四川省成都市盐道街中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

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命题人：黄文亭 审题人：秦凤英
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1. 已知直线经过两点，那么直线的斜率为（ ）
A. B.
C. D.
2. 已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（ ）
A B. C. D.
3. 数据2，3，5，5，6，7，8，8，9，10的分位数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 7.5
4. 郴州市正在创建全国文明城市，现有甲、乙、丙、丁 4人，平均分成两组，其中一组指挥交通，一组打扫街道卫生，则甲、乙不在同一组概率为．
A. B. C. D.
5. 圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的标准方程是
A. B. C. D.
6. 一组5个数据，，，，的和为25，方差为6，则，，，，，5这6个数的方差为（ ）
A. 5B. 6C. 25D. 30
7. 已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（ ）
A. 1B. C. 2D.
8. 已知，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错不得分.
9. 已知直线过点，且在轴上的截距是轴上的截距的3倍，则直线的方程为（ ）
A B. C. D.
10. 一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥B. 事件与事件相互独立
C. 事件发生的概率为D. 事件发生的概率为
11. 如图，正方体棱长为2，E，F分别为，的中点，则以下说法正确的是（ ）
A. 平面截正方体所得截面周长为
B. 上存在点P，使得平面
C. 三棱锥和体积相等
D. 上存在点P，使得平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 若直线与直线平行，直线的斜率为，则直线的倾斜角为___________.
13. 如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，则的长等于__________.
14. 在平面直角坐标系xy中，已知圆M:，圆N：，若圆M上存在一点P，使得以点P为圆心，1为半径的圆与圆N有公共点，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知两直线，.求分别满足下列条件的，的值：
（1）直线过点，并且直线与垂直；
（2）直线与直线平行，并且直线在轴上的截距为.
16. 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图).图中从左到右各小矩形面积之比为2:4:17:15:9:3，第二小组频数为12.
（1）第二小组的频率是多少?样本容量是多少?
（2）通过频率分布直方图估计总体的平均数、中位数、众数.
17. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3的3个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.
（1）写出试验样本空间；
（2）求取出的两个球标号相同的概率；
（3）若将乙盒中的球倒入甲盒中，然后从甲盒的6个球中不放回的随机取出两个，求取出的两个球标号相同的概率.
18. 如图，为圆锥的顶点，A，为底面圆上两点，，为中点，点在线段上，且.

（1）证明：平面平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知圆和点．
（1）过M作圆O的切线，求切线的方程；
（2）过M作直线l交圆O于点C，D两个不同的点，且CD不过圆心，再过点C，D分别作圆O的切线，两条切线交于点E，求证：点E在一条定直线上，并求出该直线的方程；
（3）已知，设P为满足方程的任意一点，过点P向圆O引切线，切点为B，试探究：平面内是否存在一定点N，使得为定值？若存在，则求出定点N的坐标，并指出相应的定值；若不存在，则说明理由．