四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题（一）（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学模拟试题（一）（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）
1. 从遂宁市中、小学生中抽取部分学生，进行肺活量调查．经了解，我市小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ）
A. 简单的随机抽样B. 按性别分层抽样C. 按学段分层抽样D. 系统抽样
【答案】C
【解析】
【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．
【详解】已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男女生的肺活量差异不大．
了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．
故选：C．
2. 若{，，}构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量共面定理，依次判断四个选项即可.
【详解】对于A，，所以三个向量共面，故A错误，
对于B，，所以三个向量共面，故B错误，
对于C，假设三个向量共面，则存在非零实数，，满足，整理可得，因为，，不共面，所以，无解，所以假设不成立，则三个向量不共面，故C正确，
对于D，，所以三个向量共面，故D错误.
故选：C
3. 在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法错误的是（ ）
A. 点P关于坐标原点对称点的坐标为
B. 点P在x轴上的射影点的坐标为
C. 点P关于Oyz平面对称点的坐标为
D. 点P在Oyz平面上的射影点的坐标为
【答案】C
【解析】
【分析】利用空间直角坐标系中点的对称性特征可判断.
【详解】点关于原点的对称点为.故选项A正确；
点在x轴上的射影即为过点作x轴的垂线所得垂足，其坐标为.故选项B正确；
点关于Oyz平面的对称点与点横标互为相反数，纵坐标与竖坐标保持不变.故选项C错误；
点在平面Oyz上的射影即为过点作平面Oyz的垂线所得垂足，其坐标为.故选项D正确.
故选：C.
4. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则可能使的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】若直线与平面平行，则直线的方向向量与平面的法向量垂直，利用向量数量积检验.
【详解】直线的方向向量为，平面的法向量为，
若可能，则，即.
A选项，；
B选项，；
C选项，；
D选项，；
故选：D
5. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄的分布饼状图、90后从事互联网行业者的岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 90后互联网行业者中从事技术岗位的人数超过90后总人数的20％
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
【答案】D
【解析】
【分析】利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．
【详解】选项A；由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56％，故A正确；
选项B：设整个互联网行业总人数为a，90后从事技术岗位人数为56％×39.6％a，而90后总人数的20％为56％×20％a，故B正确；
选项C：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事运营岗位的90后人数为56％a×17％=9.52％a，超过80前的人数6％a，且80前中从事运营岗位的人数比例未知，故C正确；
选项D：设整个互联网行业总人数为a，互联网行业中从事技术岗位的90后人数为56%a×39.6%=22.176%a，小于80后的人数38％a，但80后中从事技术岗位的人数比例未知，故D错误．
故选：D．
6. 某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（ ）
A. 52B. 29.2C. 10D. 6.4
【答案】B
【解析】
【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可.
【详解】由表格可知两个年级日阅读时间的平均数为：，
则其方差为：.
故选：B
7. 在三棱柱中，
，为上一点，且，则（ ）

A. 2B. 3C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由空间向量的线性运算可得，再由其模长公式，即可得到结果.
【详解】由题意得，
，则．
故选：．
8. 将边长为1的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与C在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式即可求解.
【详解】由题意，，，
如图所示，建立空间直角坐标系．

则，
∴
平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
∴．
故选：D．
二、多选题（本题共4小题，每小5分，共20分．全对5分，部分选对2分，有错选0分）
9. 小张､小陈为了了解自己的数学学习情况，他们对去年一年的数学测试情况进行了统计分析.其中小张每次测试的平均成绩是135分，全年测试成绩的标准差为6.3；小陈每次测试的平均成绩是130分，全年测试成绩的标准差为3.5.下列说法正确的是（ ）
A. 小张数学测试的最高成绩一定比小陈高
B. 小张测试表现时而好，时而糟糕
C. 小陈比小张测试发挥水平更稳定
D. 平均来说小陈比小张数学成绩更好
【答案】BC
【解析】
【分析】根据平均数和标准差的含义判断.
【详解】平均成绩和标准差不能反映最高成绩，故A错；
标准差反映数据的波动程度，而，说明小陈的成绩更稳定，小张的成绩波动比较大，故BC正确；
小张的平均成绩高于小陈的平均成绩，所有平均来说小张比小陈数学成绩更好，故D错.
故选：BC.
10. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则下列叙述正确的是（ ）
A. 取出的两个球同为红色和同为黑色是两个互斥而不对立的事件
B. 至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件
C. 事件A＝“两个球同色”，则
D. 事件B＝“至少有一个红球”，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】结合互斥事件和对立事件的概念，及古典概型公式进行分析即可．
【详解】对于A，两球同时为红球和为黑球不可能同时发生，并且除了这两个事件，实验还会发生一个事件，即两球一黑一白，所以两球同时为红球和为黑球的事件为互斥而不对立事件，A正确；
对于B，至多有一个黑球包括一黑一红和两红球，其对立事件为两黑球，B错误；
对于C，记3个红球为a，b，c，2个黑球为d，e，
则任取2个球的结果有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个，
事件A发生的结果有ab，ac，bc，de，共4个，所以，C正确；
对于D，事件的对立事件的结果有de，共1个，所以，所以，D正确．
故选：ACD．
11. 下列选项正确的是（ ）
A. 空间向量与向量共线
B. 已知向量，，，若，，共面，则
C. 已知空间向量，，则在方向上的投影向量为
D. 点是直线上一点，是直线的一个方向向量，则点到直线的距离是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用空间向量的共线判断A；利用向量共面定理判断B；利用投影向量的求法判断C；利用点到直线的距离公式判断D．
【详解】对于A，，，，与共线，故A正确；
对于B，设，即，
则，得，故B正确；
对于C，，
在方向上的投影向量为，故C正确，
对于D，，是直线的一个单位方向向量，
点P到直线l的距离为，故D错误．
故选：ABC．
12. 如图，在正方体中，，点，分别在棱和上运动（不含端点），若，则下列命题正确的是（ ）
A.
B. 平面
C. 线段长度的最大值为1
D. 三棱锥体积不变
【答案】ACD
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判定线线垂直、线面垂直、计算两点距离，及根据锥体体积公式一一判定选项即可.
【详解】在正方体中，以D为原点，以射线分别为轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图：
则.
设，则，
因，所以，即.
对于A：，则，
所以，即，故A正确;
对于B：，
即与不垂直，从而与平面不垂直，故B不正确；
对于C：，则，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：不论点如何移动，点到平面的距离为4，且为定值，
而为定值，
故三棱锥的体积为定值，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案直接填在答题卡中的横线上．）
13. 已知直线的一个方向向量，且直线经过点和两点，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】由空间向量平行的坐标表示求解．
【详解】由题意得，且，则，
解得，则，
故答案为：
14. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为______．
【答案】##
【解析】
【分析】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，根据已知得出，，代入数据即可得出答案.
【详解】记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，
由题意可知，，.
因为事件，相互独立，所以.
又，
所以.
故答案为：.
15. 中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》，八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”，其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为______．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】由列举法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习，基本事件有：（金，石） ，（金，匏），（金，竹），（金，丝），（石，匏），（石，竹），（石，丝），（匏，竹），（匏，丝），（竹，丝），共10个，
其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为：（金，匏），（金，竹），（石，匏），（石，竹），共4个，
故所求概率为.
故答案为：
16. 在棱长为1的正方体中，分别是的中点，动点在底面正方形内(包括边界)，若平面，则长度的最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算求平面的法向量，设，且，求，根据平面，可得满足的等式关系，并用表示，确定的取值范围，利用空间中两点距离公式得，结合二次函数的性质，即可确定长度的最大值.
【详解】如图，以正方体的顶点为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
动点在底面正方形内(包括边界)，则设，且
则，设平面的法向量为，又
则，令，则
因为平面，所以，即，
则，所以
则，
由二次函数的性质可得当时，，时，，所以长度的最大值为.
故答案为：.
四、解答题（本大题共6个小题，其中17题10分，其余每小题12分，共70分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）
17. 为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图，其中.

（1）求直方图中的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数（每组数据用该组区间中点值作为代表）；
（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值.
【答案】（1），，该市居民用水的平均数估计
（2）（万）
（3）5.8吨
【解析】
【分析】（1）由频率之和为1以及列方程组求得的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；
（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；
（3）由频率分布直方图计算频率，可判断，再根据频率列出方程，求出的值.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得，
又，则，，
该市居民用水的平均数估计为：
；
【小问2详解】
由频率分布直方图可得，
月均用水量不超过2吨的频率为：，
则月均用水量不低于2吨的频率为：，
所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：（万）；
【小问3详解】
由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨频率为：，
月均用水量不超过5吨的频率为：，
则85%的居民每月的用水量不超过的标准（吨），，
，解得，即标准为5.8吨.
18. 如图，正四面体中，，分别为棱，的中点，设，，.
（1）用，，分别表示向量，；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
【答案】（1），
；
（2）
【解析】
【分析】(1)如图，设正四面体的棱长为1，
由向量的三角形加法法则和平行四边形加法法则得出答案；
(2)设异面直线与所成角为，将用基底，，表示，代入公式计算得出答案.
【小问1详解】
如图，设正四面体棱长为1，
则，
；
【小问2详解】
由(1)知，，.
又.
设异面直线与所成角为，
则
.
19. 为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛．比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛．已知在第一轮比赛中，选手甲､乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲､乙胜出的概率分别为，，甲､乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
（1）从甲､乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
（2）若甲､乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．
【答案】（1）派甲参赛赢得比赛的概率更大
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相互独立事件概率乘法公式求出甲、乙赢得比赛的概率，即可判断；
（2）记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，利用对立事件与相互独立事件的
概率公式求出，即可得解.
【小问1详解】
记事件为“甲在第一轮比赛中胜出”，为“甲在第二轮比赛中胜出”，
为“乙在第一轮比赛中胜出”，为“乙在第二轮比赛中胜出”，
则相互独立，且．
因为在两轮比赛中均胜出视为赢得比赛，
则为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，
所以，
．
因为，所以派甲参赛赢得比赛的概率更大．
【小问2详解】
记事件为“甲赢得比赛”，为“乙赢得比赛”，
则“两人中至少有一人赢得比赛”．
由（1）知，，，
所以，
，
所以，
故两人中至少有一人赢得比赛的概率为．
20. 将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，记下骰子朝上的点数．若用表示第一次抛掷出现的点数，用表示第二次抛掷出的点数，用表示这个试验的一个样本点．
（1）记“两次点数之和大于9”，“至少出现一次点数为3”，求事件A，B的概率；
（2）甲、乙两人玩游戏，双方约定：若为偶数，则甲胜；否则，乙获胜．这种游戏规则公平吗？请说明理由．
【答案】（1），
（2）这种游戏规则不公平，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到抛掷一枚质地均匀的正方体骰子共有36个样本点，利用列举法得出所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）利用古典摡型的概率计算公式和概率的加法公式求得甲胜的概率，比较即可得到结论.
小问1详解】
解：依题意，抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，共有36个样本点，
其中事件，即事件包含6个样本点，
所以事件的概率为．
又由事件，
即事件中包含11个样本点，所以事件的概率为．
【小问2详解】
解：设事件“为偶数”，事件，
事件，
可得，
因为事件与事件互斥，且，
所以．
因此甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
所以，故这种游戏规则不公平．
21. 如图，直二面角中，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面，
（1）求证：平面.
（2）求平面与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用线面垂直的性质证明线线垂直，再由线线垂直证明线面垂直；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面角计算即可.
【小问1详解】
∵平面，平面，∴，
∵二面角为直二面角，且交线为，，平面，
∴平面，平面,
∴平面，
∴平面.
【小问2详解】
以线段的中点为原点O，，所在直线为x轴，y轴，过点O平行于的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
∵平面，平面，∴，
在中，，为的中点，，
所以设平面的一个法向量为，
则，即，取，得，
又平面的法向量为，
∴，
设平面与平面所成角的正弦值为，
则，
∴面与平面所成角的正弦值为.
22. 在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）．将沿折起到的位置，使得二面角为直二面角（如图2）．
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在点，使得平面平面?若存在，求出值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即可；
（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面垂直计算即可.
【小问1详解】
因为在梯形中，，，为的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，
因为线段点，所以为线段的中点，
所以中，，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
因为平行四边形中，，
所以四边形是菱形，则，垂足为，
所以，，
因为平面，平面，所以是二面角的平面角，
因二面角为直二面角，所以，即，
如图所示，分别以所在直线为建立空间直角坐标系，
线段上存在点，使得平面平面，
设，，
因为，所以，
由设平面的法向量为，
则，
令，则，
由，设平面的法向量为，
则，令，则可得，
则，
解得，即 为线段的中点，此时.
年级
抽查人数
平均时间
方差
高一
40
50
4
高二
60
40
6