湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（一）数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市长郡中学2026届高三上学期月考（一）数学试卷（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
得分_____
本试卷共 8 页。时量 120 分钟。满分 150 分。
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个
选项中,只有一项是符合题目要求的.)
1. (★)已知集合 A={x∣3≤x≤7},B={x∣20 的图象在 0,2π 上恰有 5 个公共点,且其中一个公共点的坐标为 π,0 ,则 ω=
A. 12 B. 2 C. 136 D. 3
8. 已知函数 fx . 是定义在 R 上的偶函数, f′x 是 fx 的导函数, fx+f′x=2ex ,若 kfx−ex≤x 在 R 上恒成立,则实数 k 的取值范围是
A. −∞,−1e B. −1e,0
C. (−∞,−1] D. [−1,0)
二、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项 中,有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分,部分选对的得部分分,有 选错的得 0 分, )
9. (★) 在二项式 1x3−3x2n 的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则
A. n=10
B. 展开式中没有常数项
C. 展开式所有二项式系数和为 1024
D. 展开式所有项的系数和为 256
10. 如图, AC 为圆锥 SO 的底面圆 O 的直径,点 B 是圆 O 上异于 A,C 的动点,母线 SC=22 ,圆锥 SO 的侧面积为 42π ,则下列结论正确的是

A. SO=2
B. 三棱锥 S−ABC 的体积最大值为 83
C. 若点 B 为弧 AC 的中点,则二面角 S−BC−O 的平面角大小为 45∘
D. 若 AB=BC,E 为线段 AB 上的动点,则 SE+CE 的最小值为 23+1
11. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,外接圆半径为 R ; 面积为 S ,若 sin2A+sin2B+sin2C=2,S=4 ,则
A. R=4
B. abc=32
C. 当 A=π2 时, C 有唯一值
D. 当 A=B 时, C 有且仅有 2 个值
选择题答题卡
三、填空题(本大题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. )
12. 已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ,若 a1=29 ,且 S10=S20 ,则 Sn 的最大值为_____.
13. (★) 已知双曲线 x2−y2b2=1b>0 的左、右焦点为 F1,F2 ,以 O 为顶点, F2 为焦点作抛物线交双曲线于 P ,且 ∠PF1F2=45∘ ,则 b2= _____.
14. 将 3 个小球随机放入 4 个盒子,记小球最多的盒子里小球数目为 X ,则 EX= _____.
四、解答题(本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤.)
15. (13分)为了普及安全教育,某学校随机抽取男生、女生各 100 名学生进行安全知识测试, 根据 200 名同学的测试成绩得知, 该校有 85% 的同学成绩超过 90 分, 具体情况如下表格:
(1)求 λ,μ,t ；
(2)根据小概率值 α=0.01 的独立性检验,能否推断该校男生和女生了
解安全知识的程度与性别有关?
附: χ2=nad−bc2a+bc+da+cb+d ,
16. (★)(15分)如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是正方形, BF=DE,BF//DE,M 是 AE 的中点.

(1)求证: EC// 平面 BDM ；
(2)若 DE⊥ 平面 ABCD,AB=4,BM⊥CF ,点 P 为线段 CE 上一点,且 CP=13CE ,求直线 PM 与平面 AEF 所成角的正弦值.
17. (★)(15分)已知函数 fx=ax2−lnx−1,gx=xex−ax2a∈R .
(1) 求 gx 在 x=0 处的切线方程；
(2)讨论 fx 的单调性；
(3)证明: fx+gx≥x .
18.(17分)已知椭圆 E:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 12 ,点 1,32 在椭圆 E 上.
(1)求椭圆 E 的标准方程；
(2)若椭圆 E 的切线分别交直线 x=−2,x=2 于点 S,T ,椭圆 E 的左、 右焦点分别为 F1,F2 .
(1)证明: S,T,F1,F2 四点共圆；
(II)若(I)中圆的半径 r0 经过点 π,0 ,
因此 πω=kπ,k∈N∗ ,得 ω=k,k∈N∗ ,
即 ω 只能为整数,排除选项 A . C ;
当 ω=2 时,作出 y=sinα 与 y=sin2x 在 0,2π 上的图象:

由图象可得: y=sinx 与 y=sin2x 的图象在 0.2π 上有 5 个公共点,满足题意；
当 ω=3 时,作出 y=sinx 与 y=sin3x 在 0,2π 上的图象: 由图象可得: y=sinx 与 y=sin3x 的图象在 0,2π 上有 7 个公共点,不满足题意. 8. A 【解析】因为 fx 为偶函数,则 fx=f−x ①.

对两边求导得, f′x=−f′−x ②,
在 fx+f′x=2ex ③中,用 −x 代替 x 得 f−x+f′−x=2e−x ④,
由①②④可得, fx−f′x=2e−x ⑤.
联立③ ⑤ 得, fx=ex+e−x .
则 kfx−ex≤x 化简为 k≤xex ,
令 gx=xex ,则 g′x=x+1ex ,
由 g′x>0 得 x>−1 ; 由 g′x0 ,
构建 ℎx=ex−1x,x>0 ,
因为 y=ex,y=−1x 在 0,+∞ 上单调递增,则 ℎx 在 0,+∞ 上单调递增,
且 ℎ12=e−20 ,
可知 ℎx 在 0,+∞ 上存在唯一零点 x0∈12,1,er−1x0=0 , 11 分
当 0