湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试卷（Word版附解析）

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数学
时量:120 分仲
满分：150 分
(考试范围：必修第一册第 1 章~第 4 章 4.4)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是符合题目要求的.
1
. 已知集合
，集合
，则
（
）
A.
B.
C.
D.
【
【
答案】C
解析】
分析】由交集运算即可求解.
【
详解】由集合 ，集合
，
则
，
故选：C
. 命题“
2
”的否定形式是（
）
A.
C.
B.
D.
【
【
【
答案】D
解析】
分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
详解】命题“ ”，
【
其否定为：
.
故选：D
3
. 函数
的图象大致为（
）
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A.
B.
C.
D.
【
【
【
答案】A
解析】
分析】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断.
【
又
详解】函数定义域为
，
，
所以函数为奇函数，排除 BC，
又
，排除 D，
故选：A
4
. 函数
的定义域为（
）
B.
A.
C.
D.
【
【
【
答案】B
解析】
分析】根据对数型函数的真数大于 0 求解.
详解】令 ，得
【
，
所以函数
的定义域为
.
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故选：B
5
. 已知
，那么
是
的（
）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【
【
【
答案】A
解析】
分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.
【
详解】因为
，且
在
上单调递增，
所以
又
，
在 R 上单调递减，所以
,
所以
而若
所以
是
的充分条件，
，此时
，可能
不是
是
不存在，
的必要条件，
所以
的充分不必要条件.
故选：A.
6
. 已知函数
在
上是增函数，
关于 y 轴对称，若
成立，则实
数 t 的取值范围是（
）
A.
B.
D.
C.
【
【
【
答案】C
解析】
分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果.
【
详解】因为
关于 轴对称，则
关于
对称，
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又函数
由
在
是增函数，所以
可得
在
是减函数，
，
由函数的单调性以及对称性可得
，化简可得
，
即
，解得
，
则实数 的取值范围是
.
故选：C
7
. 若实数 ，
，
满足
，则 ，
，
的大小关系不可能是（
）
A.
【
【
【
.
B.
C.
D.
答案】B
解析】
分析】根据给定条件，求出 ， ， 的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断
【
则
详解】令
，
，
，
，
，
.
在同一坐标系中作出函数
，
，
，
的图象，如图：
由图可知：
当
当
当
时，
；
时，
时，
；
.
故 ACD 均有可能，B 不可能成立.
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故选：B
8
. 已知函数
，若当
时，
B.
，则实数 a 的取值范围是（
）
A.
C.
D.
【
【
答案】A
解析】
【
分析】当
时，
时，
，得
，令
，
得
，再利用对勾函数的单调性求解．
【
详解】当
，
得
得
，
，
得
，
得
由
，
，得
，
，
得
得
，又
，
第 5页/共 17页

令
，得
，
由对勾函数知，
故
在
，
，
上递增，得
，
得
或
故选：A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9
. 下列说法中，正确的是（
）
A. 若
，则
，则
B. 若
，则
，则
C. 若
D. 若
【
【
【
答案】ACD
解析】
分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项分析判断.
【
详解】对于 A，由
，得
，A 正确；
对于 B，由
，得
，则
，B 错误；
对于 C，由
，得
，得
，则
，C 正确；
对于 D，由
，D 正确.
故选：ACD
1
0. 已知实数
都是正数，且满足
的最大值为
最小值为
，则下列说法正确的是（
）
A.
C.
B.
D.
的最小值
的最大值为
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【
【
答案】AD
解析】
【
，
【
即
分析】对 A，由
由
求解；对 B，由消元法化为二次函数求解；对 C，由“1”的代换求解；对 D
求解.
详解】对于 A：
，当且仅当
时取等号，
的最大值是 ，A 正确；
对于 B：
当
，
，
时，取得最小值 ，B 错误；
对于 C：
，
当且仅当
时取等号，又
，所以
，
所以
最小值为
，C 错误；
，当且仅当
，D 正确.
对于 D：
时取等号，
所以
的最大值为
故选：AD.
11. 设函数
和
是定义在 上的非常数函数，
.且对任意
，都有
，
则下列说法正确的是（
）
A.
B. 若
为非零函数，则
，则
为奇函数
C. 若
D. 若
为奇函数且在 上单调递增，则
对任意
第 7页/共 17页
成立

【
【
【
答案】ABD
解析】
分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断．
【
详解】对于 A，令
，代入
，
得
因为
，所以
为非零函数，令
，A 正确；
对于 B，若
，
代入原式：
设
，
，
，则
，故
为奇函数，B 正确；
对于 C，若
，令
，所以
，
令
，所以
，所以
，所以
为奇函数且在 上单调递增，结合
，
令
，
，
所以
，C 错误；
对于 D，若
，
时，
；
时，
；
令
当
当
当
，得
，
时，
时，
时，
，故
，故
；
；
，因此
对任意
成立，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
1
2. 已知幂函数
的图象经过点
，则
_____.
【
答案】2
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【
【
解析】
分析】待定系数法求出
的解析式即可.
【
详解】设幂函数
，其中 为常数，
函数图象经过点
因此，有：
，
，
解得：
.
所以，幂函数为
.
故
.
故答案为：2
1
3. 计算：
____.
【
【
【
答案】4
解析】
分析】根据对数的运算法则求值.
【
详解】原式
.
故答案为：4
1
4. 已知函数
，若关于 x 的方程
有 6 个不相等的
实数根，则实数 a 的取值范围为_____.
【
【
【
答案】
解析】
或
分析】先作出函数
的图象，再令
，则
，
，易得
，
且关于 的方程必有两个不等实根，设为
，再分
和
第 9页/共 17页

三种情况讨论即可.
【
详解】作出函数
的图象如图所示，
令
，则
，
若原方程有 6 个不相等的实数根，
则
，且关于 的方程必有两个不等实根，设为
时，
，
当
代入
，则
，解得
，
此时关于 的方程为
，解得
，满足题意；
，
当
，且
时，令
则函数
因为函数
有两个大于 的不等零点，
图象过点
，
则
，解得
，
即
当
；
时，因为函数
的图象过点
，
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则
，无解，
综上所述，实数 a 的取值范围为
或
.
故答案为：
或
.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
1
5. 已知集合
.
（
1）当
时，求
；
（
【
（
2）若
，求实数 a 的取值范围.
答案】（1）答案见解析
2）
【
【
（
【
解析】
分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可；
2）根据子集的运算性质、结合补集的定义进行求解即可.
小问 1 详解】
当
时，
，
，
或
，
，
，
；
【
小问 2 详解】
由（1）可知
，
当
当
时，显然
时，此时
成立，此时
，解得
，解得
，
，
第 11页/共 17页

要想
，只需
，而
，所以
，
综上所述：实数 a 的取值范围为
6. 已知关于 的不等式
.
1
.
（
（
【
1）若不等式的解集为
，求实数 的值；
2）若不等式对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围.
答案】（1）
（
【
【
2）
解析】
分析】（1）由题意可得方程
的解为
，再利用韦达定理求解即可；
（
【
2）分
和
两种情况讨论结合根 判别式求解即可.
小问 1 详解】
因为不等式的解集为
所以方程
，
的解为
，
则
，解得
；
【
当
当
小问 2 详解】
，即
时，
恒成立；
时，
则
，解得
.
，
综上所述，实数 的取值范围为
1
7. 在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余
弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为
，双曲余弦函数为
，已知这两个
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最基本的双曲函数的定义域为 R，且具有如下性质：①
(常数 e 是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：
1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
为奇函数，
为偶函数；②
（
（
2）设函数
，若
；
在 R 上的最小值为 6，求实数 a 的值.
【
（
答案】（1）
2）
解析】
分析】（1）根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义列出方程组求解即得.
或
.
【
【
（
【
2）由（1）的结论求出
，利用换元法，结合二次函数并按
分类求出最小值即可.
小问 1 详解】
依题意，由
则
，得
，而
为奇函数，
为偶函数，
，
，由
，解得
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为
.
【
小问 2 详解】
由（1）知
，则
，
令
，当且仅当
时取等号，
，
，
当
当
时，函数
时，
在
上单调递增，
，则
，则
；
，
所以实数 a 的值
8. 已知
1）证明：
或
.
1
，且
恒成立，当
时等号成立，
.
（
，并说明取等号的条件；
第 13页/共 17页

（
2）证明，
；
（
【
（
【
【
3）已知 满足
，
满足
，比较
与
的大小.
答案】（1）证明见解析
2）证明见解析
解析】
（3）
分析】（1）由
恒成立，得到
，两边同时取对数得
,则 ，两侧分别令
即可证明
；
（
2）由
，令
累加，再利用对数
的运算即可证明
3）先根据条件化简得到
得到 ，则可证明
；
（
和
，构造函数
，得到
再化简
.
【
小问 1 详解】
证明：由题可知
恒成立，所以利用
，当
等号成立.
替换 得
时取等号，
；
当
故
【
时，两边同时取对数得
，当
小问 2 详解】
证明：由（1）知
，当且仅当
时等号成立，
；
令
,则
所以
所以
；
；
得证.
【
小问 3 详解】
因为
又因为
即
，
，所以
，
，所以
；
；
令
，则
；
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又因为
代入
为增函数，故
得到
，即
，
；
又因为
，所以
.
1
9. 给定函数
，对于任意
.函数
表示
中的最大者.记为
.
函数
表示
，并求出
中的最小者.记为
的解集；
.
（
（
（
1）用解析式表示
2）证明：
；
3）设
，若对任意
.都有
，求实数
的取值范围.
【
答案】（1）
，
（
【
2）证明见详解
（3）
解析】
【
（
（
分析】（1）由函数图象可知
2）由函数的定义即可证明；
3）由（2）结论，根据
的解析式，然后列不等式解得
，使得函数
的解集；
解析式求得函数
在区间
，然
后分别由函数单调性求出函数
的值域，根据题意列出不等式即可求得实数 的取
值范围.
【
小问 1 详解】
由函数
和
的图象可知
第 15页/共 17页

，
当
时，
；当
时，
，解得
，
∴
；当
时，
.
∴
【
.
小问 2 详解】
当函数
时，
，
∴
成立，
当函数
时，
，
∴
成立，
∴
恒成立.
【
小问 3 详解】
，
，
第 16页/共 17页

即
，
，
∴
，
由（2）可知
.
当
时，
，∴
在区间
上调递增，所以
，
，
∵
∵
对任意
.都有
恒成立，
，即对任意
.都有
，
∴
令函数
因为函数
在
上单调递增，且
，
∴
.
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