2025-2026学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省福州市连江县八年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下面四幅作品分别代表“立春”、芒种”、“白露”、“大雪”四个节气，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做所蕴含的数学原理是（ ）
A. 三角形的稳定性
B. 两点确定一条直线
C. 垂线段最短
D. 两点之间线段最短
3.已知三角形的两边长分别为3和6，则第三边长可能是（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 2
4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下列与∠B互余的角有（ ）
A. ∠C
B. ∠BAD
C. ∠C和∠CAD
D. ∠C和∠BAD
5.小明不慎将一块三角形的玻璃碎成如图所示的四块（图中所标①、②、③、④），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来大小一样的三角形玻璃？应该带（ ）去.
A. 第①块B. 第②块C. 第③块D. 第④块
6.把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干三角形，叫做多边形的三角剖分.通过探究一个四边形、五边形、六边形的三角剖分成的三角形个数与边数的关系，试猜想将一个n边形进行三角剖分，则能剖分成的三角形个数是（ ）
A. nB. n-1C. n-2D. n-3
7.已知点A（3，a）与B（b,1）关于y轴对称，则a+b的值为（ ）
A. -2B. 2C. -4D. 4
8.公园内三条小路两两相交，交点分别为点A，B，C，若要在△ABC区域内修建一座到三条小路的距离相等的凉亭，则凉亭的位置应建在（ ）
A. △ABC的三条高线的交点
B. △ABC的三条角平分线的交点
C. △ABC的三条中线的交点
D. △ABC的三边垂直平分线的交点
9.如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，若△ABC的面积为30，则四边形AFGE的面积是（ ）
A. 6
B. 10
C. 12
D. 15
10.如图，把长方形纸片ABCD沿BD折叠，点C落到点E处，AD与BE相交于点F，连接AE，则下列结论中错误的是（ ）
A. ∠ABE=∠DBE
B. BF=DF
C. △ABF≌△EDF
D. AE∥BD
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.如图，在△ABC中，∠B=37°，∠C=95°，点O在边BA的延长线上，则∠OAC的度数是 .
12.一个等腰三角形的一个底角为40°，则它的顶角的度数是______度．
13.如图，点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA，垂足为D，且PD=5，点E是边OB上任意一点，则线段PE的最小值是 .
14.如图，∠BAC=∠DAC，只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC.这个条件可以是 .（写出一个即可）
15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别在AC、AB边上，且AE=CD，BD与CE交于点G，则∠BGC的度数为 .
16.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，过点D作直线分别交AB，AC于点E，F，且DE=DF，若BE=8cm,CF=2cm,BC=14cm,则△AEF的周长为 cm.
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°.求∠DAC和∠BOA的度数.
18.(本小题8分)
如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE=BF．求证：AE=DF．
19.(本小题8分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC，△A1B1C1的顶点都在网格线的交点上，在图中建立平面直角坐标系xOy,使△ABC与△A1B1C1关于y轴对称，且点C的坐标为（-1，1）.
（1）在图中画出平面直角坐标系xOy,并写出点A1的坐标；
（2）画出△A1B1C1关于x轴对称的图形△A2B2C2，其中点A1的对称点是A2，点B1的对称点是B2，并写出点A2的坐标；
（3）观察两次对称变换后点A与点A2坐标之间的关系，若△ABC内任意一点P的坐标为（a,b），则点P在△A2B2C2中的对应点P2的坐标是______.
20.(本小题8分)
如图，海岸线l上有两个的观察点A，B，点B在点A的正东方向，AB=10km,从观察点A，B望海岛C，测得海岛C分别在点A的北偏东75°和点B的北偏东60°的方向上，求海岛C到A，B观察点所在海岸线l的距离.
21.(本小题8分)
求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
（要求：请结合图形补全求证内容，并写出证明过程）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是分别∠ABC和∠ACB的平分线.
求证：______.
证明：
22.(本小题10分)
如图，在△ABC中，AC=BC，点O是边BC延长线上一点.
（1）①过点C作直线CD∥AB，②过点C作CE⊥CD，交AB于点E；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，在线段CE延长线上取一点F，使CE=EF，连接BF，求证：BF∥AC.
23.(本小题10分)
在综合与实践活动课上，我们探究了最短路径问题——牧民饮马和造桥选址问题，这些问题就是利用轴对称、平移等相关知识确定最短路径，建立数学模型，并运用数学模型解决最短路径问题.
【理解模型】
（1）如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
下面给出的画图和证明方法，请你补全证明过程所缺的内容或理由：
如图2，画点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点C，此时牧民到河边C处饮马，所走的路程最短.
证明：如图3，在直线l上另取任一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，
根据轴对称性质，得CB=CB′，C′B=______①，
∴AC+CB=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=AC′+C′B′
∵AB′＜AC′+C′B′（②______）
∴AC+CB＜AC′+C′B，即AC+CB最短路径.
【应用模型】
（2）如图4，某景区内有两条相交的笔直小路l1，l2，它们相交所夹的角区域内有一处古迹A，现计划在区域内修建三条步道，连通古迹A，小路l1，l2，步道与小路l1，l2的连接点分别为C，D，那么点C，D的位置应建在何处，才能使所建的步道总长度（AC+CD+AD）最短？请在图4中画出C，D两点与所建步道的最短路线.（要求：保留画图痕迹，写出结论）
【迁移延伸】
（3）如图5，某景区内有一块三角形ABC草坪，∠C=90°，∠A=60°，AC=50m,BC=50m,点D为边AB的中点，小明从A点出发，先到边BC上某一点E，再到D点，最后回到A点，如何确定BC上点E的位置，才能使所走的路径（AE+ED+DA）最短？并求出最短路径的长.
24.(本小题12分)
如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC交AC于点D，∠BDE=90°，且DB=DE，BC与DE相交于点O，过E作EF⊥AC交AC的延长线于点F.
（1）求证：△ABD≌△FDE；
（2）连接BE，EC，且EC=5，如图2.
①求证：△CEF是等腰直角三角形；
②求△BOE的面积.
25.(本小题14分)
已知，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=120°，BD⊥AC，垂足为D，点E在边AC上，以线段BE为边作等边三角形BEF（点F在边BE的左侧）.
（1）当线段BE平分∠ABD时，如图1.求证：AB垂直平分线段EF；
（2）当点E为线段DC的中点时，若点K为线段BC的中点，连接KE，DK，DF，如图2.求证：DK=2DF；
（3）当点E在线段AD上，且30°＜∠DBE＜60°时，若点H为线段AB的中点连接DH，并延长交EF于点G，如图3.求证：FG=EG.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】132°
12.【答案】100
13.【答案】5
14.【答案】AB=AD（答案不唯一）
15.【答案】60
16.【答案】24
17.【答案】解：∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∵∠C=70°,
∴∠DAC=180°-90°-70°=20°；
∵∠BAC=50°，∠C=70°,
∴∠ABC=60°,
∵AE是∠BAC的角平分线,
∴∠BAO=∠BAC=25°，
∵BF是∠ABC的角平分线,
∴∠ABO=​​​​​​​∠ABC=30°,
∴∠BOA=180°-∠BAO-∠ABO=180°-25°-30°=125°．
18.【答案】证明：∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴∠DFC=∠AEB=90°，
又∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE，
∵AB=CD，
∴Rt△DFC≌Rt△AEB（HL），
∴AE=DF．
19.【答案】（1）平面直角坐标系如图所示，A1（2，4）; （2）如图，△A2B2C2即为所求，点A2的坐标（2，-4） （-a,-b）
20.【答案】5km．
21.【答案】CE=BD
22.【答案】（1） （2）证明：∵AC=BC，
∴△ABC的等腰三角形．
∵CE⊥CD，CD∥AB，
∴CE⊥AB，
∴∠ACE=∠BCE．
∵CE=EF，AB⊥CE，
∴BE垂直平分线段CF，
∴BC=BF，
∴∠F=∠BCE，
∴∠F=∠ACE，
∴BF∥AC
23.【答案】C′B′;三角形的两边之和大于第三边 （2）

AC+CD+AD最短为MN的长 （3）（50√3+50）m
24.【答案】（1）证明：∵EF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠BAC=∠DFE=90°，
∴∠ADB+∠ABD=90°，
∵∠BDE==90°，
∴∠ADB+∠FDE=90°，
∴∠ABD=∠FDE，
在△ABD和△FDE中，
，
∴△ABD≌△FDE（AAS） （2）①证明：由（1）得，△ABD≌△FDE，
∴AB=DF，AD=EF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∴AD+CD=CF+CD，
∴AD=FC=FB，
又∵∠CFE=90°，
∴△CEF是等腰三角形;②25
25.【答案】∵BA=BC，∠ABC=120°，BD⊥AC，
∴，∠A=∠C=30°，∠BDA=∠BDC=90°，
∵线段BE平分∠ABD，
∴，
∵△BEF是等边三角形
∴BE=BF，∠EBF=60°，
∴∠ABF=∠EBF-∠ABE=60°-30°=30°，
∴∠ABF=∠ABE，
∴AB垂直平分线段EF；
由 知，∠BDC=90°，∠CBD=60°，∠C=30°，
∴在Rt△BDC中，，
∵点K为边BC的中点，
∴，
∴△DBK是等边三角形，
∴DK=BK=KC，
点E是DC中点，
∴KE⊥CD，
∴∠CEK=90°，
在Rt△EDC中，∠C=30°，
∴，
∵△BEF是等边三角形，
∴BF=BE，∠FBE=60°，
∴∠FBD=∠FBE-∠DBE=60°-∠DBE，
又∵∠EBK=∠DBK-∠DBE=60°-∠DBE，
∴∠FBD=∠EBK，
∴△BDF≌△BKE（SAS），
∴，
即DK=2DF；
在DG上截取DM=GH，连接EM，FH，

∵点H为AB中点，
∴，
在Rt△ABD中，∠A=30°，
∴，
又∵∠ABD=60°，
∴△BDH是等边三角形，
∴∠∴BDH=∠BHD=60°，
∵△BEF是等边三角形，
∴BE=BF，∠FBE=60°，
∵∠EBD=∠ABD-∠ABE=60°-∠ABE，
∠FBH=∠FBE-∠ABE=60°-∠ABE，
∴∠EBD=∠FBH，
∴△FBH≌△EBD（SAS），
∴FH=ED，∠BHF=∠BDE=90°，
∴∠EDM=∠BDE-∠BDH=90°-60°=30°，
∴∠FHG=180°-∠BHF-∠AHG
=180°-∠BHF-∠BHD
=180°-90°-60°
=30°，
∴∠EDM=∠FHG，
∴△DME≌△GHF（ASA），
∴EM=FG，∠FGH=∠EMD，
∵∠EGM=180°-∠FGH，∠EMG=180°-∠EMD，
∴∠EGM=∠EMG，
∴EG=EM，
∴EG=FG