，
，
，
四点共圆；
【小问2详解】
解：如图，连接，过点D作于点H，
，
，
，，
，，
四点共圆，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质，圆内接四边形对角互补，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
24. 问题提出
（1）如图，在中，，D为上一点，，则面积的最大值是______．
问题探究
（2）如图，已知矩形的周长为，求矩形面积的最大值．
问题解决
（3）如图，是葛叔叔家的菜地示意图，其中米，米，米，现在他想利用周边地的情况，把原来的三角形地拓展成符合条件的面积尽可能大、周长尽可能长的四边形地，用来建鱼塘．已知葛叔叔欲建的鱼塘是四边形，且满足，你认为葛叔叔的想法能否实现？若能，求出这个四边形鱼塘周长的最大值；若不能，请说明理由.
【答案】（1）；（2）9；（3）能实现；米．
【解析】
【分析】（1）当时，的面积最大．
（2）由题意矩形邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为，可得，利用二次函数的性质解决问题即可．
（3）由题意，，∠ADC＝60°，即点D在优弧上运动，当点D运动到优弧的中点时，四边形鱼塘面积和周长达到最大值，进一步求解即可．
【详解】（1）如图①中，
∵，D为上一点，，
∴当时，的面积最大，最大值．
故答案为：．
（2）∵矩形的周长为，
∴邻边之和为6，设矩形的一边为m，另一边为，
∴，
∵，
∴时，S有最大值，最大值为9．
（3）葛叔叔的想法能实现，求解如下：
如图③中，
∵米，米，米，
∴，
∴，
作，使得，，以O为圆心，长为半径画，
∵，
∴点D在优弧上运动，
当点D是优弧的中点时，四边形面积取得最大值，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
设是优弧上任意一点，连接，延长到F，使得，连接，则，
∴点F在D为圆心为半径的圆上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴此时四边形的周长最大，最大值（米）．
即这个四边形鱼塘周长的最大值为米．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，圆周角定理，求最大值，常用方法为：（1）利用平方为非负的性质求解；（2）利用三角形两边之和大于第三边求解，在求解过程中，关键在与将要求解的线段集中到一个三角形中．
25. 抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）如图1，，求出抛物线的解析式．
（2）在（1）的条件下，点是抛物线上的动点，直线与抛物线的另一个交点为．
①若、关于点对称，求点坐标；
②若点是轴上一点，直线的表达式为，直线的表达式为，当的值是一个定值时，求的值．
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的图像和性质进行求解，即可得到答案；
（2）①先根据抛物线的对称性，得到，再求出抛物线与轴的交点，利用勾股定理列方程，求得，进而得到抛物线；根据坐标关于原点对称的特征，得到，将点D、E代入抛物线解析式，求出、的值，即可得到点坐标；
②设直线的解析式为，先求出，然后联立直线与抛物线，求得，再利用待定系数法分别求出和的值，即而得到的值，最后利用的值是一个定值，即可求出的值．
【小问1详解】
解：抛物线，
对称轴为直线，
抛物线与轴交于点，
，即，
解得：；
抛物线与轴交于点和点，且对称轴为直线，
，
，，
，
抛物线与轴交于点，
，
，
由勾股定理得：，，
，
由勾股定理得：，
，
整理得：，
，
，
抛物线，
【小问2详解】
①点、点E是抛物线上的点，且、关于点对称，
，
，
整理得：，
，
，
，
；
②设直线的解析式为，
为直线与抛物线的一个交点，
，
，
直线的解析式为，
联立，
解得：，
当时，，
，
将、代入直线：，
，
，
将、代入直线：，
，
，
，
的值是一个定值，
，
．
等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么两个角所对的边也相等．
已知：如图，中，，求证：．
证明：如图，作的平分线交于点D．

证明：如图，作边上高线交于点D．