四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2024-2025学年高二上学期期末适应性考试数学试卷（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了考试结束后将答题卡收回等内容，欢迎下载使用。
本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共4页．满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．
3．考试结束后将答题卡收回．
一、单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分）
1. 抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程，再求焦点坐标即可.
【详解】抛物线化为标准方程可得，
故，焦点坐标为.
故选:C.
2. 已知点关于轴的对称点为，则等于（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点对称的性质可得点坐标，进而可得.
【详解】由题意，点关于轴的对称点为，
故.
故选：D.
3. 我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（ ）
A. 52B. 48C. 36D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比列式计算即得.
【详解】依题意，应抽取的一年级学生的人数为.
故选：C
4. 若直线l过点，且与双曲线过第一和第三象限的渐近线互相垂直，则直线l的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由双曲线方程写出其渐近线方程，根据两直线垂直求出直线的斜率，由点斜式即得的方程.
【详解】
如图，由可知双曲线过第一和第三象限的渐近线方程为：，
直线l与之垂直，则直线l的斜率为，
又直线l过点，故直线l的方程为，即.
故选：B.
5. 安排甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室打扫卫生，每个教室恰好安排一位志愿者，则甲恰好不安排到号教室的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】甲，乙，丙三位志愿者到编号为的三个教室，
每个教室恰好安排一位志愿者，则有
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
其中甲恰好不安排到号教室：
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），
（甲，），（乙，），（丙，），共种，
所以甲恰好不安排到号教室的概率为.
故选：A
6. 已知直线过定点M，点在直线上，则的最小值是（ ）
A. 5B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求定点，再根据点到直线距离求解点到直线上动点距离最小值即可.
【详解】由得，所以直线l过定点，
依题意可知的最小值就是点M到直线的距离，
由点到直线的距离公式可得．
故选:B.
7. 已知，圆，动圆经过点且与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先得到圆心坐标与半径，设动圆的半径为，分两圆相内切与外切两种情况讨论，结合双曲线的定义计算可得.
【详解】圆，即，圆心为，半径，
设动圆的半径为，
若动圆与圆相内切，则圆在圆内，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的右支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
若动圆与圆相外切，所以，，
所以，
所以动点是以、为焦点的双曲线的左支，且、，
所以，
所以动圆圆心的轨迹方程是，
综上可得动圆圆心的轨迹方程是.
故选：C
8. 已知，是椭圆：的左、右焦点，是的下顶点，直线与的另一个交点为，且满足，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用椭圆的定义及勾股定理用表示出，在△中求出，再在△中，通过余弦定理得到与的关系，即可求出离心率.
【详解】由题意得，，令，则
∵，∴，
即，∴，,
在△中，，
在△中，，
∴，
∴.
故选：A.
二、多选题：（本题共3小题，每题6分，共18分）
9. 一只不透明的口袋内装有9张相同的卡片，上面分别标有这9个数字（每张卡片上标1个数），“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字为2或5或8”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字不超过6”记为事件，“从中任意抽取1张卡片，卡片上的数字大于等于7”记为事件．则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件是互斥事件B. 事件与事件是对立事件
C. 事件与事件相互独立D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据古典概型的概率的计算公式，分别算出事件的概率，然后再根据互斥事件、对立事件、相互独立事件及概率的运算性质即可判断出答案.
【详解】样本空间为．
因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误；
因为，所以事件与事件为对立事件，故正确；
因为，所以，即事件与事件相互独立，故正确；
因为，所以，故D错误．
故选：BC.
10. （多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A. B. 抛物线的方程为
C. 直线的方程为D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.
【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
11. 如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点O是与的交点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D. 平面平面
【答案】ABD
【解析】
【分析】A由空间向量加法结合图形可判断选项正误；B由A结合空间向量模长公式可判断选项正误；C验证是否为0可判断选项正误；D取BC中点为D，连接AD，判断是否为0，结合线面垂直的判定定理即可判断选项正误.
【详解】对于A，由图，，故A正确；
对于B，由A，
，故B正确；
对于C，
，则与BC不垂直，故C错误；
对于D，取BC中点为D，连接AD，则，又由图可得，
注意到,
则，又，平面，
则平面，又平面，则平面平面，故D正确.
故选：ABD
三、填空题：（本愿共3小题，每题5分，共15分）
12. 两平行直线，的距离为__________.
【答案】
【解析】
【分析】由两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可计算出结果.
【详解】由于直线与平行，则，整理得，解得.
所以，直线的方程为，直线的方程为，即，
因此，两直线间的距离为.
故答案为：.
【点睛】本题考查两平行直线间距离的计算，同时也考查了利用直线平行求参数，考查计算能力，属于基础题.
13. 已知，，，，这个数的平均数为，方差为，则，，，这个数的方差为________．
【答案】
【解析】
【分析】由平均数和方差的计算求解即可；
【详解】由题意可得，即，
所以，，，这个数的平均数为，
所以，即，
所以，，，这个数的方差为，
故答案为：.
14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________.
【答案】6
【解析】
【分析】利用求出，然后将转化为求解即可.
【详解】
设，由于，
而，则，
所以，
．
故答案为：6
四、解答题：（第15题13分，第16、17题每题15分，第18、19题每题17分，共77分）
15. 已知圆C与轴相切，其圆心在轴的正半轴上，且圆被直线截得的弦长为．
（1）求圆的标准方程；
（2）若过点的直线与圆相切，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据题意设圆的方程为，再由圆被直线截得的弦长为
求解；
（2）分直线的斜率不存在和存在两种情况，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【小问1详解】
由题意设圆的方程为：，
圆心到直线的距离为，
则圆被直线截得的弦长为，解得，
所以圆标准方程为；
【小问2详解】
由题意得：当直线的斜率不存在时，直线方程为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，
所以直线方程为，
综上：直线的方程为或.
16. 在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛都是相互独立的.
（1）求比赛只需打三局的概率；
（2）已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）“比赛只需打三局”可看作互斥事件“甲前三局都获胜”与“乙前三局都获胜”的和事件，可按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；
（2）“甲最终获胜”是互斥事件“第三局甲胜”、“第三局甲输第四局甲胜”与“第三局第四局甲均输第五局甲胜”的和事件，按相互独立事件积事件的概率与互斥事件和事件的概率求解即可；
【小问1详解】
设事件=“甲前三局都获胜”，事件=“乙前三局都获胜”，
则，
，
比赛只需打三局的概率为：
.
【小问2详解】
甲需要打三局概率为：，
甲需要打四局的概率为：，
甲需要打五局的概率为：，
则甲最终获胜的概率为：.
17. 高二某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于秒到秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组[13，14），第二组[14，15）,…,第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（1）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）请根据频率分布直方图，估计样本数据的众数和中位数（精确到0.01）；
（3）设，表示该班两个学生的百米测试成绩，已知，∈[13，14）∪[17，18]，求事件“|﹣|＞2”的概率．
【答案】（1）28人；（2）众数是，中位数是15.74；（3）
【解析】
【分析】（1）根据频率分布直方图能求出成绩在[14，16）内的人数，由此得到该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
（2）由频率分布直方图能得出众数落在第二组[15，16）内，由此能求出众数；数据落在第一、二组的频率是0.22＜0.5，数据落在第一、二、三组的频率是0.6＞0.5，所以中位数一定落在第三组中，假设中位数是，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，由此能求出中位数；
（3）成绩在[13，14）的人数有2人，成绩在[17，18）的人数有3人，事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内，记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，百米测试成绩在内的三个人为，利用列举法和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】（1）根据频率分布直方图知成绩在[14，16）内的人数为：50×0.18+50×0.38＝28人．
∴该班在这次百米测试中成绩为良好的人数为28人；
（2）由频率分布直方图知众数落在第三组[15，16）内，众数是．
∵数据落在第一、二组的频率＝1×0.04+1×0.18＝0.22＜0.5，
数据落在第一、二、三组的频率＝1×0.04+1×0.18+1×0.38＝0.6＞0.5，
∴中位数一定落在第三组中，假设中位数，则0.22+（﹣15）×0.38＝0.5，
解得＝，∴中位数是15.74；
（3）成绩在[13，14）的人数有50×0.04＝2人，成绩在[17，18）的人数有50×0.06＝3人，
因为，表示该班两个学生的百米测试成绩，且，∈[13，14）∪[17，18]，
∴事件“|﹣|＞2”等价于其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内，
记百米测试成绩在[13，14）内的两个人为，百米测试成绩在内的三个人为，则从这个学生中任取两个，有，，共种情况，
其中一个学生的百米测试成绩在，另一个学生的百米测试成绩在内的有种情况，
所以事件“|﹣|＞2”概率为.
18. 如图所示，直角梯形中，，四边形为矩
形，，平面平面．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的余弦值为，若存在，求出线段的长度，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；2
【解析】
【分析】（1）根据条件先判定垂直关系再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量判定线面关系即可；
（2）利用空间向量结合（1）的结论计算面面夹角即可；
（3）利用空间向量研究线面夹角计算即可.
【小问1详解】
因为四边形为矩形，平面平面，
平面平面，
所以，则平面，
根据题意可以以为原点，所在直线为轴，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
如图，易知，，
设平面的法向量，
不妨令，则，
又，，
又平面平面．
【小问2详解】
由上可知，设平面的法向量，
，令，则，
，
平面与平面夹角的余弦值为．
【小问3详解】
设，
，
又平面的法向量，
由直线与平面所成角的余弦值为，
，
，或．
当时，；
当时，．
综上，．
19. 已知双曲线的左、右焦点为、，虚轴长为，离心率为，过的左焦点作直线交的左支于A、B两点.
（1）求双曲线C的方程；
（2）若，求的余弦值；
（3）若，试问：是否存在直线，使得点在以为直径的圆上？请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据条件列出关于的方程组，由此求解出的值，则双曲线方程可知；
（2）根据双曲线的定义求解出，在中利用余弦定理求解出；
（3）当的斜率不存在时，直接分析即可，当的斜率存在时，设出的方程并与双曲线方程联立，得到横坐标的韦达定理形式，根据进行化简计算，从而判断出是否存在.
【小问1详解】
由题意可知：，解得，
所以双曲线的方程为：；
【小问2详解】
因为，所以，且，
所以,
所以的余弦值为.
【小问3详解】
假设存在满足要求，
当的斜率不存在时，，由解得，
所以，所以不垂直，故不满足要求；
当的斜率存在时，因为与双曲线有两个交点，所以，即，
设，，
联立可得，
且，即，
所以，
所以，
所以，
所以
，
所以也不满足要求，
故假设不成立，即不存在直线，使得点在以为直径的圆上.
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与双曲线的综合应用，对学生的转化与计算能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于：将“以为直径的圆过点”转化为“”，从而转化为坐标之间的运算.