四川省绵阳市三台中学2025届高三下学期模拟考试（二）数学试题（Word版附解析）

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说明：
1.考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分.
2.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规
定区域填写，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写.
3.考试结束后，只交回答题卡即可.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 若命题“ ”的否定是真命题，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 已知点 ，点 在 所在平面内，且满足 ，则 在
上的投影向量为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，把边长为 4 的正方形纸片 沿着对角线 折成直二面角， 分别为 的中点，
则点 到直线 的距离为（ ）
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A 2 B. C. D.
7. 已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点，点 P，Q 是 C 上位于 x 轴上方的任意
两点，且 ．若 ，则 C 的离心率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 记锐角三角形 的内角 所对的边分别为 ，已知 ， ，则 的取值范围
是（ ）
A B. C. D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 某研究所研究耕种深度 （单位： ）与水稻每公顷产量 （单位： ）的关系，所得数据资料如下表：
耕 种 深 度
8 10 12 14 16
每公顷产量
6.0 7.5 7.8 9.2 9.5
经计算可知每公顷产量 与耕种深度 的线性回归方程为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 每公顷产量与耕种深度呈负相关 B. 耕种深度的平均数为 12
C. 每公顷产量的平均数为 7.8 D.
10. 已知 是等差数列 的前 项和， ， ，则（ ）
A. B.
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C. 当 时， 取最大值 D. 最小值是 0
11. 在棱长为 的正方体 中，点 E， F 分别是棱 BC 的中点，下列选项中正确
的是（ ）
A. 直线 EF 与 所成 角为
B. 平面 AEF 截正方体 所得的截面面积为
C. 若点 P 满足 其中 则三棱锥 的体积为定值
D. 以 为球心，4 为半径作一个球，则该球面与三棱锥 表面相交的交线长为
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 函数 的最小值为_________.
13. 已知向量 ， ，且 ，则 __________.
14. 已知函数 的导函数 满足： ，且 ，当 时，
恒成立，则实数 a 的取值范围是______________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在 中，角 所对的边分别为 ，且 ， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 边上中线 的长.
16. 已知函数 图象与直线 的两个相邻交点
间的距离为 .
（1）求 的值；
（2）若 ，求函数 的值域.
17. 如图所示，在矩形 ABCD 中， ， ，E 是 CD 的中点，O 为 AE 的中点，以 AE 为折痕将
向上折起，使 D 点折到 P 点，且 ．
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（1）求证： 面 ABCE；
（2）求 AC 与面 PAB 所成角 的正弦值．
18. 已知 a， ， ，
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）设 ，若 在 上有极值，求 b 的取值范围并证明此极值小于 b．
19. 记 与 分别是数列 与 的前 n 项和，已知 ， ， ， ，
.
（1）证明： 是等比数列并求 ；
（2）数列 是等差数列吗？若是，求出 的通项公式，若不是，说明理由；
（3）设 ，判断是否存在互不相等的正整数 j，k，m，使得 j，k，m 成等差数列，并且 ， ，
成等比数列.
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