福建省福州市鼓楼区立志中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）-A4

这是一份福建省福州市鼓楼区立志中学2024—2025学年上学期八年级期中数学试卷（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了 给出下列计算， 若，则可以， 若是完全平方式．则的值可能是， 若，，则的值是等内容，欢迎下载使用。
1. 下面是人教版物理教材中部分电路元件的符号，不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形概念，掌握轴对称图形的定义“如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形”是解题的关键．
【详解】解：A.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C.图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D.图形不是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
2. 给出下列计算：其中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法、积的乘方，根据运算法则逐项计算即可判断．
【详解】解：A，，计算错误；
B，，计算正确；
C，，计算错误；
D，，计算错误；
故选B．
3. 若某三角形的三边长分别为2，3，m，则m的值可以是（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得答案．
【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，3，m，，
∴，即．
观察四个选项，选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了确定三角形第三边的取值范围，掌握三角形三边关系是解题的关键．
4. 如图，与相交于点O，，不添加辅助线，判定的依据是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握三种判定定理的内容是解题的关键；由已知有，且它们的夹角是对顶角也相等，则由可判定这两个三角形全等．
【详解】解：在与中，
，
∴；
故选：B．
5. 若，则可以（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据分式的基本性质进行判断即可．
【详解】解：根据分式的基本性质：分子、分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，A、B选项是分子分母同时减或加2，不符合题意；
D选项是分子分母同时平方，不符合题意；
C选项是分子分母同时乘2，符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题关键是熟记分式的基本性质，准确进行判断．
6. 如图，中，是的中线，点在上，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据等腰三角形三线合一性质得到是中的角平分线，从而求出的度数，再由等边对等角得，然后由三角形内角和定理求出，再由邻补角求解即可得到答案．
【详解】解：∵是的中线，
是中的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查三角形中求角度，涉及等腰三角形三线合一性质、角平分线定义、等边对等角、三角形内角和定理、邻补角定义等知识，熟练掌握等腰三角形性质是解题的关键．
7. 若是完全平方式．则的值可能是（ ）
A. 6或B. 18C. 12或D. 36
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查完全平方式，形如的式子为完全平方式，据此求解．
【详解】解：，
若是完全平方式．则，
即的值可能是12或，
故选C．
8. 如图，△ABC中，AB＞AC＞BC，边AB上存在一点P，使得PA＋ PC＝AB．下列描述正确的是（ ）
A. P是∠ACB的平分线与AB的交点
B. P是以点B为圆心，AC长为半径的弧与边AB的交点
C. P是AC的垂直平分线与AB的交点
D. P是BC的垂直平分线与AB的交点
【答案】D
【解析】
【分析】由PA+PC=AB易得PB=PC，根据线段垂直平分线定理的逆定理可得点P在BC的垂直平分线上，即P是BC的垂直平分线与AB的交点．
【详解】∵PA+PC=AB，PA+PB=AB，
∴PB=PC，
∴点P在BC的垂直平分线上，
∴P是BC的垂直平分线与AB的交点；
故选：D．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．
9. 如图，中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点和点为圆心，大于长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点，画射线交于点，则线段的长为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】过点作于点，如图所示，由基本尺规作图-作角平分线得到平分，再由三角形全等的判定得到，设，表示出中三边长度，再由勾股定理列方程求解即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，如图所示：
依题意，平分，则，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
设，
∴，
在中，由勾股定理可得，则，
解得，即，
故选：B．
【点睛】本题考查求线段长，涉及基本尺规作图-作角平分线、角平分线定义、三角形全等的判定与性质、勾股定理、解方程求线段长等知识，熟练掌握基本尺规作图-作角平分线、三角形全等的判定与性质是解题的关键．
10. 若，，则的值是（ ）
A. 1025B. 1998C. 2011D. 2050
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握灵活应用完全平方公式，先根据完全平方公式把已知条件中的两个等式展开，然后相加，再根据等式的基本性质求出答案即可．
【详解】解：，
，，
得：，
，
故选：．
二.填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 计算：_____．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查零指数幂，实数，熟练掌握任何非0数的零指数幂为1是解题的关键．利用零指数幂计算即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是________．
【答案】．
【解析】
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），据此即可求得点（﹣3，2）关于x轴对称的点的坐标．
【详解】解：∵点关于x轴对称，
∴对称的点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中点的对称性质，解题关键是明确平面直角坐标系中关于坐标轴对称点的变化特征．
13. 若，则的值为__________．
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键，先根据多项式乘多项式的运算法则计算，由题意得出，即可得出的值．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
14. 若，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，先根据同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再整体代入计算即可．
【详解】解：,
，
故答案为：．
15. 如图，中，，，是的角平分线，以为腰作等腰直角三角形，使，连接，则的面积为_______．
【答案】16
【解析】
【分析】此题重点考查等腰三角形的性质三线合一、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
作交的延长线于点F，根据题意证明，得，即可求得答案．
【详解】解：作交的延长线于点F，
是的角平分线，
，，
，
是等腰直角三角形，，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：16．
16. 如图，中，，，，，点在线段上，以为边在外作等边，点是的中点，连接，连接，在右侧作等边，连接，连接，则的最小值是_________．
【答案】
【解析】
【分析】以为原点，为轴建立平面直角坐标系．连接，作点关于的对称点，连接，则，以为边向外作等边三角形，作直线，证明，推出，推出点在直线上运动，作点关于的对称点，连接，，，交于点．求出可得结论．
【详解】解：如图，以为原点，为轴建立平面直角坐标系．
连接，作点关于的对称点，连接，则，
∵，，，
∴，
∴，
∴， ，
∴，
∵是等边三角形，，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∴，可得，
以为边向外作等边三角形，作直线，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点在直线上运动，
作点关于的对称点，连接，，，交于点．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，含度的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
三.解答题（共9题，共86分）
17. 分解因式：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
(1)先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
(2)先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算的法则是解决此题的关键．
(1)先按照积的乘方和同底数幂的乘法的运算法则进行计算，再合并同类项即可；
(2)按照多项式除以单项式的运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
19. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，2，
【解析】
【分析】本题主要考查了整式的混合运算-化简求值，平方差公式等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键，先去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
20. 如图，点A，B，E，D在一条直线上，，垂足分别为C，F，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．
利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 如图，点D是上一点，，，垂足分别为E，F，，点G是上一点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，由角平分线的判定定理易得是角平分线，由，易得，则可得到答案．
【详解】证明：连接，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
22. 如图1是一个长为，宽为长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2，请你写出，，之间的等量关系是__________；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，，，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）3
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，理解图形中各部分面积之间的关系是解题关键．
（1）4个小长方形面积与中间小正方形面积之和等于大正方形面积，由此列式；
（2）利用（1）中结论，将，代入计算即可；
（3）由，得，由得，再利用完全平方公式即可求解．
【小问1详解】
解：，，之间的等量关系是：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：，，
，
；
【小问3详解】
解：，，
，
，
，
，
．
23. 如图，在中，，，平分，交于点P．
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线l（要求：保留作图痕迹，不写作法）．
（2）记直线l与，的交点分别是点E，F．
①求证：；
②当时，求EF的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可．
（2）①根据含30度角的直角三角形的性质可得，由线段垂直平分线的性质可得，则．
②连接，由题意可得为等边三角形，则，．由线段垂直平分线的性质可得，则，由角平分线的定义可得和角度的计算可得，根据等角对等边即可得到结果．
【小问1详解】
解：如图，直线l即为所求．
【小问2详解】
解：①证明：∵，，
∴．
∵直线l垂直平分线段，
∴，
∴．
②连接，
∵，，
∴．
由①知，，
∴为等边三角形，
∴，．
∵直线l垂直平分线段，
∴，
∴．
∵，平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
24. （1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．
例如：．
①分解因式：；
②若．，都是正整数且，求的值；
（2）若，为实数且满足，整式，求整式的最小值．
【答案】（1）①；②19；（2）
【解析】
【分析】本题考查因式分解，完全平方公式的应用：
（1）①参照题干，利用分组分解法求解；②由，都是正整数，得，都是整数，且，结合求出a，b的值，代入计算可得答案；
（2）将变形为，代入得，可得答案．
【详解】解：（1）①
；
②，
，
，都是正整数，
，都是整数，且，
又，
，或，
解得或（不合题意，舍去），
；
（2），
，
，
，，
，
整式的最小值为．
25. 如图1，在中，，，D是边上不与A，B重合的一个定点．于点O，交于点E，且，，的延长线相交于点M．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图2，若N是的中点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）∠
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）依据题意，，，又，，可得，进而可以判断得解；
（2）过点D作，交于点H，则，即．证明，得到，即可证明，从而；
（3）依据题意，延长交于点T，连接，，先证，再证，得，，即可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，进而得到答案即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：过点D作，交于点H，
则，
∵，
∴，
即．
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问3详解】
证明：延长交于点T，连接，，如图：
∵，，
∴
∴，
∴，
∴．
∵N是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴．