福建省南平市建瓯市2024—2025学年八年级上学期期中质量监测数学试卷（解析版）-A4

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1. 在以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
【详解】解：根据轴对称图形概念可得：选项A、B、D不是轴对称图形，选项C是轴对称图形，
故选∶C．
2. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 3，4，8B. 5，6，11C. 4，4，8D. 8，8，8
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】解：A、3+4＜8，不能构成三角形；
B、5+6=11，不能构成三角形；
C、4+4=8，不能构成三角形；
D、8+8＞8，能构成三角形．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
3. 点关于x轴的对称点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可得到答案．
【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标为，
故选：A．
4. 三角形三个内角的度数之比为2：3：7，则这个三角形最大内角一定是（ ）
A. 75°B. 90°C. 105°D. 120°
【答案】C
【解析】
【分析】已知三角形三个内角的度数之比，可以设一份为k，根据三角形的内角和等于180°列方程求三个内角的度数，从而确定三角形的最大的角的度数．
【详解】设三个内角的度数分别为2k，3k，7k.
则2k+3k+7k=180，
解得k=15，
∴2k=303k=45,7k=105，
∴这个三角形最大的角等于105.
故答案选：C.
【点睛】本题考查的知识点是三角形内角和定理，解题的关键是熟练的掌握三角形内角和定理.
5. 六边形内角和的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据六边形内角和的度数为，计算求解，然后判断作答即可．
【详解】解：由题意知，六边形内角和的度数为，
故选：D．
【点睛】本题考查了多边形内角和．解题的关键在于熟练掌握：边形内角和的度数为．
6. 如图，在中，关于高的说法正确的是（ ）
A. 线段是边上的高B. 线段是边上的高
C. 线段是边上的高D. 线段是边上的高
【答案】B
【解析】
【分析】根据“三角形的一个顶点到对边的垂线段叫做三角形的高”对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考差了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握三角形的高的定义是解题的关键．
【详解】解：于点D，
中，是边上高，故A不符合题意，
，线段是边上的高，故B选项符合题意；
于点F，
是边上的高，故C选项不符合题意，D选项不符合题意．
故选：B．
7. 如图，为等腰三角形，，，连接，，只需添加一个条件即可证明，下列符合的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，利用全等三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，故B不符合题意；
在和中，，故，符A合题意；
利用，，不能推出，故C不符合题意；
利用，，能推出，故D不符合题意；
故选：A．
8. 如图，点是的重心，连接并延长交于点．连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（ ）
A. 是的高B. 是的角平分线
C. 是的中线D. 与的面积相等
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点逐项分析即可得解，熟练掌握三角形的重心的性质是解此题的关键．
【详解】解：∵三角形的重心是三角形三边中线的交点，
∴是的中线，是的中线，故ABC不符合题意；
∴，
∴与的面积相等，故D符合题意；
故选：D．
9. 如图，在中，，．分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于，两点，直线交于点，连接．以点为圆心，为半径画弧，交延长线于点，连接．若的长为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图——基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．由作图过程可得：，是的垂直平分线，然后证明，，进而可以解决问题．
【详解】解：由作图过程可知：，是的垂直平分线，
，
，
，
，
，即，
，，
的周长为，
故选：C．
10. 如图，Rt中，的角平分线AD、相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A. ①②B. ①②④C. ①③④D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由结合①的结论可得，利用角平分线和公共边可证得，可得，，，可判断②；由，结合平分，可知，可证得，可得，由可判断④；由全等三角形的性质可得，，进而可判断③．
【详解】解：∵在中，、分别平分、，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，，故②正确；
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴．
∴，故④正确；
∵，，
∴，，
∵，
∴，故③不正确；
综上，正确的有①②④，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线与三角形内角和定理、角平分线的定义．根据三角形内角和定理以及角平分线定义，再由此证明，，是解决问题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，斜钉上一块木条用来修理一条摇晃的凳子是利用三角形的______．
【答案】稳定性
【解析】
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形的性质即可得解，熟练掌握三角形的稳定性是解此题的关键．
【详解】解：斜钉上一块木条用来修理一条摇晃的凳子是利用三角形的稳定性，
故答案为：稳定性．
12. 如图，已知OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝2，则点P到OB的距离为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质解答．
【详解】解：作PE⊥OB于E，
∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PE＝PD＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
13. 如图，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；
根据全等三角形性质即可求解；
【详解】解：，
，
和是对应角，则和是对应边，
；
故答案为：
14. 已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长为______．
【答案】17
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【详解】解：（1）若3为腰长，7为底边长，
由于，则三角形不存在；
（2）若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为．
故答案为：17．
15. 如图，中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，进而得到，即可得到结论．
【详解】解：，，
，
由折叠可得：，
设，则，
，
，
解得：，
故答案为：．
16. 如图，在中，点的坐标为0,1，点的坐标为，点的坐标为，且与全等，点的坐标是______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形、全等三角形的性质，根据全等三角形的性质可得，，再分两种情况：当点在第一象限时，当点在第四象限时，分别画出图形，结合图形即可得解．
【详解】解：∵与全等，
∴，，
如图，当点在第一象限时，
，
由图可得，，
当点在第四象限时，
由图可得，，，
综上所述，点的坐标是1,4或或，
故答案为：1,4或或．
三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 如图，点C、F、E、A在一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先证明，再利用证明即可得证．
【详解】证：
，
在和中，
，
．
18. 如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点，，，求和的度数．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形内角和定理，根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可得解，熟练掌握三角形的内角和为是解此题的关键．
【详解】解：在中，是高
，
∵，
，
平分，，
，
，
平分，
．
19. 如图，在中，D是的中点，于E，于点F，且，求证：平分．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等，证明，由全等三角形的性质可得，然后根据“在角的内部到一个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上”，即可证明结论．
【详解】证明： D是的中点，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
又，，
平分．
20. 如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC，CF平分∠DCE．试探索CF与DE的位置关系，并说明理由．
【答案】CF⊥DE，理由见解析
【解析】
【分析】根据平行线性质得出∠A＝∠B，根据SAS证△ACD≌△BEC，推出DC＝CE，根据等腰三角形的三线合一定理推出即可．
【详解】解：CF⊥DE，CF平分DE，理由是：
∵AD∥BE，
∴∠A＝∠B，
在△ACD和△BEC中，
，
∵△ACD≌△BEC（SAS），
∴DC＝CE，
∵CF平分∠DCE，
∴CF⊥DE．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质等知识点，解题关键是求出DC＝CE，主要考查了学生运用定理进行推理的能力．
21. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接．
（1）依题意补全图形（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，求的大小．
【答案】（1）见解析 （2）20°
【解析】
【分析】（1）依题意补全图形即可；
（2）根据A，D关于对称，得到垂直平分，从而得到，进而得到，再根据是等边三角形，得到，利用等边等对角，以及三角形的内角和，即可求出的大小．
【小问1详解】
解：补全图形如图所示：
【小问2详解】
解：∵A，D关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，中垂线的性质，以及三角形的内角和定理．根据对称得到垂直平分是解决本题的关键．
22. 如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点，于点．
（1）过点作于点，求证：；
（2）若，求AD的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）连接，，根据垂直平分线的性质得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）设，证明，得出，进而可得，根据，建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，，
平分
垂直平分
在和中，
，
【小问2详解】
解：设
由（1）知，在和中，
，
解得
23. 阅读：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．根据材料及所学知识，解决下列问题：如图1，在中，，，，动点从点出发，沿射线运动，动点从点出发，沿射线运动，如果动点以，以的速度同时出发，设运动时间为，解答下列问题：
（1）当为多少时，是等腰三角形？请说明理由．
（2）当为多少时，是直角三角形？请说明理由．
【答案】（1）或时，是等腰三角形，见解析
（2）或时，是直角三角形，见解析
【解析】
【分析】（1）由题知，，，再分两种情况：①当点，点在线段，上运动时，即时；②当点，点在线段，延长线上运动时，即时；分别根据等腰三角形的性质列出方程，求解即可；
（2）分情况讨论，根据直角三角形的性质列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：，，
，
由题知，，
①当点，点在线段，上运动时，即时
是等腰三角形
是等边三角形
，
解得，
②当点，点在线段，延长线上运动时，即时
是等腰三角形
，
解得，
综上所述，或时，是等腰三角形
【小问2详解】
解：当点，点在线段，上运动时，即时
①当时
，
，
解得，
②当时
，
∴，

解得，
当点，点在线段，延长线上运动时，是钝角三角形，不符合题意，舍去.
综上所述，或时，是直角三角形．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
24. 【综合与实践】
星光中学八年级数学兴趣小组的同学发现这样一个模型：它是由两个共顶角顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在两个等腰三角形顶角的变化过程中，始终存在一对全等三角形．数学兴趣小组同学称此模型为“手拉手模型”．请你和数学兴趣小组的同学一起研究下面的问题．

（1）如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则 °；
（2）如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数（用含的代数式表示），并说明理由；
（3）如图3，在和中，，，，连接，交于点，连接，连接并延长交于点，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2），，见解析
（3）
【解析】
【分析】本题考查了三角形有关的内容，利用全等三角形性质解题．
（1）可证，得，由对顶角相等得，可得．
（2）可证，得，，在四边形中，
，又因为，得出
，可得．
（3）可证，得，易证，则，过点作，由，可知全等三角形面积相等则对应高相等，可得，由角平分线的判定定理，知点在的角平分线上，则，所以．
【小问1详解】
解：，设与交于点O．
．
，
即．
在和中
，
．
，
．
【小问2详解】
解：①
证明如下：如图2
，
即
在和中
②
证明如下：如图2
（已证）
在四边形中，
又，
，
．
【小问3详解】
解：．
如图3，过点作．设与交于，
则．
，
．
即
在和中
，．
又，
，
，
，．
又
．
．
，
平分．
．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知Aa,0，在轴、轴的正半轴上．
（1）如图，若、满足，以为直角顶点，为直角边在第一象限内作等腰直角，求点的坐标；
（2）如图，若，点是的延长线上一点，以为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰直角，连接，求证：；
（3）如图，若，分交于点，点为线段上的中点，过点作交轴负半轴于点，交轴于点，求点的坐标，并说明理由．
【答案】（1）
（2）见解析 （3），见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键；
(1)由偶次方和绝对值的非负性得出，，则，，证明，得到，，，即可得解；
(2)过作轴于，则，证明，得到，，，再证明是等腰直角三角形，得，然后由三角形外角的性质即可得出结论；
（3）延长至点，使得，连接，设，可得,明，将用和表示出来，可得，求解即可得到点的坐标；
【小问1详解】
）解：，，，
，，
，，
，，
如图1，过点作轴于，
则，
，
，，
，
，，
，
，，
，
；
【小问2详解】
证明：如图2，过作轴于，则
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：延长至点，使得，连接，如图3所示：
设，
平分，
，
，
，，
，
，
为中点，
，
在和中
，
，，
，
，
，
，
点在轴的负半轴上，且，
点的坐标为；