四川省绵阳市三台中学2025届高三下学期四月月考 数学试题（含解析）

这是一份四川省绵阳市三台中学2025届高三下学期四月月考 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
2．设复数在复平面内对应的点为，若，则（ ）
A．B．
C．D．
3．(+)(2-)5的展开式中33的系数为
A．-80B．-40C．40D．80
4．四羊方尊（又称四羊尊）为中国商代晚期青铜器，其盛酒部分可近似视为一个正四棱台（上、下底面的边长分别为，高为），则四羊方尊的容积约为（ ）
A．B．C．D．
5．若是偶函数，则（ ）
A．0B．C．D．
6．已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
7．若，，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知正四面体，若平面内有一动点到平面、平面、平面的距离依次成等差数列，则点的轨迹是（ ）
A．一条线段B．一个点
C．一段圆弧D．抛物线的一段
二、多选题（本大题共3小题）
9．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．
C．的图象关于直线对称D．的图象关于中心对称
10．已知抛物线与圆相交于A，B，线段AB恰为圆M的直径，且直线AB过抛物线W的焦点F，则正确的结论是（ ）

A．
B．圆M与抛物线W的准线有公共点
C．在抛物线W上存在关于直线AB对称的两点
D．线段AB的垂直平分线与抛物线W交于C，D，则有
11．已知函数，若函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．6个零点之和是6
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为 .
13．市环保局开展了环境治理专项活动，活动结束后对志愿者做了一次随机抽样调查，统计整理了部分志愿者的服务时长（单位：小时），得到如图所示的频率分布直方图，据此估计志愿者服务时长的第90百分位数为 ．
14．在三角形ABC中，，角A的平分线交于点D，若，则三角形面积的最大值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．在等差数列中，，，数列的前项和为，且.
(1)求数列和的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和.
16．袋中装有大小相同的4个红球，2个白球．某人进行摸球游戏，一轮摸球游戏规则如下：①每次从袋中摸取一个小球，若摸到红球则放回袋中，充分搅拌后再进行下一次摸取；②若摸到白球或摸球次数达到4次时本轮摸球游戏结束．
(1)求一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次的概率；
(2)若摸出1次红球计1分，摸出1次白球记2分，求一轮游戏结束时，此人总得分的分布列和数学期望．
17．已知椭圆C：的离心率为，且经过，直线l交C于E，F两点，直线，斜率之和为
(1)求椭圆C的方程；
(2)证明：直线l过定点.
18．如图，在四棱锥中，底面为棱的中点，四面体的体积为的面积为.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若，平面平面，点为棱上一点，当平面与平面夹角为时，求的长.
19．已知函数
(1)判断曲线是否具有对称性，若是，求出相应的对称轴或对称中心，并加以说明；
(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围；
(3)若函数有两个零点，证明：．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由不等式，可得，解得，
所以集合，
又因为，可得.
故选B.
2．【答案】A
【详解】由复数的几何意义可得，
所以，，化简可得.
故选A.
3．【答案】C
【详解】，
由展开式的通项公式可得：
当时，展开式中的系数为；
当时，展开式中的系数为，
则的系数为.
故选C.
【名师点睛】（1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项.
（2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
4．【答案】A
【详解】由题意可得：四羊方尊的容积约为.
故选A.
5．【答案】B
【详解】由题，可得，即，
，
，即
因不恒为0，故.
故选B.
6．【答案】A
【详解】
所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，
所以,
如图：
因为，所以，即，所以，
向量在向量上的投影数量为：
故选A
7．【答案】C
【详解】由，
又因为，所以得：
，
则，
即，
故选C .
8．【答案】A
【详解】设点到平面、平面、平面的距离依次为、、，如下图所示：
由题意可知，，则，
即，即，
所以，，
不妨设点到边、、的距离分别为、、，
设等边的边长为，则，
又因为，即，
所以，，①
由，可得，可得，②
联立①②可得，
所以，点的轨迹是一条与平行且与之间的距离为的线段.
故选A.
9．【答案】BD
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，
得的图象，
所以函数，选项A错误，选项B正确；
因为，
所以的图象不关于直线对称，选项C错误；
由，所以的图象关于中心对称，选项D正确．
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】对于A，B，如图，分别过A，B，M作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，，
由于圆的直径AB过焦点F，则到准线的距离为，
故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，故B正确；
由上分析，有，解得，故A正确；
对于C，过焦点和点，则，则直线AB的方程是，
假设抛物线上存在两点T，关于直线AB对称，则可设直线的方程是：，
代入中，得，由韦达定理可得的中点为，
又N在直线AB上，则，解得，
此时方程没有实根，即直线不存在.故C不正确；
对于D，如图，由上分析易得直线CD的方程为：，即，
代入，得 由韦达定理得，.
因在轴上的投影长为，而直线的倾斜角为，
故，同理，
于是，
而即，故D正确.
故选ABD.
11．【答案】BD
【详解】由函数的图象，经过轴翻折变换，可得函数的图象，
再向右平移1个单位，可得的图象，
最终经过轴翻折变换，可得的图象，如图所示，
则函数的图象关于直线对称，令，
因为函数最小的零点为，且，
故当时，方程有4个零点，
所以要使函数有6个不同的零点，且最小的零点为，则或，
由，可得或，
设的四个根从小到大依次为，
由函数的图象关于直线对称，可得，
所以的所有零点之和是6，故D正确；
关于的方程的两个实数根为和，
由韦达定理，得，所以B正确，A，C错误.
故选BD.
12．【答案】2
【详解】圆即，圆心为，半径，
双曲线的渐近线方程为，即，
不妨设与圆相切，
则，即，又，所以，即，
所以离心率．
13．【答案】
【详解】由题意得组距，因为小长方形面积和为1，
所以,解得，
而，则第90百分位数在内，
且设其为，得到，解得.
14．【答案】
【详解】，，
所以，，
因为，
所以，
因为角的平分线交于点，
所以，所以，
所以，以为坐标原点建立如图平面直角坐标系，
因为，，所以，，
设，则，
所以，所以，
故点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去和），
故当纵坐标最大，即时面积取最大值为.
15．【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）解：设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，，
数列的前项和为，且，
当时，则有，
当时，由可得，
上述两个等式作差可得，即，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则.
（2）解：因为，则，①
可得，②
①②得
，
故.
16．【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为
【分析】（1）由互斥加法以及独立乘法公式即可求解；
（2）X的可能取值为2，3，4，5，算出对应的概率即可得分布列以及数学期望.
【详解】（1）设一轮摸球游戏结束时摸球次数不超过3次为事件A，记第i次（，2，3）摸到红球为事件，
则事件，
显然、、彼此互斥，
由互斥事件概率的加法公式：
，
因为每次摸到红球后放回，所以，，，
所以，.
（2）依题意，X的可能取值为2，3，4，5，
，
，
，
，
所以，一轮摸球游戏结束时，此人总得分X的分布列为，
.
17．【答案】(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆半焦距为c，则依题意有，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
联立，消去y得，
，即，
设，，则，
因为直线，斜率之和为1，
即
，
所以，即，
所以直线l的方程为，即，
所以直线l过定点 .
18．【答案】(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）在四棱锥中，取的中点，连接，
在中，由分别为的中点，得，
又，则，
即四边形为平行四边形，，而平面平面，
所以平面.
（2）设点到平面的距离为，由四面体的体积为的面积为，
得，解得，
而平面平面，则平面，
所以点到平面的距离为.
（3）取的中点，连接，由，得，由平面平面，
平面平面平面，得平面，即，
则，由平面平面，得，
又平面平面，则，而平面，
因此平面，又平面，则，
而的面积为，，则，，
由，得，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，
则，
，设平面的法向量为，
则，取，得，设平面的法向量为，
则，取，得，
，由平面与平面的夹角为，
得，解得，即为的中点，
所以.
19．【答案】(1)具有中心对称，对称中心为点;
(2);
(3)证明见详解
【详解】（1）令，等价于，解得，
可知的定义域为0,2，
因为，
可知具有中心对称，对称中心为点1,0，
显然不为常函数，可知不具有轴对称，
所以y=fx具有中心对称，对称中心为点1,0.
（2）因为，
则，
若在定义域内单调递增，则f'x≥0在0,2内恒成立，
又因为，则，当且仅当时，等号成立，
可得，解得，
所以的取值范围为.
（3）由题意可得，
令，解得，
可知，，
令，则，
构建，则，
令，解得；令，解得；
可知Fx在内单调递增，在内单调递减，则，
且当趋近于0时，Fx趋近于，当趋近于时，Fx趋近于0，
若函数有两个零点，可知与有两个交点，
则，即；
又因为，两式相减可得，
两式相加可得，
不妨设，令，可得，
又因为，等价于，等价于，
构建，则，
构建，则，
可知在1,+∞上单调递增，则，即，
可知在1,+∞上单调递增，则，
即，所以.
X
2
3
4
5
P