2025-2026学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省福州市连江县九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列标志的平面图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
2.若关于x的方程（m-1）x2+mx-1=0是一元二次方程，则m的取值范围是（ ）
A. m=1B. m≠1C. m≥1D. m≠0
3.已知⊙O的半径为2，点A在⊙O外，OA的长可以是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 4
4.下列抛物线中，对称轴为直线x=1的是（ ）
A. y=x2-1B. y=（x-1）2
C. y=x2+2x+1D. y=（x-1）（x+3）
5.如图，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，连接AC，将△ABC绕点A旋转得到△ADE，且D，E分别为点B，C的对应点.若点C，D，E在同一条直线上，则∠AED的大小是（ ）
A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°
6.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），自变量x与函数值y的部分对应值如表所示.若m是方程ax2+bx+c=0的一个实数根，且1＜m＜2，则下列四个数中，与m最接近的是（ ）
A. 1.18B. 1.28C. 1.38D. 1.48
7.我们知道圆的内接四边形对角互补，反之，若一个四边形ABCD的对角互补，那么这个四边形的四个顶点会在同一个圆上吗？小明已经根据“不在同一条直线上的三个点确定一个圆”作出△ABC的圆心O，再证明点D也在⊙O上.在用反证法证明时，假设结论“点D在⊙O上”不成立，那么点D与圆O的位置关系是（ ）
A. 点D只能在⊙O内B. 点D只能在⊙O外
C. 点D在圆心O或在⊙O外D. 点D在⊙O内或⊙O外
8.在锐角三角形ABC中，∠B=45°.若甲，乙，丙三位同学分别用尺规作该三角形的高CD，作法如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 只有甲对B. 只有乙和丙对C. 只有甲和丙对D. 甲，乙，丙都对
9.在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x2-a的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知实数p,q满足p2+2p-3=0，3q2-2q-1=0，且pq≠1，则的值是（ ）
A. 4B. 12C. 0D. 4或12
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在平面直角坐标系中，点（1，2）点关于原点对称的点的坐标是 .
12.将抛物线y=x2向上平移3个单位长度得到一条新的抛物线，平移后的抛物线解析式为 .
13.如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若P是上一点，则∠BPC的大小是 .
14.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5.将△ABC绕点B旋转得到△A′BC′，其中A′，C′分别为A，C的对应点，若旋转后点C′落在AB边上，连接AA′，则AA′的长是 .
15.电影《南京照相馆》讲述了南京大屠杀期间，一群普通百姓在照相馆避难时意外发现日军暴行罪证，并冒险保存和传递底片以揭露历史真相的动人故事，2025年7月25日首映，一上映就获得全国人民的追捧.据某平台统计，该电影上映后，第一天的票房收入约0.60亿元，到了第三天，累计票房收入达4.18亿元，求开始上映到第三天票房的日平均增长率.若设票房的日平均增长率x,则符合题意的方程是 .
16.如图，在半圆O中，直径AB长为12，C，D是半圆O上的两点，将沿弦CD翻折，若翻折后的所在的圆与AB所在的直线相切，则弦CD长的取值范围是 .
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：x（2x+1）=4x+2
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+mx+m-1=0，求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根.
19.(本小题8分)
连江丹阳贝里溪蟹谷景区有一排圆形拱门，其底端恰好与水平地面相切，如图1所示.小明同学只用了一把1米长的直尺AB，用如图2所示的测量示意图测量并计算出圆形拱门的直径，他具体的测量方式是：先将直尺AB水平放在圆形拱门内，取直尺AB的中点C，定位后测量点C到圆的最低点D的距离为0.1米，根据圆的相关性质可知圆心O，AB中点C，最低点D在同一条直线上.请结合以上信息与示意图，求出圆形拱门的直径.
20.(本小题8分)
如图，在9×11的正方形网格中，A，B，C均为格点（即每个小正方形的顶点）.将△ABC绕一点P旋转得到△DEF，其中D，E分别为A，B的对应点，且D，E也为格点.
（1）请在网格中标出旋转中心P，并补全△DEF；
（2）在（1）的条件下，连接PA，PB，PD，PE，求证：∠PBA=∠PED.
21.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2-4ax+c.
（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画该二次函数的图象；
（2）根据图象回答：
①方程ax2-4ax+c=0的两个解是x1= ______，x2= ______；
②当1＜x≤4时，函数值y的取值范围是______.
22.(本小题10分)
如图1，三角形ABC内接于⊙O，点D在上，且，连接DA，DC，E为BA延长线上一点，且DE=DC.
（1）求证：∠DEA=∠DCB；
（2）如图2，当直线DE与⊙O相切时，求证：∠DCA+2∠CAB=180°.
23.(本小题10分)
阅读下列材料，并完成相应任务：
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系xOy中，A为第一象限内一点，P为x轴正半轴上一点，∠AOP=60°，且AP的最小值为.将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ.
（1）求点A的坐标；
（2）已知x轴上存在一定点B（8，0），满足不论点P在x轴正半轴的何处，都有∠ABQ的大小不变.
①求∠ABQ的大小；
②在数学活动课上，我们探究了圆的内接四边形对角互补的逆命题是真命题，基于这一活动结论，解决下列问题.若OP＜AP，且△AOP的三边长均为整数，求点B与△APQ外心间的距离.
25.(本小题14分)
已知抛物线y=ax2+bx+c（ac≠0）的顶点A在x轴上，且过点B（c,c）.
（1）求b的值；
（2）若c＞0，P（n+2，y1），Q（c-n,y2）为抛物线上两点（点P在点Q左侧）.
①求证：y2＞y1；
②若直线PQ与x轴夹角为45°，求n的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】（-1，-2）
12.【答案】y=x2+3
13.【答案】45°
14.【答案】
15.【答案】0.60+0.60（1+x）+0.60（1+x）2=4.18
16.【答案】6≤CD≤6
17.【答案】解：x（2x+1）=4x+2，
x（2x+1）-2（2x+1）=0，
（2x+1）（x-2）=0，
2x+1=0，x-2=0，
x1=-，x2=2．
18.【答案】证明：由题意可知：Δ=m2-4（m-1）=（m-2）2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根．
19.【答案】圆形拱门的直径为2.6米．
20.【答案】（1） （2）证明：由旋转得，PA=PD，PB=PE，AB=DE，
∴△ABP≌△DEP（SSS），
∴∠PBA=∠PED
21.【答案】0;3 1;3;-1≤x≤3
22.【答案】（1）∵，
∴DA=DC，
∵DE=DC，
∴DA=DE，
∴∠DEA=∠DAE，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCB+∠DAB=180°，
∴∠DAE=∠DCB，
∴∠DEA=∠DCB （2）如图2，连接OD，
∵直线DE与⊙O相切，
∴DE⊥OD，
∵OD平分，
∴OD⊥AC，
∴DE∥AC，
∴∠DEA=∠CAB，
∴∠DAE=∠CAB，
∵∠DAC+∠DAE+∠CAB=180°，且∠DAC=∠DCA，
∴∠DCA+2∠CAB=180°
23.【答案】（1）y=-0.4（x-2）2+3.6 （2）
24.【答案】（1）A（4，4） （2）①60°；②为
25.【答案】（1）b=-4 （2）①∵b2=4ac，ac≠0，
∴ac＞0，
∵c＞0，
∴a＞0，
∵P（n+2，y），Q（c-n，y2）为抛物线y=ax2+bx+c上的两点，
∴y1=a（n+2）2+b（n+2）+c，y2=a（c-n）2+b（c-n）+c，
∴y2-y1=a（c-n）2+b（c-n）-a（n+2）2-b（n+2）
= a[（c-n）+（n+2）][（c-n）-（n+2）]+b[（c-n）-（n+2）]
= a[（c+2）（c-2n-2）]+b（c-2n-2）
=（c-2n-2）（ac+2a+b），
∵ac+b=0，
∴y2-y1=2a（c-2n-2），
∵点P（n+2，y1）在点Q（c-n，y2）的左侧，
∴c-n＞n+2，即c-2n-2＞0，
∴y2-y1=2a（c-2n-2）＞0，
即y2＞y1
②n＜3 x
…
1.2
1.3
1.4
1.5
…
y
…
-0.96
-0.41
0.16
0.75
…
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
3
0
-1
______
______
…
项目主题
喷泉步行通道的设计布局与调整
素材1
某公园计划建造一条配有喷泉的步行通道.图1是设计的俯视示意图：通道左侧布置了一排垂直于路面的柱形喷水装置，右侧为长方形水池.设计要求水流从喷口斜向上射入水池，且落水点必须位于水池之内.若不考虑空气阻力，水流的运动轨迹可视为抛物线的一部分.图2展示了水流喷射轨迹的主视示意图.
素材2
相关建筑数据测量与喷泉水流设计数据如下：
描述
数值
喷口A离地面的高度
2米
水池边缘的池壁高度BE，CF
0.8米
水池的宽度BC
1.5米
水流达到的最高点P的高度
3.6米
水流达到的最高点P与喷口A的水平距离
2米
步道宽度OB
t米
任务一：建立函数模型
（1）以喷口A在水平地面上的垂直投影点O为原点，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，建立坐标系.请求出此次设计中，水流高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式.
任务二：优化设计位置
（2）为避免水流溅射到行人，要求水流在步行通道正上方的任意位置与地面的距离均不小于2米，且水流必须落在水池内.在只调整t的大小，但不改变喷口高度与抛物线形状的前提下，确定t的取值范围.