初中数学平行线的性质课堂检测

这是一份初中数学平行线的性质课堂检测，文件包含专题24平行线的性质与判定中的常用辅助线北师大版2024原卷版docx、专题24平行线的性质与判定中的常用辅助线北师大版2024解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共66页， 欢迎下载使用。
【题型1 过拐点作平行线】
1．（24-25七年级·安徽合肥·期末）如图，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度数．
【答案】55°
【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，由平行线的性质可得∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE，代入数据计算即可得解．
【详解】解：如答图，过点E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE．
∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，
∴∠BEF=180°−∠ABE=30°，∠DEF=∠CDE=85°，
∴∠BED=∠DEF−∠BEF=55°．
2．（23-24七年级·广东东莞·阶段练习）如图，是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西45°方向．
(1)求∠ABC的度数；
(2)求∠ACB的度数．
【答案】(1)∠ABC=55°
(2)∠ACB=95°
【分析】本题考查方向角，平行线的性质，理解方向角的意义以及平行线的性质是正确解答的前提．
（1）根据方向角和平行线的性质，求出∠EBA=100°即可；
（2）根据平行线的性质可得∠ACB=∠DAC+∠EBC=50°+45°=95°．
【详解】（1）解：由题意可知，∠DAC=50°，∠DAB=80°，∠EBC=45°，
∵DA∥BE，
∴∠DAB+∠EBA=180°，
∴∠EBA=180°−80°=100°，
∴∠ABC=∠EBA−∠EBC=100°−45°=55°；
（2）解：过点C作CF∥DA，
∵DA∥BE，
∴CF∥BE，
∴∠ACF=∠DAC，∠BCF=∠EBC，
∴∠ACB=∠DAC+∠EBC=50°+45°=95°．
3．（23-24七年级·重庆·阶段练习）如图，已知AB∥CD，∠A+∠1=180°．
(1)求证：AE∥BD；
(2)若∠E=80°，∠ABD的角平分线BF与∠CDE的角平分线DF交于点F，BF与CD交于点M，∠1=116°，求∠F的度数．
【答案】(1)见解析
(2)40°
【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）先由平行线的性质，得出∠A+∠2=180°，再进行角的等量代换，得∠2=∠1，即可作答．
（2）过点F作直线l∥CD，得∠1=∠ABD=116°，结合角平分线的定义，得∠BFG=58°，∠4=18°，再通过角的差运算，即可作答．
【详解】（1）解：如图：
∵AB∥CD
∴∠A+∠2=180°
∵∠A+∠1=180°
∴∠2=∠1
∴AE∥BD；
（2）解：如图：过点F作直线l∥CD，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥l，
∴∠1=∠ABD=116°，
∵BF平分∠ABD，
∴∠BFG=∠ABF=12∠ABD=58°，
∵AE∥BD，∠E=80°，
∴∠EDB=180°−∠E=100°，
∵∠CDB=180°−116°=64°，
∴∠CDE=∠BDE−∠CDB=100°−64°=36°，
∵FD平分∠CDE，
∴∠4=∠5=12×36°=18°，
∵AB∥CD∥l，
∴∠3=∠4=18°，
∴∠BFD=∠BFG−∠3=58°−18°=40°．
4．（23-24七年级·全国·期末）探究：如图①，AB∥DE，试问∠B、∠E、∠BCE有什么关系．下面给出了这道题的解题过程，请你完成下列填空：
解：如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠1（ ）．
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴ （ ），
∴∠E=∠2（ ），
∴∠B＋∠E=∠1＋∠2，
即 ；
应用：如图②，直线l1∥l2，AB⊥l1，垂足为O，BC与l2相交于点E，若∠1=30°，求∠OBE的度数；
拓展：如图③，AB∥EF，BC⊥CD于点C，∠ABC=30°，∠DEF=45°，则∠CDE= ．
【答案】探究：两直线平行，内错角相等；DE∥CF；同平行于一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等；∠BCE=∠B＋∠E 应用：120° 拓展：105°
【分析】本题考查平行线的性质，，熟练掌握平行线的性质是关键．
探究：过点C作CF∥AB，可以得到AB∥DE∥CF，然后得到∠E=∠2，∠B=∠1即可解题；
应用：根据垂直的定义得到∠DOB=90°，然后根据对顶角相等得到∠BEG=∠1=30°，然后利用探究结论解题；
拓展：过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，得到∠ABC=∠BCG=30°，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠DEF=45°，然后根据角的和差解题即可．
【详解】探究：解：如图①，过点C作CF∥AB，
∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）．
又∵AB∥DE，AB∥CF，
∴DE∥CF（同平行于一条直线的两条直线互相平行），
∴∠E=∠2（两直线平行，内错角相等），
∴∠B＋∠E=∠1＋∠2，
即∠BCE=∠B＋∠E；
应用：∵AB⊥l1，
∴∠DOB=90°，
又∵∠1=30°，
∴∠BEG=∠1=30°，
根据探究结论可得：∠ABE=∠DOB+∠BEG=90°+30°=120°；
拓展：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，
又∵AB∥EF，
∴AB∥CG∥DH∥EF，
∴∠ABC=∠BCG=30°，∠GCD=∠CDH，∠HDE=∠DEF=45°，
∵BC⊥CD，
∴∠BCD=90°，
∴∠GCD=∠CDH=90°−∠BCG=90°−30°=60°，
∴∠CDE=∠CDH+∠EDH=60°+45°=105°，
故答案为：105°．
5．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：AB∥CD，点E在直线AB、CD之间，连接EA、EC．

(1)如图1，若∠A=80°，∠C=50°，求∠AEC的度数；
(2)如图2，若AF平分∠BAE，CF平分∠DCE交AF于点F，直接写出∠AEC和∠AFC之间的数量关系∠AEC=________；
(3)如图3，在（2）的条件下，延长AE交DC于点G，在AG上取一点K，连接FK交CD于点H，CL⊥AF，若∠CEG=50°，∠AFK=∠CHF．求∠GKH．
【答案】(1)130度
(2)2∠AFC
(3)30度
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
（1）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据两直线平行，内错角相等，求得∠GEA=80°，∠GEC=50°，即可得到∠AEC的度数；
（2）过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，根据两直线平行，内错角相等，得出∠AEG=∠EAB，∠CEG=∠ECD，则可得出∠AEC=∠EAB+∠ECD，同理可得∠F=∠FAB+∠FCD，然后结合角平分线定义即可得出结论；
（3）由（2）可求∠AFC=12∠AEC=65°， ∠LCF=25°，设∠CFK=α，∠K=β，∠BAF=∠EAF=x，∠ECF=∠FCD=y，则∠AFK=∠CHF=65°+α，在△CFH中，根据三角形内角和定理可得出x+2α=115°，由（2）知：∠AFC=∠BAF+∠FCD，则x+y=65°，根据三角形外角的性质可得出∠AOF=α+β=75°，则可求出α+β+x+y=140°，根据三角形内角和定理并结合∠AFK=∠CHF可得出α+x=β+y，进而求出α+x=70°，代入x+2α=115°，可求出α=45°，β=30°，即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，
∴∠GEA=∠A，∠GEC=∠C，
∵∠A=80°，∠C=50°，
∴∠GEA=80°，∠GEC=50°，
∴∠AEC=∠GEA+∠GEC=130°；
（2）解：如图，过点E作EG∥AB，则AB∥CD∥EG，
∴∠GEA=∠BAE，∠GEC=∠ECD，
∴∠AEC=∠GEA+∠GEC=∠BAE+∠DCE，
同理∠F=∠FAB+∠FCD，
∵ AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，
∴∠FAB=12∠EAB，∠FCD=12∠ECD，
∴∠F=12∠EAB+12∠ECD=12∠EAB+∠ECD=12∠AEC，
∴∠AEC=2∠AFC，
故答案为：∠AFC；
（3）解：∵ ∠CEG=50°，
∴∠AEC=130°，
由（2）知： ∠AFC=12∠AEC=65°，
又CL⊥AF，
∴ ∠CLF=90°，
∴ ∠LCF=25°，
∴设∠CFK=α，∠K=β，∠BAF=∠EAF=x，∠ECF=∠FCD=y，则∠AFK=∠CHF=65°+α，
在△CFH中，∠FCH+∠CFH+∠CHF=180°，
∴ x+α+α+65°=180°，
∴ x+2α=115°，
由（2）知：∠AFC=∠BAF+∠FCD，
∴ x+y=65°，
如图，
∵ ∠AOF=∠ECO+∠CEO=∠OFK+∠K，
∴ α+β=25°+50°=75°，
∴ α+β+x+y=140°，
∵∠AFK=∠CHF，
∴ ∠FAK+∠K=∠FCH+∠CFH，即α+x=β+y，
∴ α+x=70°，
把α+x=70°代入x+2α=115°，得70°+α=115°，
∴ α=45°，
∴ ∠K=β=30°．
6．（24-25七年级·黑龙江哈尔滨·期中）已知：BE平分∠ABD，∠BED=∠DBE （本题不能直接用三角形内角和）
(1)如图1， 求证：AB∥DE；
(2)如图2， 点K、F分别在BE、BD 的延长线上， 点C在线段DE上， 且满足∠FCD=∠FCK，求证：∠F+∠ABD+∠FCK=180°；
(3)如图3， 在（2）的条件下，∠F−∠K=15°，且DN平分∠CDF，求 ∠FND的度数．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)115°
【分析】（1）由角平分线的定义可得∠ABE=∠DBE，等量代换得出∠ABE=∠BED，根据内错角相等、两直线平行，可得结论；
（2）过点F作MN∥DE，则MN∥AB，由平行线的性质得出∠NFD=∠ABD，∠MFC=∠FCD，等量代换可得结论；
（3）作CH∥BE，MN∥DE，由平行线的性质推出∠CDN=∠ECK+∠K，设∠FCD=∠FCK=α，则∠ECK=180°−2α，进而得出∠FND=180°−α+∠K，结合（2）中结论得出∠F+2180°−2α+∠K+α=180°，将∠F−∠K=15°代入，可得α−∠K=65°，进而可得∠FND=180°−α+∠K=115°．
【详解】（1）证明：∵ BE平分∠ABD，
∴ ∠ABE=∠DBE，
∵ ∠BED=∠DBE，
∴ ∠ABE=∠BED，
∴ AB∥DE；
（2）证明：如图，过点F作MN∥DE，
∵ MN∥DE，AB∥DE，
∴ MN∥AB，
∴ ∠NFD=∠ABD，
∵ MN∥DE，
∴ ∠MFC=∠FCD，
又∵ ∠FCD=∠FCK，
∴ ∠CFD+∠ABD+∠FCK=∠CFD+NFD+MFC=180°，
即∠F+∠ABD+∠FCK=180°；
（3）解：如图，作CH∥BE，MN∥DE，
由（1）知AB∥DE，
∴ ∠ABD=∠CDF，
∵ BE平分∠ABD，DN平分∠CDF，
∴ ∠ABE=∠DBE=12∠ABD，∠FDN=∠CDN=12∠CDF，
∴ ∠DBE=∠CDN，
又∵ ∠BED=∠DBE，
∴ ∠BED=∠CDN，
∴ DN∥BE，
∴ CH∥DN；
∵ CH∥BE，
∴ ∠K=∠KCH，
∵ CH∥DN，
∴ ∠CDN=∠ECH=∠ECK+∠KCH=∠ECK+∠K，
设∠FCD=∠FCK=α，则∠ECK=180°−2α，
∴ ∠CDN=180°−2α+∠K，
∵ MN∥DE，
∴ ∠MND=∠CDN=180°−2α+∠K，∠MNF=∠FCD=α，
∴ ∠FND=∠MNF+∠MND=α+180°−2α+∠K=180°−α+∠K；
由（2）知∠F+∠ABD+∠FCK=180°，
∴ ∠F+∠CDF+∠FCK=∠F+2∠CDN+∠FCK=180°，
即∠F+2180°−2α+∠K+α=180°，
又∵ ∠F−∠K=15°，
∴ ∠K+15°+360°−4α+2∠K+α=180°，
整理得α−∠K=65°，
∴ ∠FND=180°−α+∠K=180°−α−∠K=180°−65°=115°．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差关系，第3问难度较大，解题的关键是正确作出辅助线，利用平行线的性质熟练进行等量代换．
7．（24-25七年级·上海·期中）对于平面内的∠M和∠N，若存在一个常数k>0，使得∠M+k∠N=360°，则称∠N为∠M的k系补周角．如若∠M=90°，N=45°，则∠N为∠M的6系补周角．
(1)若∠H=110°，则∠H的4系补周角的度数为______
(2)在平面内AB∥CD，点E是平面内一点，连接BE,DE．
①如图1，∠D=70°，若∠B是∠E的3系补周角，求∠B的度数．
②如图2，∠ABE和∠CDE均为钝角，点F在点E的右侧，且满足∠ABF=∠ABEn，∠CDF=∠CDEn（其中n为常数且n