高中数学湘教版（2019）必修 第二册向量的数量积教学设计

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本节课是第2课时. 在此之前，学生已经学习过了三角函数、向量、向量的加法、向量的数乘、数量积的物理背景和定义，这为本节课的学习奠定了基础. 为了更好地理解数量积的几何意义，研究数量积的运算律，教材引入了向量投影的概念. 为了更好地理解向量投影的概念，教材新引入了投影向量和投影长的概念. 在研究数量积的运算律时，数量积满足的“交换律”、“与数乘的结合律”的证明是较为简单的，数量积的“分配律”是特别重要的，教材给了详细的证明. 对于向量的数量积运算，学生容易受到实数乘法运算性质的“负迁移”影响，可能出现一些错误，如，等，教材上虽然没有体现，但是教师在教学时可以引导学生通过举反例或者画图来澄清认识. 新课标相对于旧课标，平面向量内容有两点突出的变化，教学时应予以关注：①对于平面向量投影的概念及投影向量的意义的具体需求，从“体会”变为了“了解”，但突出了“通过几何直观感知”；②突出了“会计算平面向量的数量积”. 本节内容，一是通过几何直观，了解投影向量的几何意义及向量投影的概念；二是通过代数运算和作图，证明数量积的运算律. 通过投影和数量积运算律的学习，培养学生直观想象、数学运算、数学抽象和逻辑推理的核心素养.
二、教学目的
（1）通过几何直观，了解投影向量及其几何意义，进而了解向量投影的概念.
（2）通过类比向量线性运算的运算性质和数的乘法运算律，提出平面向量数量积的运算律，并能通过作图和代数运算进行证明.
（3）会利用数量积的运算性质和运算律计算平面向量的数量积.
（4）渗透数形结合、分类讨论等数学思想，培养学生直观想象、数学运算、数学抽象和逻辑推理的核心素养.
三、重点难点
重点：通过几何直观，了解投影向量的几何意义及向量投影的概念，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律.
难点：投影向量表达式的推导，数量积满足的运算律中“分配律”的证明，运用数量积的性质和运算律进行相关的运算和判断.
四、核心素养
●直观想象、●数学运算、○数据分析、●数学抽象、●逻辑推理、○数学建模．
五、教学准备
课件.
六、教学流程
复习引入 -> 新知探索--> 典型剖析-> 新知探索--> 典型剖析 -> 练习巩固 -> 归纳小结
七、教学过程
八、板书设计
大致板书如下：
教学环节
教学内容
师生活动
设计意图
时间分配
㈠ 复习引入
复习．填一填：
（1）公式 ；
的取值范围是 ；
如图，在中， ；
故 .
；
； ； .
1. 开始语：上一节课我们学习了数量积的定义，请同学们填一填复习引入的内容.
2. 学生填写复习引入的内容.
复习数量积的公式和向量夹角的范围，为本节课投影和数量积的运算律的学习奠定基础；复习三角函数，为探索投影向量作铺垫.
2分钟
㈡
新知探索
问题：什么是投影向量？投影向量是向量吗？什么是投影长？什么是向量投影？向量投影与投影向量一样吗？
试试：如图，已知向量，，两个向量的夹角为，过点作于点，则 ，其中 与共线.
在方向上的投影向量是 ；
在方向上的投影长是 .
投影长如何计算？
设是方向上的单位向量，则，，填写下表。
方向
在所有情况下，投影向量 .
在方向上的投影是 ，它的几何意义是什么？
几何意义是什么？
在方向上的投影是 ，如何用数量积计算？
在方向上的投影是 ，如何用数量积计算？
抛出问题，让学生带着问题学习，自主寻找答案，时间2分钟. 然后教师在黑板上画出图形，师生一起交流得到投影向量和投影长的概念，引导学生用分类讨论的方法讨论投影长的表达式，再进一步讨论投影向量的表达式，然后给出向量投影的概念，讨论数量积的几何意义和用数量积计算向量投影的表达式. 注意区别在方向上的投影和在方向上的投影.
通过填空和问题的方式降低难度，引导自主思考，从而正确理解投影向量，投影长，向量投影的概念及它们之间的关系.
10分钟
㈢ 典例剖析
例1. 已知，，，
（1）求向量在向量方向上的投影.
（2）求向量在向量方向上的投影.
学生独立解答例1，并交流，教师板书并总结.
通过例1的学习，加深学生对向量投影的概念的理解.
4
分钟
㈣
新知探索
问题：数的乘法，满足交换律、结合律和分配律，那向量的数量积是否也满足上面的运算律？
试试：设，，是任意向量，是任意实数，则如下运算律成立：
交换律：. 你能证明吗？
与数乘的结合律：. 你能证明吗？
提示：当时，；当时，，想想为什么.
（3）分配律：.你能证明吗？
思考：
对于任意实数，，，有，对于任意向量是否也有成立？你能说明理由吗？
已知实数，，，则，对于向量是否也有成立？你能说明理由吗？
教师引导学生用定义法证明数量积的交换律和对数乘的结合律，然后引导学生从数量积几何意义角度去构造图形证明分配律. 再进一步组织学生交流讨论思考中的问题，并举出反例.
类比数的乘法的运算律，探究数量积的运算律，加深对数量积定义及几何意义的理解.
10分钟
㈤ 典例剖析
例2．求证：菱形的两条对角线互相垂直.
已知：如图所示，四边形是菱形.
求证：.
思考：成立吗？如果，得到什么等式？作出向量，你得到的等式代表的几何意义是什么？
例3．已知，，与的夹角为，求.
教师引导学生独立解答例2，然后板书到黑板上，并强调书写规范. 然后引导学生解决思考提出的问题. 接着学生独立解答例3，并板书到黑板，教师点评并总结例3的解题步骤.
通过例2和例3的练习，加深对数量积的定义、数量积的运算律的理解.
8分钟
= 6 \* GB4 ㈥
练习巩固
练习1. 在中，已知，，，求：
（1）在方向上的投影；
（2）在方向上的投影.
练习2. 运用数量积知识证明下列几何命题：
在中，，
则.
（2）在矩形中，.
给出练习1、练习2，请学生在学案上写出各题答案，然后利用希沃授课助手，依次展示学生练习，请其余学生纠正错误，指出相关知识点.
练习1强化向量投影的理解和计算.
练习2强化数量积的定义及其运算律的理解.
4分钟
= 7 \* GB4 ㈦ 归纳小结
本节课你学习了什么知识？
使用思维导图总结.
系统梳理整节课所学内容.
2分钟
（例1过程）
（例2教师板书过程）
（例3学生板书过程）
（投影向量概念）
（向量投影表达式）
（数量积的运算律）