湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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1. 若集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
3. 设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
4. 若不等式，，则的取值范围是
A. B. C. D.
5. 若关于x不等式的解集为，则关于x不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
6. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ）
A. 50B. 60C. 70D. 80
8. 设，若不等式恒成立，则实数a取值范围是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 命题“”的否定是“”
B. “”是“”成立的充分不必要条件
C. “”是“”的必要条件
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
10. 若，则下列选项成立的是（ ）
A. B. 若，则
C. 的最小值为D. 若，则
11. 大数据时代，需要对数据库进行检索，检索过程中有时会出现笛卡尔积现象，而笛卡尔积会产生大量数据，对内存、计算资源都会产生巨大压力，为优化检索软件，编程人员需要了解笛卡尔积，两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作与的笛卡尔积，又称直积，记为．即且．关于任意非空集合，下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，，若，则实数的取值范围为__________．
13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人.
14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）设，试比较与的大小；
（2）已知，求证： ．
16. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍.
（1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2025年促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？
17. 已知关于的不等式的解集为，不等式的解集为.
（1）若，求的值；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18. 已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”.
（1）判断：集合是否是“完美集”并说明理由；
（2）、是两个不同正数，且是“完美集”，求证：、至少有一个大于；
（3）若为正整数，求：“完美集”
19. 问题：正实数a，b满足，求最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
（1）若正实数x，y满足，求的最小值；
（2）若实数a，b，x，y满足，求证：；
（3）求代数式的最小值，并求出使得M最小的m的值.