初中数学新沪科版八年级下册 17.4 一元二次方程的根与系数的关系 教学课件（2026春）

沪科版·八年级下册第17章 一元二次方程17.4 一元二次方程的根与系数的关系学习目标12了解一元二次方程根与系数的关系.通过由特殊到一般，培养学生观察、分析，猜测规律的能力.新课导入探 索 从因式分解法可知，方程 (x – x1)(x – x2) = 0 (x1，x2为已知数)的两根为 x1 和 x2. 将方程化为 x2 + px + q = 0 的形式，你能看出 x1，x2 与 p，q 之间的关系吗？①式可化为 x2 – (x1 + x2)x + x1x2 = 0 ③ 由②③式可对应得到 p = – (x1 + x2)，q = x1x2. 则上述方程两个根的和、积与系数的关系为：x1 + x2 = – p，x1x2 = q.(x – x1)(x – x2) = 0 ① → x2 + px + q = 0 ②推进新课知识点 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？思 考观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根为 x1 、 x2 ， 那么 当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.练一练【教材P38练习 T1】下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得（4）3x2 = 1.（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0. 例 1已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.解：设方程的另一个根是 x2，则解方程组，得还有其他解法吗？例 1已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 有两个根，其中一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.2×(– 4)2 – 4k – 4 = 028 – 4k = 0k = 72x2 + 7x – 4 = 0练一练【教材P38练习 T2】已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.解：设方程的另一个根是 x2，则解方程组，得例 2方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.解：由韦达定理，得(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2由韦达定理，得(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2由求根公式，得与一元二次方程有关的代数式的常见变形：①②③④⑤⑥练一练【教材P38练习 T3】设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.（1）(x1 + 1)(x2 + 1)；（2）（3）|x1 – x2|.解：由韦达定理，得（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2引申：对于 ax2  bx  c  0（a  0，  0）（1）若两根互为相反数，则 b  0；（2）若两根互为倒数，则 a  c；（3）若一根为 0，则 c  0；（4）若一根为 1，则 a  b  c  0；（5）若一根为 1，则 a  b  c  0；（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.你能自己推导出这些结果吗？随堂练习1. 关于 x 的方程 x2 + px + q = 0 的根为 x1 = 1 + ，x2 = 1 – ，则 p = ，q = .–2 –1 2. 方程 5x2 + kx – 6 = 0 有两个不相等的实数根，其中一个根是 2，则另一根是 ， k = .–7 3. 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？（1）x2 – 3x + 2 = 0；（2）x2 + x = 5x + 6；（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 4x – 6 = 0. （3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.（3）将方程化为一般形式，得 x2 – x – 1 = 0. （4）将方程化为一般形式，得 2x2 – 4x + 1 = 0. 4. x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根，不解方程求下列各式的值：（1） ；（2）x12 + x22.解：因为 x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根.所以 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .（2）x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2= 52 – 2×(– 7)= 39课堂小结课后作业完成练习册本课时的习题。