福建省福州市晋安区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市晋安区2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 数学考试必备学习用具：黑色的水笔，铅笔、橡皮、圆规，三角板全套、量角器，下列学习用具所抽象出的几何图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故该选项符合题意；
D、是轴对称图形，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2. 点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，根据关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为，
故选：．
3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A. 1，3，4B. 3，4，5C. 2，4，8D. 2，2，6
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解题关键是掌握两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度，三角形两边之差小于第三边．判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段长度即可．
【详解】A．， 所以1，3，4不能组成三角形，故A不符合题意；
B．，所以3，4，5能组成三角形，故B符合题意；
C．，所以2，4，8不能组成三角形，故C不符合题意；
D．，所以2，2，6不能组成三角形，故D不符合题意；
故选：B．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，根据合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方运算法则分别计算出各选项的结果即可判断．
【详解】解：A.与不是同类项，不能计算，故此选项错误，不符合题意；
B. ，计算正确，符合题意；
C. ，故此选项错误，不符合题意；
D. ，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
5. 小强利用所学知识，制作了如图所示的三角支架用来固定相框的位置，这样做的数学原理是（ ）
A. 三角形的内角和为B. 两点之间，线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三角形的稳定性，掌握三角形的稳定性是解题的关键．
根据三角形的稳定性即可求解．
【详解】解：三角支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学道理是三角形具有稳定性，
故选：C．
6. 如图，，若利用“”得到，则需要添加的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题重点考查了三角形全等的判定，熟知SAS定理是解题的关键．根据全等三角形的判定方法，结合解答即可．
【解答】解：∵，
∴利用“”得到，只能添加，
∵，
∴可以添加，
∴B正确，A、C、D错误．
故选：B．
7. 如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，再以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，画出射线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】点为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点，可知，，以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，可知，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
根据作图可知，，
∴是等边三角形，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查尺规作图等边三角形，理解作图过程中线段的数量关系，等边三角形的性质是解题的关键．
8. 如图，要用“”判定和全等的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了直角三角形全等的判定，根据直角三角形全等的判定方法即可直接得出答案，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．
【详解】解：、和中，
，
∴，不符合题意；
、和中，
，
∴，不符合题意；
、和中，
，
∴，符合题意；
、和中，
，
∴，不符合题意；
故选：．
9. 如图，为边上一点，连接，则下列推理过程中，因果关系与所填依据不符的是（ ）
A. ∵（已知）∴（等角对等边）
B. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
C. ∵，（已知）∴（等腰三角形三线合一）
D. ∵，（已知）∴（线段垂直平分线上的点到线段的两个端点距离相等）
【答案】C
【解析】
【分析】对各个选项进行推理论证即可逐项判断．
【详解】解：选项C的已知条件中，没有能直接说明是等腰三角形的条件，不能用三线合一，不符合因果关系，符合题意，
故选C．
【点睛】本题考查了等角对等边、等腰三角形三线合一、线段垂直平分线性质相关的证明，理解并掌握推理的因果关系是解题关键．
10. 为测量一池塘两端A，B间距离．甲、乙两位同学分别设计了两种不同的方案．
甲：如图1，先过点B作的垂线，再在射线上取C，D两点，使，接着过点D作的垂线，交的延长线于点E．则测出的长即为A，B间的距离；
乙：如图2，先确定直线，过点B作射线，在射线上找可直接到达点A的点D，连接，作，交直线于点C，则测出的长即为间的距离，则下列判断正确的是（ ）
A. 只有甲同学的方案可行B. 只有乙同学的方案可行
C. 甲、乙同学的方案均可行D. 甲、乙同学的方案均不可行
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的应用．根据全等三角形的判定和性质分别证明，即可判断可行性．
【详解】解：甲：由题意得，，，
，
在和中，
，
，
；
测出的长即为A，B间的距离；
乙：已知，，
不能判定和能全等，
；
测出长不一定为，间的距离，
∴只有甲同学的方案可行，
故选：A．
二、填空题
11 计算______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方，根据幂的乘方运算法则计算即可，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 如图，正五边形中， ___________°．
【答案】108
【解析】
【分析】本题考查了正五边形的内角，熟记正五边形的性质和多边形内角和定理是解题的关键．
根据正五边形的性质和多边形内角和定理列式计算即可．
【详解】解：∵五边形是正五边形，
∴，
故答案为：108．
13. 如图，在中，，点D在的延长线上，，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了三角形外角的性质，根据外角的性质可得，代入已知解答即可．
【详解】解：∵是的外角，
∴，
∵，，
∴．
故答案为：．
14. 如图，是平分线，P是上一点，于点D，，则点P到边的距离为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．作于E，然后根据角平分线的性质求解．
详解】解：作于E，如图，
∵是的平分线，，，
∴，
即点P到边的距离为6．
故答案为：6．
15. 如图，在中，，，为中线，，则___________．
【答案】14
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，理解等腰三角形的性质是解题关键．根据等腰三角形的性质得，，再结合三角形内角和定理解得，从而求解．
【详解】解：∵，，为中线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：14．
16. 如图，在的同侧，，点为的中点，若，则的最大值是_____．
【答案】14
【解析】
【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．
，
，
，
，
，
为等边三角形
，
的最大值为，
故答案为．
【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题
三、解答题（共9大题，满分86分）
17. 计算：
（1）；
（2）（结果用科学记数法表示）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关运算和科学记数法，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则．
（1）先根据同底数幂相乘法则、积的乘方和幂的乘方法则进行乘法和乘方，最后合并同类项即可；
（2）先根据积的乘方法则和幂的乘方法则计算乘方，再用科学记数法表示结果即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，已知点B、E、F、C在同一条直线上，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，根据全等三角形的性质即可得解．
【详解】证明：已知点B、E、F、C在同一条直线上，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
19. 如图，格点△ABC在网格中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于直线MN的对称△A'B'C'；
（2）若网格中每个小正方形的边长为1，则△A'B'C'的面积为 ；
（3）在直线MN上找一点P，使PA+PC最小（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）见解析；（2）3.5；（3）见解析
【解析】
【分析】（1）依据轴对称的性质，首先确定A、B、C三点的对称点位置，再连接即可；
（2）依据割补法进行计算，即可得到△A'B'C'的面积；
（3）依据轴对称的性质以及两点之间，线段最短，连接AC′，与MN的交点位置就是点P的位置．
【详解】解：（1）如图所示：△A'B'C'即为所求；
（2）△A'B'C'的面积：
3×3-×1×3-×2×3-×1×2=9-1.5-3-1=3.5；
故答案为：3.5；
（3）如图，点P即为所求．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
20. 按下列要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）作的角平分线；
（2）作线段的垂直平分线．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了基本作图，作垂直平分线，作角平分线：
（1）根据尺规作图，以任意长度为半径，为圆心，交射线、于点、，以点、为圆心，大于的长为半径，在的内部作弧，两弧交于点，作射线，则射线即为所求；
（2）分别以，点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；作直线，即为线段的垂直平分线．
【小问1详解】
如图所示，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求；
21. 若，，
（1）求代数式的值；
（2）求的值．
【答案】（1）6 （2）72
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的有关运算．
（1）根据已知条件，利用同底数幂相乘法则，把幂写成两个底数是2的幂相乘，再进行计算即可；
（2）根据已知条件，逆用幂的乘方法则，把所求的幂写成底数是2的幂，然后进行计算即可．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：∵，，
∴
．
22. 如图，在中，，，平分交于点D．

（1）求证：点D在的垂直平分线上；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的判定、角所对的直角边与斜边的关系．
（1）根据题意和角平分线的定义，可以得到，然后即可得到，再根据线段垂直平分线的判定，即可证明结论成立；
（2）根据角所对的直角边和斜边的关系，可以得到，再根据即可．
【小问1详解】
证明：在中，，，
，
平分，
，
，
，
点D在的垂直平分线上；
【小问2详解】
解：在中，，
，
．
23. （1）尺规作图：作的高；
（2）证明：如果两个锐角三角形有两条边和其中一条边上的高分别相等，那么这两个三角形全等．（请根据图形，补全已知和求证，并写出证明过程）
已知：如图，在和中，，___________，为边上的高，为边上的高，且；
求证：___________．
证明：

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质以及尺规作垂线，熟记相关定理内容即可；
（1）以点为圆心，以大于点到直线的距离为半径画弧，与线段交于两点；
分别以两个交点为圆心，以大于交点形成的线段的一半的长为半径画弧，即可；
（2）证得，即可求证；
【详解】解：（1）如图所示：即为所求；

（2）已知：如图，在和中，，，为边上的高，为边上的高，且；
求证：．
证明：由题意得，
∵，；
∴，
∴，
∵，
∴
24. 为等边三角形，射线经过点A，，作点B关于射线的对称点D，连接、交直线于点E．
（1）如图1，当时，
①___________，___________（用含α的式子表示）；
②用等式表示线段、、的数量关系，并证明：
（2）连接，当α为某个度数时，为等腰三角形，请在备用图中依题意补全图形，并且直接写出α的度数．
【答案】（1）①；；②，证明见解析
（2）见解析，或或或
【解析】
【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
（1）①根据轴对称的性质得出，，则，根据等边三角形的性质推出，，最后根据等边对等角，即可求解； ②连接，在上截取，通过证明为等边三角形，得出，，再证明，即可得出结论；
（2）分在左侧和右侧两种情况，根据题意画出图形，进行分类讨论即可求解．
【小问1详解】
解：①∵点B和点D关于对称，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，，
∴，
②，证明如下：
连接，在上截取，
由（1）可得：，
∵点B和点D关于对称，
∴，，
∴，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①当时，
∵点B和点D关于对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，则，
∴；

②当时，
∵点B和点D关于对称，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，

③当时，
∵点B和点D关于对称，
∴
∵是等边三角形，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
④当时，
∵点B和点D关于对称，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
综上所述：的度数为或或或．
25. 如图1：，B在x轴上，点在射线上．
（1）若，
①点C到x的距离为___________；
②求证：点B为的中点；
③如图2，点D在第四象限，，连接交x轴于点H，求点D的坐标．
（2）如图3，点E、F分别在坐标轴上，，点P为的内角平分线的交点，分别交x轴、y轴于N、M两点．
①求的度数；
②若点P的纵坐标为m，求的周长（用含m的代数式表示）．
【答案】（1）①5，②见解析，③
（2）①，②
【解析】
【分析】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定及性质，角平分线的性质，图形旋转的性质，三角形内角和定理是解题的关键．
（1）①首先推导出，进而得解；
②求出直线的解析式，能够得到B点坐标，再结合A、C点坐标即可证明；
③过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点，通过证明，即可求解；
（2）①连连接，过点P作轴交于G点，过点P作轴交于H点，根据题意先证明，，再由三角形内角和推导出，从而得到，再推导出；
②将绕点P逆时针旋转，得到，可证明，则的周长．
【小问1详解】
解：由题意得：，
①∴点C到x的距离为5，
故答案为：5；
②证明：设直线的解析式为，
∴，解得，
∴；
令时，，
解得，
∴，
∵
∴B是的中点；
③解：过点B作，过点C作交于K点，过点D作交于L点，如图2，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：①连接，如图3，
∵点P为的内角平分线的交点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵
，
∴，
∴；
②过点P作轴交于G点，过点P作轴交于H点，如图3，
∵点P为的内角平分线的交点，
∴，
∵点P的纵坐标为m，
∴，
将绕点P逆时针旋转，得到如图4，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
∴的周长