四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题（二）（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题（二）（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 从全市5万名高中生中随机抽取500名学生，以此来了解这5万名高中生的身高，在这一情境中，这5万名高中生的身高的全体是指（ ）
A. 个体B. 总体C. 样本D. 样本量
【答案】B
【解析】
【分析】根据总体的定义可得答案.
【详解】这5万名高中生的身高的全体是指总体.
故选：B.
2. 某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：
812，832，569，683，271，989，730，537，925，907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（ ）
A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.5
【答案】A
【解析】
【分析】由题可知10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有2组，即求.
【详解】解：由题意，10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心脏手术全部成功”的有： 569, 989，故2个，
故估计“3例心脏手术全部成功”的概率为.
故选：A.
3. 已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则k＝（ ）
A. 4B.
C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据两平面垂直得到两法向量垂直，进而得到方程，求出答案.
【详解】∵，∴，
∴，解得.
故选：D
4. 国庆节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出甲、乙、丙中没有去北京旅游的概率，利用对立事件的概率求法求目标概率.
【详解】甲、乙、丙中没有去北京旅游的概率为，
所以这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为.
故选：C
5. 若，则直线与平面的位置关系是（ ）
A. 相交B. 平行C. 在平面内D. 平行或在平面内
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量的基本定理及线面平行的性质即可求解.
【详解】因为，
所以由平面向量基本定理知，三向量共面，
所以直线与平面的位置关系是平行或在平面内.
故选：D.
6. 一个样本的容量为,分成组,已知第一组、第三组的频数分别是、,第二、五组的频率都为,则该样本的中位数在
A. 第二组B. 第三组C. 第四组D. 第五组
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：分别求出第一组与第二组的频数和与第四组与第五组的频数和，从而可确定该样本的中位数的位置．因为一个样本的容量为60，第二、五组的频率都为，
所以第二、五组的频数分别为12、12，
则第四组的频数为60﹣9﹣10﹣12﹣12=17，
第一组与第二组的频数和为21，第四组与第五组的频数和为29，
则该样本的中位数在第三组．
考点：众数、中位数、平均数；频率分布表．
7. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，知，由此能求出实数的取值范围．
【详解】随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，
且，，
，即，
解得，即．
故选：D．
【点睛】本题考查互斥事件的概率的应用，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
8. 正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，求得，，，设，求得，即可求解.
【详解】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，，，，，
可得，，，
因为点在线段上运动，设，且，
所以，可得，
又因为，所以，即.
故选：A．

二、多选题（本题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）
9. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意致匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）

A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中的值为0.025
C. 估计全校学生成绩的中位数为86.7
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
【答案】ACD
【解析】
【分析】由频率分布直方图，根据频率之和为求得，根据频率、中位数、百分位数的求得正确答案.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
设中位数为，则，得，故C正确；
低于90分频率为，设样本数据的80%分位数为，
则，解得，故D正确.
故选：ACD
10. 下列命题正确的是（ ）
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若为不可能事件，则
C. 若事件，，两两互斥，则
D. 事件，满足，则，是对立事件
【答案】AB
【解析】
【分析】根据互斥事件和对立事件的关系可判断A；根据为不可能事件，可判定，互斥即可判断B；举反例可判断C，D.
【详解】由对立事件的定义可知对立事件一定是互斥事件，A正确；
由于为不可能事件，所以，互斥，则，即B正确；
事件，，两两互斥，比如掷骰子试验中，事件：投掷出1点，2点，3点，这三个事件两两互斥，
但这三个事件的和事件并不一定发生，所以不一定是必然事件，故C不正确；
D中，设掷一枚硬币3次，事件A：“至少出现一次正面”，事件：“3次出现正面”，
则，，满足，但，不是对立事件，故D不正确．
故选：AB
11. 有一组样本数据，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为．由这组数据得到新样本数据，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根据数据的平均数、中位数、标准差、极差的概念，以及计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，所以，所以A正确；
对于B中，由，根据中位数的定义，可得，所以B错误；
对于C中，由，根据数据方差的定义，可得，可得，所以C错误；
对于D中，由，根据数据极差的定义得，所以D正确．
故选：AD.
12. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A. 点到直线的距离是
B.
C. 平面与平面的夹角余弦值为
D. 异面直线与所成角的正切值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过空间向量的基底运算可得B的正误，利用空间向量的坐标运算可得A、C、D的正误.
【详解】依题意，所以选项B正确；
如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
对于A：，，设，
则点到直线CQ的距离，所以A错误；
对于B： ,；
设平面的法向量的一个法向量为，则，
令可得为，
设平面的法向量为，则，则
所以，即平面与平面的夹角余弦值为，所以C正确；
对于D，因为，，
所以，所以，
所以异面直线与所成角的正切值为，所以D正确．
故选：BCD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）
13. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据空间直角坐标系中，点关于坐标平面对称的点的坐标写出即可．
【详解】空间直角坐标系中，
点关于平面对称的点的坐标是
故答案为：．
14. 某地有2000人参加自学考试，为了了解他们的成绩，从中抽取一个样本，若每个考生被抽到的概率都是0.04，则这个样本的容量是________．
【答案】80
【解析】
【分析】结合简单随机抽样的概念即可得出结果.
【详解】设样本容量为n，根据简单随机抽样，得＝0.04，解得n＝80．
故答案为：80
15. 已知一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________.
【答案】0.8##
【解析】
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由.
故答案为：0.8
16. 在中，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示.点（不与端点重合）在线段上，使平面与平面垂直，则__________
【答案】2
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，设，求得点N的坐标，再利用面面垂直得到两平面的法向量互相垂直，进而求得的值，即可得到答案.
【详解】在中，因为，故，
故在四棱锥中，有，
而，故平面，因平面，
所以，而，故，
而，故可建立如图所示的空间直角坐标系.
在中，因为经过的重心，则有，故，
在中，，
则，
设，则，故，
又，
设平面的法向量为，则，
取，则，故.
设平面的法向量为，则，
取，则，故，
因为平面平面，
故，所以，故，所以.
故答案为：2
四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17. 2022年中国新能源汽车销量继续蝉联全球第一，以比亚迪为代表的中国汽车交出了一份漂亮的“成绩单”，比亚迪新能源汽车成为2022年全球新能源汽车市场销量冠军，为了解中国新能源车的销售价格情况，随机调查了10000辆新能源车的销售价格，得到如图的样本数据的频率分布直方图：

（1）估计一辆中国新能源车的销售价格位于区间（单位：万元）的概率，以及中国新能源车的销售价格的众数；
（2）现有6辆新能源车，其中2辆为比亚迪新能源车，从这6辆新能源车中随机抽取2辆，求至少有1辆比亚迪新能源车的概率.
【答案】（1）0.79；众数为20
（2）
【解析】
【分析】（1）根据频率直方图中的数据即可统计求解，
（2）列举所有基本事件个数，由古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
一辆中国新能源车的销售价格位于区间的概率
中国新能源车的销售价格的众数为
【小问2详解】
记2辆比亚迪新能源车为，其余4辆车为，
从6辆新能源车中随机抽取2辆情况有：，，共15种情况.
其中至少有1辆比亚迪新能源车的情况有：，，共有9种情况.
至少有1辆比亚迪新能源车的概率
18. 古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频数分布表．
（1）求频数分布表中a和b值，并求样本成绩的中位数和平均数；
（2）已知落在的分数的平均值为56，方差是7；落在的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1），，，
（2）两组市民成绩的总平均数是，总方差是
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，求得，结合中位数、平均数的计算公式，即可求解；
（2）根据分层抽样的分法，得到分数在和的人数，结合分层抽样的方差的计算方法，即可求解.
【小问1详解】
解：（1）由，解得，则，
由，所以，
由成绩在的频率为，所以中位数为，
平均数为．
【小问2详解】
解：由表可知，分数在的市民人数为10人，成绩在的市民人数为20人，
故，
则，
所以两组市民成绩的总平均数是，总方差是．
19. 已知空间三点
（1）求以向量为一组邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量分别与向量垂直，且，求向量的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，求出，进而得出，根据
四边形面积公式即可求解；
（2）设出的坐标，利用向量垂直的充要条件及向量的摸的公式即可求解.
【小问1详解】
由，得
，
所以，即，
又，
所以向量为一组邻边的平行四边形的面积为
.
【小问2详解】
设，则
因为且，
所以，即
，即
联立，解得
解得或．
所以或.
20. 某工厂师徒二人各加工相同型号的零件2个，且是否加工出精品均互不影响．已知师傅加工一个零件是精品的概率为，师徒二人各加工2个零件都是精品的概率为.
（1）求徒弟加工2个零件都是精品的概率；
（2）求徒弟加工该零件的精品多于师傅的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（2）分“加工两个都是精品”和“加工零件只有一个精品”两种情况，结合独立事件概率方法公式运算求解.
【小问1详解】
设徒弟加工一个零件是精品的事件为A，师傅加工一个零件是精品的事件为B，则，
由题知，
可得，且，所以，
所以徒弟加工2个零件都是精品的概率为.
【小问2详解】
由题意可得：①当徒弟加工两个都是精品，而师傅加工的零件精品数小于2时，概率为；
②当徒弟加工零件只有一个精品，而师傅加工的零件都不是精品时，概率为；
由①②得所求概率为.
21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形平面，是棱上的一点，已知，若分别是的中点，
（1）求点到平面的距离;
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再根据距离公式求解即可;
（2）求出平面的法向量，再根据线面角的公式求解即可.
【小问1详解】
分别以为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，
所以点到平面的距离.
【小问2详解】
如图所示，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
取，
记直线与平面所成角为，
则.
22. 如图，在平行六面体中，，，设，，
（1）求直线与夹角的余弦值；
（2）用向量法证明直线平面；
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算和向量的数量积的运算公式，求得，结合夹角公式，即可求解；
（2）根据题意，结合向量的数量积的运算，求得则，，得到，，利用线面垂直的判定定理，即可得证.
【小问1详解】
由题，
，，，
所以
，
所以，
所以直线与夹角的余弦值为.
【小问2详解】
由题图可知： ，，，
则，
，
所以，，
又因为平面，且，所以直线平面.
样本分数段
频数
5
10
20
a
25
10
频率
0.05
0.1
0.2
b
0.25
0.1