湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

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长郡中学 2025 年 12 月高一学情检测卷数学
时量:120 分仲满分：150 分
(考试范围：必修第一册第 1 章~第 4 章 4.4)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1 已知集合 ，集合 ，则 （）
B. C. D.
命题“”的否定形式是（）
B.
C.D.
函数的图象大致为（）
AB.
C.D.
函数的定义域为（）
A.B.
C.D.
已知，那么是的（）
充分不必要条件
必要不充分条件C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
已知函数
在上是增函数，
关于 y 轴对称，若
成立，则实
数 t取值范围是（）
A.B.
C.D.
若实数 ， ，满足，则 ， ，大小关系不可能是（）
B.C. D.
已知函数，若当 时，，则实数 a 的取值范围是（）
A.B.
C.D.
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法中，正确 是（）
若 ，则
C. 若，则
已知实数 都是正数，且满足
的最大值为
C.的最小值为
若 ，则
D. 若 ，则
，则下列说法正确的是（）
B. 的最小值
D.的最大值为
设函数 和 是定义在上的非常数函数，
，则下列说法正确的是（
​
.且对任意
）
，都有
若为非零函数，则
为奇函数
若，则
若 为奇函数且在上单调递增，则 对任意 成立
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知幂函数的图象经过点，则.
计算：.
已知函数，若关于 x 的方程有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合 .
（1）当 时，求；
（2）若 ，求实数 a 的取值范围.
已知关于 的不等式.
若不等式的解集为 ，求实数的值；
若不等式对任意实数 恒成立，求实数的取值范围.
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为 ，双曲余弦函数为 ，已知这两个最基本的双曲函数的定义域为 R，且具有如下性质：① 为奇函数， 为偶函数；②
(常数 e 是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：
求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
设函数，若在 R 上的最小值为 6，求实数 a 的值.
已知 ，且 恒成立，当 时等号成立， .
证明：，并说明取等号的条件；
证明，；
已知 满足， 满足，比较与的大小.
给定函数，对于任意
.函数
表示中的最大者.记为
.函数表示中的最小者.记为.
用解析式表示
证明：
设
，并求出
的解集；
；
，若对任意.都有，求实数
的取值范围.
长郡中学 2025 年 12 月高一学情检测卷数学
时量:120 分仲满分：150 分
(考试范围：必修第一册第 1 章~第 4 章 4.4)
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
已知集合，集合 ，则 （）
B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】由交集运算即可求解.
【详解】由集合 ，集合 ，则 ，
故选：C
命题“
A.
C.
【答案】D
”的否定形式是（）
B.
D.
【解析】
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题求解.
【详解】命题“ ”，其否定为： .
故选：D
函数的图象大致为（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由函数奇偶性和特殊点函数值即可判断.
【详解】函数定义域为，
又，
所以函数为奇函数，排除 BC，又，排除 D，
故选：A
函数的定义域为（）
A.B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数型函数的真数大于 0 求解.
【详解】令，得，
所以函数的定义域为.
故选：B
已知，那么是的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性可得.
【详解】因为，且在上单调递增，
所以 ，
又 在 R 上单调递减，所以,
所以是的充分条件，
而若，可能
所以 不是
所以是
，此时
的必要条件，
的充分不必要条件.
不存在，
故选：A.
已知函数 在 上是增函数， 关于 y 轴对称，若成立，则实数 t 的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由函数的单调性以及对称性将不等式化简，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为关于 轴对称，则关于对称，
又函数
在是增函数，所以
在是减函数，
由可得，
由函数的单调性以及对称性可得，
即，化简可得，解得 ，
则实数的取值范围是 .
故选：C
若实数 ，，满足，则 ，，的大小关系不可能是（）
B.C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，求出 ，， 的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断
.
，
，
【详解】令
，
.
则
，
，
时，
；
，
，
在同一坐标系中作出函数
由图可知：当
， 的图象，如图：
时，
.
当时， ；当
故 ACD 均有可能，B 不可能成立.
故选：B
已知函数，若当 时，
，则实数 a 的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】当时，
，得，令
，得，再利用对勾函数的单调性求解．
【详解】当 时，，
，
，得
得 ，
得
，
得
，
得
，
由，
得
，又
得
，
，得
，
令
由对勾函数知，在上递增，得，
故
，
得
或
，
故选：A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
下列说法中，正确的是（）
若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用不等式的性质，结合作差法逐项分析判断.
【详解】对于 A，由，得 ，A 正确；
对于 B，由，得，则，B 错误；
对于 C，由，得，则 ，C 正确；
对于 D，由故选：ACD
，得 ，D 正确.
已知实数 都是正数，且满足
的最大值为
C.最小值为
，则下列说法正确的是（）
的最小值
D.的最大值为
【答案】AD
【解析】
【分析】对 A，由
，由
求解；对 B，由消元法化为二次函数求解；对 C，由“1”的代换求解；对 D
求解.
【详解】对于 A：，当且仅当时取等号，
即的最大值是 ，A 正确；
对于 B：，，
当时，取得最小值 ，B 错误；
对于 C：，
当且仅当时取等号，又 ，所以，所以最小值为，C 错误；
对于 D：
所以的最大值为故选：AD.
，当且仅当
，D 正确.
时取等号，
设函数 和 是定义在上的非常数函数，.且对任意 ，都有
，则下列说法正确的是（）
​
若为非零函数，则
为奇函数
若，则
若为奇函数且在上单调递增，则对任意 成立
【答案】ABD
【解析】
【分析】合理的进行赋值，结合已知条件以及奇偶性的定义，分别检验各选项即可判断．
【详解】对于 A，令 ，代入 得
，
因为，所以
，A 正确；
对于 B，若
为非零函数，令，
代入原式：，，
设
，则
，故为奇函数，B 正确；
对于 C，若，令，所以，
令，所以，
令
，
，所以，
所以，所以
，C 错误；
对于 D，若
为奇函数且在 上单调递增，结合，
时， ； 时， ；令，得，
当 时，
当 时，
，故；
，故
；
当时，
，因此对任意 成立，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
已知幂函数 的图象经过点，则.
【答案】2
【解析】
【分析】待定系数法求出 的解析式即可.
【详解】设幂函数，其中为常数，
函数图象经过点 ，因此，有：，
解得： .
所以，幂函数为 .
故.
故答案为：2
计算：.
【答案】4
【解析】
【分析】根据对数的运算法则求值.
【详解】原式
.
故答案为：4
已知函数，若关于 x 的方程有 6 个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围为.
【答案】或
【解析】
【分析】先作出函数的图象，再令 ，则 ，易得
，
和
，且关于 的方程必有两个不等实根，设为，再分
三种情况讨论即可.
【详解】作出函数的图象如图所示，
令
，则
，
若原方程有 6 个不相等的实数根，
则，且关于 的方程必有两个不等实根，设为，
当时，
代入 ，则 ，解得 ，
此时关于 的方程为，解得，满足题意；
当，且时，令，
则函数 因为函数
有两个大于 的不等零点，图象过点，
则，解得，
即
；
当时，因为函数的图象过点，
则，无解，
或
.
综上所述，实数 a 的取值范围为
或
.
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知集合 .
（1）当 时，求；
（2）若 ，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，结合集合补集、交集、并集的定义进行求解即可；
（2）根据子集的运算性质、结合补集的定义进行求解即可.
【小问 1 详解】
当 时， ，
，或
，
， ，
；
【小问 2 详解】
由（1）可知，
当 时，显然
当时，此时
成立，此时
，解得 ，
，解得 ，
要想，只需，而，所以 ，
综上所述：实数 a 的取值范围为.
已知关于 的不等式 .
若不等式的解集为 ，求实数的值；
若不等式对任意实数 恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得方程 的解为 ，再利用韦达定理求解即可；
（2）分 和 两种情况讨论结合根判别式求解即可.
【小问 1 详解】
因为不等式的解集为所以方程
，
的解为，
则，解得；
【小问 2 详解】
当 ，即时，恒成立；
当时，
则，解得 ，
综上所述，实数的取值范围为.
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数(历史上著名的“悬链线问题”与之相关).记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个
最基本的双曲函数的定义域为 R，且具有如下性质：①
为奇函数，为偶函数；②
(常数 e 是自然对数的底数，e=2.71828…).利用上述性质，解决以下问题：
求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；
设函数，若在 R 上的最小值为 6，求实数 a 的值.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用奇函数、偶函数的定义列出方程组求解即得.
（2）由（1）的结论求出 ，利用换元法，结合二次函数并按 分类求出最小值即可.
【小问 1 详解】
依题意，由，得，而为奇函数，为偶函数，
则，由，解得，
所以双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式分别为.
【小问 2 详解】
由（1）知，则，
令，当且仅当 时取等号， ，
，
时，
，则
当 时，函数当
在 上单调递增，
，
，则；
所以实数 a 的值或.
已知，且恒成立，当 时等号成立，.
证明：
，并说明取等号的条件；
证明，；
已知满足， 满足 ，比较与 的大小.
【答案】（1）证明见解析
证明见解析
【解析】
（3）
【分析】（1）由恒成立，得到，两边同时取对数得
即可证明；
（2）由，令的运算即可证明
,则，两侧分别令
；
累加，再利用对数
先根据条件化简得到得到，则可证明
和，构造函数，得到 再化简
.
【小问 1 详解】
证明：由题可知恒成立，所以利用替换 得；
当 时，两边同时取对数得故，当
，当等号成立.
时取等号，
【小问 2 详解】
证明：由（1）知 ，当且仅当 时等号成立，
令
,则
；
所以
；
所以
得证.
【小问 3 详解】
因为，，所以；
又因为
即 ；
，则
；
令
，，所以；
得到
；
，即
，
又因为 为增函数，故代入
又因为 ，所以.
给定函数，对于任意 .函数表示中的最大者.记为
.函数表示中的最小者.记为.
用解析式表示
，并求出
的解集；
证明： ；
设 ，若对任意.都有，求实数 的取值范围.
【答案】（1），
（2）证明见详解（3）
【解析】
【分析】（1）由函数图象可知 的解析式，然后列不等式解得的解集；
由函数的定义即可证明；
由（2）结论，根据
解析式求得函数
，使得函数，然
后分别由函数单调性求出函数
在区间
的值域，根据题意列出不等式即可求得实数 的取
值范围.
【小问 1 详解】
由函数和的图象可知
，
当时， ；当 时， ，解得，
时，
.
∴
∴
.
；当
【小问 2 详解】
当函数 时，
，
∴ 成立，
当函数 时，
，
∴ 成立，
∴ 恒成立.
【小问 3 详解】
，
，
，
，
即
∴ ，
由（2）可知.
当时，
，∴
，
∵
在区间上调递增，所以，
∵ 对任意.都有，即对任意.都有，
∴ 恒成立，令函数
因为函数在 上单调递增，且，
∴
.