四川省绵阳市三台县中学2025届高三下学期高考模拟（一）考试数学试题（Word版附解析）

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说明：
1.考试时间 120 分钟，试卷满分 150 分.
2.开考前，请在试卷上和答题卡上都要填写好自己的个人信息，然后用 2B 铅笔在答题卡的规
定区域填写，用 0.5mm 黑色签字笔在答题卡的指定区域书写.
3.考试结束后，只交回答题卡即可.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据补集运算求得 ，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合 ，所以 或 ，
又 ,所以 .
故选：A
2. 已知空间向量 与 共线，则 （ ）
A. -1 B. C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】根据空间向量共线的条件即可得出答案.
【详解】因为空间向量 与 共线，
所以 ，解得 ，所以
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故选：C
3. 已知方程 的两个复数根分别为 ， ，则 （ ）
A. 0 B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】先求出方程的两复数根，然后利用复数模的运算求解即可.
【详解】由 得 ，
可得方程 的两个复数根分别为 ， ，
所以 .
故选：D
4. 若 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得.
【详解】由 ， ，得 ，
反之， 满足 ，而 ，此时 不成立，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
5. 设 为正项等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据等比数列通项基本量的运算求得 ，代入等比数列求和公式求解即可.
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【详解】设等比数列 的公比为 ，∵ ，∴ .
由 得 ，∴ .
故选：C
6. 已知 ，若 成立，则 x 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】确定给定函数的奇偶性及单调性，进而求解不等式.
【详解】函数 的定义域为 R， ，则函数 是奇函数，
而函数 在 R 上都单调递增，则函数 在 R 上单调递增，
不等式 ，则 ，解得 ，
所以 x 的取值范围是 .
故选：A
7. 已知 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【 分 析 】 令 ， 利 用 导 数 研 究 单 调 性 得 ， 进 而 判 断 大 小 ， 令
，利用导数研究单调性得 ，即可比较 大小，进而求解.
【详解】令 ，所以 ，令 有 ，
当 ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以 ，即 ，所以 ，即 ；
令 ，所以 ，当 ，
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所以 在 单调递增，在 单调递减，所以 ，
所以 ，即 ；
综上所述， .
故选：B.
8. 设 A，B 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 AB 中点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点差法分析可得 ，对于 A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；
对于 C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设 ，则 的中点 ，
可得 ，
因为 在双曲线上，则 ，两式相减得 ，
所以 .
对于选项 A： 可得 ，则 ，
联立方程 ，消去 y 得 ，
此时 ，
所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 A 错误；
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对于选项 B：可得 ，则 ，
联立方程 ，消去 y 得 ，
此时 ，
所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 B 错误；
对于选项 C：可得 ，则
由双曲线方程可得 ，则 为双曲线的渐近线，
所以直线 AB 与双曲线没有交点，故 C 错误；
对于选项 D： ，则 ，
联立方程 ，消去 y 得 ，
此时 ，故直线 AB 与双曲线有两个交点，故 D 正确；
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
B. 一组数据 的第 百分位数为
C. 若线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量 ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为 ，则实
数 的值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，根据条件，利用正态分布的对称性，即可求解；对于 B，根据条件直接求出第 百分位
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数，即可求解；对于 C，利用相关系的定义，即可求解；对于 D，利用线性回归方程经过样本中心，即可求
解.
【详解】对于 A，因为 ，又 ，则
，正确，
对于 B，因为 ，所以数据 的第 百分位数为
，错误，
对于 C，因为线性相关系数 越接近 1，则两个变量的线性相关性越强，正确，
对于 D，由题知 ，解得 ，正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 ，其中 ，若 的最小正周期为 ，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 的定义域为
C. 在 上单调递增
D. 若 ，且 ，则 a 最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用正切函数的周期性求得 判断 A；利用正切函数的定义域求解判断 B；利用正切函数的单
调性求解判断 C；利用正切函数的性质解不等式判断 D.
【详解】∵ ，∴ ，∴ ，故 A 错误；
∵ ，∴ ，
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∴ 的定义域为 ，故 B 正确；
由 ，解得 ，
∴ 的单调增区间为 ， ，
时，单调增区间为 ，显然 ，故 C 正确；
由 得 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ 时，a 取最大值为 ，故 D 正确.
故选：BCD
11. 已知 是球 的球面上两点， 为该球面上的动点，球 的半径为 4， ，二面角
的大小为 ，则（ ）
A. 是钝角三角形
B. 直线 与平面 所成角为定值
C. 三棱锥 的体积的最大值为
D. 三棱锥 的外接球的表面积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可得固定平面 ，求出各线段长度，结合圆内接四边形可求得 ，即 A 正
确，利用线面角定义作出其平面角可得 B 正确，由三棱锥锥体体积公式计算可得可判断 C 错误，求得三棱
锥 的外接球的球心位置和半径即可求得 D 正确.
【详解】如下图所示：
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易知 ，由 可得 ；
固定平面 ，由二面角 的大小为 可知 为一个与平面 夹角为 的平面与 的交
点（在 的右侧），
如图中过平面 的虚线形成的劣弧 所示：
取 的中点为 ，作 平面 ，则有 ，
又易知 ，
如下图所示：
在劣弧 上运动，
对于 A，易知 ，因此可得 是钝角三角形，即 A 正确；
对于 B，设直线 与平面 所成的角为 ，
则 ，为定值，即 B 正确；
对于 C，作 ，
易知三棱锥 的体积的最大值为
，即 C 错误；
对于 D，设三棱锥 的外接球的球心为 ，如下图：
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由于 是 的外心，则 平面 ，因此 三点共线，
设 ，
在 中由勾股定理可得 ，解得 ；
因此三棱锥 的外接球的表面积为 ，即 D 正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据题目条件固定平面 ，再根据二面角大小求得线段长度得出
点轨迹，再结合线面角、外接球等进行计算即可.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 的展开式中 的系数是________．（用数字作答）
【答案】
【解析】
【分析】首先分析出存在 有两项，然后分别求出这两项系数，相加即可.
【详解】根据题意, 的项在 的展开式中有两项，
分别为： 和 ，即 和 ，
则 的系数为： .
故答案为： .
13. 一个袋中装有大小质地相同的 9 个小球，其中白球 2 个，红球 3 个，黑球 4 个，现从中不放回地摸球，
每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为__________.
【答案】
【解析】
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【分析】先求前三次中每一次都没有摸到红球的概率，进而得前三次均未摸到红球的概率，利用对立事件
即可求得前三次至少有一次摸到红球的概率.
【详解】袋中有非红球 6 个，则第一次没有摸到红球的概率为 ，
第二次没有摸到红球的概率为 ，第三次没有摸到红球的概率为 ，
所以前三次均未摸到红球的概率为 ，
所以前三次至少有一次摸到红球的概率为 .
故答案为： .
14. 设点 P 在单位圆的内接正八边形 的边 上，则 的取值范围是
_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立
平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
，然后利用 即可解出．
【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 ,
，设 ,于是 ，
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因为 ，所以 ，故 取值范围是
.
故答案为： ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 中角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，设其面积为 ， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，点 在边 上，若 是 的平分线，且 ，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理可求角 ；
（2）利用余弦定理和角平分线的性质建立方程组，结合面积公式可得答案.
【小问 1 详解】
依题意 ，
，因为 ，所以 ．
【小问 2 详解】
中， ， ．①
又 ， ，即 ，②
联立①②得 ， ． ．
16. 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜ )的部分图象如图所示．
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（1）求函数 f(x)的解析式；
（2）如何由函数 y＝sinx 的图象通过相应的平移与伸缩变换得到函数 f(x)的图象，写出变换过程．
【答案】（1）f(x)＝sin ；（2） 答案见解析.
【解析】
【分析】（1）由图像可得 A＝1， ，结合 可求出 的值，然后将点 代入解析式
可求出 的值，从而可求出函数 f(x)的解析式；
（2）利用三角函数图像变换规律求解
【详解】(1)由图像知 A＝1.f(x)的最小正周期 T＝4× ＝π，故 ＝ ＝2，
将点 代入 f(x)的解析式得 sin ＝1，
又|φ|＜ ，∴φ＝ .
故函数 f(x)的解析式为 f(x)＝sin .
(2)变换过程如下：
y＝sin x 图像上的所有点的横坐标缩小为原来的一半，纵坐标不变，得到 y＝sin 2x 的图像，再把 y＝sin 2x
的图像,向左平移 个单位 y＝sin 的图像．
17. 如图，在三棱锥 中， 平面 .
（1）求证：平面 平面 ；
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（2）若 是 的中点，点 在线段 上，且 ，求直线 与平面
所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）借助线面垂直的性质与线面垂直的判定定理可得 平面 ，再利用面面垂直的判定定
理即可得证；
（2）由 平面 可得 ，则可建立适当空间直角坐标系，再求出直线 的方向向量与
平面 的法向量后，结合空间向量夹角公式计算即可得解.
【小问 1 详解】
由 平面 ， 平面 ，故 ，
又 ， ， ， 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，故平面 平面 ；
【小问 2 详解】
由 平面 ， 平面 ，故 ，
故可以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 、 、 、 ，则 ，
则 ， ， ， ，
由 ，则 ，
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则 ，
设平面 的法向量为 ，
则有 ，
取 ，则 ， ，即 可取 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
则 .
所以直线 与平面 所成角的余弦值为
18. 已知数列 的前 n 项和为 ，满足 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，且数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由数列的递推公式利用累乘法求解；
（2）由（1）求出 ，再由裂项法求和即可证明．
【小问 1 详解】
由 ，则 （n≥2），
两式左右分别相减得 ，即 ．
得 ，
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则 ， ，…， ， ，
将以上 个式子相乘得 ．
上式对 仍成立，所以 ．
【小问 2 详解】
，
∴ ．
故命题得证．
19. 已知函数 .
（1）当 ， 时，求证： ；
（2）当 时，
（ⅰ）求 在 上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若 在 上有两个实根 ， ，比较 与 的大小关系.
【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）将所证不等式转化为证明 ，构造函数 ，利用导数法研究单调性即可
证明.
（2）（ⅰ）求出导函数，利用导数求出单调区间，然后求出所有极大值点，即可得解；
（ⅱ）根据 是周期为 的奇函数，结合单调性求得 是 的极小值点，设 ，则
， ， 要 证 ， 只 需 证 ， 令
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，利用导数法证得 ，即可证明.
【小问 1 详解】
当 ， 时， ，要证 ，即证：
设 ，则 ，∴ 在 上单调递减，
∵ ，∴ ，即 ，∴ 得证.
【小问 2 详解】
（ⅰ）当 时， ，
.
当 时，由 得 或 ，
解得 ， ， ， ， 或 ，
当 ， ， ， 时， ，
∴ 在 ， ， ， 上单调递增；
当 ， ， 时， ，
∴ 在 ， ， 上单调递减.
∴当 时， 的极大值点为 ， ， ，所以极大值点的和为 .
（ⅱ） ，证明如下：
∵ 的定义域为 ，且 ，
∴ 为奇函数，由（ⅰ）知 是周期为 的周期函数，
∴易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
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∴ 是 的极小值点.
设 ，∴ ， ，∴ ，
要证 ，只需证 ，即证 ，
∴ ，∴只需证 .
令
，其中 ，
∴
，
∵ ，∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ 上单调递增，
∵ ，∴ ，∴ ，
∴ ，所以得证.
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