初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系课文ppt课件

这是一份初中数学沪科版（2024）八年级下册（2024）17.4 一元二次方程的根与系数的关系课文ppt课件，共32页。PPT课件主要包含了韦达定理，练一练，解方程组得，解由韦达定理得，m＝1n＝－2，解根据题意得等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程的一般形式是什么？
答：ax2＋bx＋c＝0(a≠0).
2.一元二次方程的求根公式是什么？
它揭示了两根与系数间的直接关系，那么一元二次方程根与系数间是否还有更深一层的关系呢？
知识模块　一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，且 b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数之间还有什么形式的关系呢？
观察 x1 、 x2 表达式的特点，你有什么发现？
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
当一元二次方程的二次项系数为 1 时，它的一般形式为 x2 + px + q = 0. 设它的两个根为 x1 ， x2，这时有与 x1 + x2 = – p，x1x2 = q.
下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 1 = 0；（2）3x2 – 2x – 2 = 0；
解：设方程的两个根分别为 x1，x2，由韦达定理，得
（3）2x2 + 3x = 0；（4）3x2 = 1.
（4）将方程化为一般形式，得 3x2 – 1 = 0.
例1 已知关于 x 的方程 2x2 + kx – 4 = 0 的一个根是 – 4，求它的另一个根及 k 的值.
解：设方程的另一个根是 x2，则
方法二：先将 x1 = – 4 代入方程中，求出 k 的值，再求出方程的解.
2×(– 4)2 – 4k – 4 = 0
28 – 4k = 0
2x2 + 7x – 4 = 0
已知关于 x 的方程 3x2 – 19x + m = 0 有两个根，其中一个根是 1，求它的另一个根及 m 的值.
例2 方程 2x2 – 3x – 1 = 0 的两个根记作 x1，x2，求 x1 – x2 的值.
(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
一般地，若 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1，x2，你能用 a，b，c 表示 |x1 – x2| 吗？
设 x1，x2 是方程 2x2 + 4x – 3 = 0 的两个根，求下列各式的值.
（1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1
（3）(x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2
引申：对于 ax2  bx  c  0（a  0，  0）（1）若两根互为相反数，则 b  0；（2）若两根互为倒数，则 a  c；（3）若一根为 0，则 c  0；（4）若一根为 1，则 a  b  c  0；（5）若一根为 1，则 a  b  c  0；（6）若 a、c 异号，方程一定有两个实数根.
你能自己推导出这些结果吗？
范例2：已知关于x的一元二次方程x2－bx＋c＝0的两根分别为x1＝1，x2＝－2，则b与c的值分别为 ( )A．b＝－1，c＝2　　B．b＝1，c＝－2　　C．b＝1，c＝2　　D．b＝－1，c＝－2
仿例2：已知关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m.求m，n的值．
－2m＝n，－2＋m＝－1，
解：∵关于x的方程x2＋x＋n＝0有两个实数根－2，m，
解得即m，n的值分别是1，－2.
仿例3：已知关于x的方程x2＋x－m＝0的一个根为2，则有m＝____，另一个根是____.
2. 方程 5x2 + kx – 6 = 0 有两个不相等的实数根，其中一个根是 2，则另一根是 ， k = .
3. 下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2 – 3x + 2 = 0；（2）x2 + x = 5x + 6；（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
（2）将方程化为一般形式，得 x2 – 4x – 6 = 0.
（3）5x2 – 1 = 4x2 + x；（4）2x2 – x + 2 = 3x + 1.
（3）将方程化为一般形式，得 x2 – x – 1 = 0.
（4）将方程化为一般形式，得 2x2 – 4x + 1 = 0.
解：因为 x1，x2 是方程 x2 – 5x – 7 = 0 的两根.所以 x1 + x2 = 5，x1x2 = – 7 .
（2）x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2
= 52 – 2×(– 7)
5. 若长方形的长和宽是方程 4x2 – 12x + 3 = 0 的两个根，求该长方形的周长和面积.
所以长方形的周长 C = 2(a + b) = 2(x1 + x2) = 6.
6.不解方程，试说明一元二次方程 3x2 – 5x = 7 必有实数根，并求出两根之和与两根之积.
解：将原方程化为一般形式，得3x2 – 5x – 7 = 0.
所以原方程有两个不相等的实数根.
所以 Δ = (–5)2 – 4×3×(–7) = 109 > 0，
7. 已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2m – n = 0 的一个根为 2，且根的判别式为 0，求 m，n 的值.
Δ = m2 – 4(2m – n) = m2 – (8m – 4n) = 0
且 4 + 2m + 2m – n = 4 + 4m – n = 0
即 4m – n = – 4
所以 m2 – (8m – 4n) = m2 – 4(4m – n) + 8m = 0
即 m2 + 8m + 16 = 0
解得 m1 = m2 = – 4
所以 n = 4m + 4 = – 12
所以 m 的值为 – 4，n 的值为 – 12.
8. 已知两数的和为 2，积为 – 2，求这两个数.
解：设其中一个数为x，则另一个数为(2 – x). 根据题意，得 x(2 – x) = – 2
整理，得 x2 – 2x – 2 = 0.