四川省成都市盐道街中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省成都市盐道街中学2026届高三上学期期中考试数学试卷（Word版附解析），文件包含四川省成都市盐道街中学2026届高三上学期期中考试数学试题原卷版docx、四川省成都市盐道街中学2026届高三上学期期中考试数学试题Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。
命题人：杜厚君 审题人：阳明
一､单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分）
1. 已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解一元二次不等式求解集合 A，然后利用交集运算求解即可.
【详解】集合 ，
又集合 ，所以 .
故选：B.
2. 已知命题 ，则 为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
【详解】命题 “ ”，则 .
故选：D.
3. 复数 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的除法运算求解 ，进而求解其虚部即可.
第 1页/共 23页
【详解】由 ，由此可得： 的虚部为 .
故选：B
4. 幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. 或 B. C. D. 或
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义以及单调性列出关于 的方程与不等式，则结果可求.
【详解】由题意可知 ，解得 ，
故选：B.
5. 已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （ ）
A. 19 B. 29 C. 30 D. 31
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列 的公差为 ，由条件结合等差数列通项公式和前 项和公式可得 ，
，解方程求 ， ，再求 可得结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ， ，
所以 ， ， ，
因为 ， ，
所以 ， ，
化简可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
故选：A.
第 2页/共 23页
6. 在 中， ， 的平分线交 于 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用余弦定理，求得 ，得到 ，得出 为直角三角形，结合
，列出方程，即可得到 的长，得到答案.
【详解】在 中， ，
由余弦定理得 ，
所以 ，所以 ，则 为直角三角形，所以 ，
如图所示，设 ，因为 ，
可得 ，即 ，
解得 ，所以 .
故选：D．
7. 已知函数 f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A. (－∞，0) B. C. (0,1) D. (0，＋∞)
【答案】B
【解析】
【详解】函数 f（x）=x（lnx﹣ax），则 f′（x）=lnx﹣ax+x（ ﹣a）=lnx﹣2ax+1，
第 3页/共 23页
令 f′（x）=lnx﹣2ax+1=0 得 lnx=2ax﹣1，
函数 f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点，等价于 f′（x）=lnx﹣2ax+1 有两个变号零点，
等价于函数 y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点，
在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）
当 a= 时，直线 y=2ax﹣1 与 y=lnx 的图象相切，
由图可知，当 0＜a＜ 时，y=lnx 与 y=2ax﹣1 的图象有两个交点．
则实数 a 的取值范围是（0， ）．
故选 B．
8. 函数 对任意 ， ，且 为奇函数，给出下列说法，其中错误的个
数为（ ）
（1）若 时， ，则 ；
（2） 的周期为 ；
（3） 的图象关于点 对称；
（4）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据抽象函数关系式和奇偶性可推导得到 的对称轴、对称中心、周期和奇偶性，知（2）错
误；利用奇偶性和解析式可求得（1）错误；根据周期和对称中心可推导得到其他对称中心，知（3）正确；
利用周期性和奇偶性求值可知（4）错误.
【详解】 ， 图象关于直线 对称；
第 4页/共 23页
为奇函数， ， 图象关于点 对称；
， ，
，即 ， ，
的周期为 ，（2）错误；
， ，又 ，
， 为奇函数，
若 时， ，则 ，（1）错误；
图象关于点 对称，周期为 ，
图象关于点 对称，（3）正确；
， ，（4）错误.
故选：C.
二､多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共计 18 分）
9. 已知 ，则下列说法正确的有（ ）
A.
B. 若 ，则
C. 在 方向的投影向量的坐标为
D. 若 与 垂直，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】A：由数量积坐标运算可求结果；B：根据向量共线的坐标关系可求结果；C：根据投影向量的计
算公式可求结果；D：根据向量垂直的坐标关系可求结果.
【详解】A：因为 ，所以 ，故正确；
B：因为 ，所以 ，
第 5页/共 23页
因为 ，所以 ，所以 ，故正确；
C： 在 方向的投影向量的坐标为 ，故正确；
D：因为 且 与 垂直，所以 ，所以 ，故错误；
故选：ABC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 在 上单调递增
B. 在 上有 2 个零点
C. 把 的图像向左平移 个单位，所得的图像关于 轴对称
D. 若 在 上有两个实数根，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据诱导公式化简可得 ，再结合正弦函数的性质一一判断即可．
【详解】函数
．
对于 A：当 时， ，
因为函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 A 错误；
第 6页/共 23页
对于 B：当 时， ，令 或 ，
解得 或 ，
所以 在 上有 个零点 ， ，故 B 正确；
对于 C：将 的图象向左平移 个单位长度，得到 ，
函数 的定义域为 ，定义域关于原点对称，
，所以函数 为偶函数，图象关于 轴对称，故 C 正确；
对于 D：当 时， ，
令 ，解得 ，令 ，解得
所以 在 上单调递增，且 ；
在 上单调递减，且 ，
因为 在 上有两个实数根，
即 与 在 上有两个交点，所以 ，即 ，故 D 正确.
故选：BCD
11. 下列说法，正确的有（ ）
A. 在斜三角形 中，恒有
B. 已知 ，则 的最大值为
C. 已知实数 满足 ，则 .
D. 已知点 是圆 上的动点，且 ，点 是直线 上的动点，则
的最小值为 1
【答案】ABD
第 7页/共 23页
【解析】
【分析】对于 A：根据 结合两角和的正切公式分析判断；对于 B：设 ，利
用辅助角公式可得 ，运算求解即可；对于 C：设 ，整理可得
，结合不等式 分析可得 ， ，即可得结果；对于 D：分析可知
为圆 的直径，整理可得 ，进而可得最小值.
【详解】对于选项 A：因为 ，则 存在，
又因为 ，
整理可得 ，故 A 正确；
对于选项 B：设 ，即 ，
则
，
其中 ，当 时取得等号，
即 ，解得 ，
不妨取 为锐角，可知 ， ，符合题意，
所以 的最大值为 ，故 B 正确；
对于选项 C：设 ，可得 ，
则 即为 ，
整理可得 ，
构造 ，则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，
第 8页/共 23页
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
且 ，即 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
若 ，可得 ， ，
则 ，所以 ，故 C 错误；
对于选项 D：圆 的圆心为 ，半径 ，
则圆心 到直线 ，即 的距离 ，
因为 ，则 ，可知 为圆 的直径，
又因为 ，
所以 最小值为 1，故 D 正确；
故选：ABD.
三､填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分）
12. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ， ，则 __________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由等比数列通项公式化简等式求公比 ，然后由等比数列通项公式变形求出 .
【详解】设正项等比数列 的公比为 ，
则 ，所以 ，
所以 ．
第 9页/共 23页
故答案为：
13. 在 中， 为线段 的中点，点 在线段 上端点不重合，若 ，则 的
最大值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先根据中点的性质将 转化为与 有关的向量，再利用 三点共线得到 与 的关系，最
后根据均值不等式求出 的最大值.
【详解】因为 ，所以 .
因为点 在线段 上（端点不重合），所以 三点共线，
所以 ，且 ， .
由均值不等式，可得 ，
化简得 ，即 .
当且仅当 时等号成立，结合 ，可得 ， 时等号成立.
故答案为： .
14. 已知 是函数 在其定义域上的导函数，且 ， ，若函数
在区间 内存在零点，则实数 m 的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据 及 得到 ，利用同构得到
第 10页/共 23页
有解，构造 ，得到 ，故
，参变分离得到 在 有解，令 ，求导得到其单调性，极
值和最值情况，得到答案.
【详解】 ，所以 ，
故 ，所以 ， 为常数，
因为 ，又 ，故 ，
所以 ，
若 在区间 内存在零点，
则 在区间 内存在零点，
整理得 ，
设 ，则 ，
令 得 ，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 处取得极小值，也是最小值， ，
故 时， 成立，
即存在 ，使得 有解，即 有解，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
第 11页/共 23页
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 处取得极小值，也是最小值，
又 ，故 ，
所以 ，故实数 m 的取值范围 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用函数 与导函数 的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调
性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：
比如：若 ，则构造 ，
若 ，则构造 ，
若 ，则构造 ，
若 ，则构造 .
四､解答题（本题共 5 小题，解答题需写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳之间的关联性， 随机调查了某中学的 100 名学生， 整理得到如
下列联表:
男学生 女学生 合计
喜欢跳绳 45 25 70
不喜欢跳绳 15 15 30
合计 60 40 100
（1）依据 的独立性检验，能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联？
（2）现按照性别比例，采用分层抽样的方法，从这 100 名学生中抽取 5 名，再从这 5 名学生中选出 2 名参
加运动会的跳绳项目，记这两名学生中男生的人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
第 12页/共 23页
附: ，其中 .
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
【答案】（1）不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关；
（2）分布列见解析，数学期望为 .
【解析】
【分析】（1）求出 的观测值，与临界值比对即可得解.
（2）求出 5 人中男女生人数，再求出 的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望.
【小问 1 详解】
零假设 ：学生的性别和是否喜欢跳绳无关，
根据列联表中数据经计算得 ，
根据小概率值 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，
即不能认为学生的性别与是否喜欢跳绳有关.
【小问 2 详解】
依题意，抽取的 5 名学生中有男生 3 名，女生 2 名， 的可能取值为 0，1，2，
，
所以 的分布列为：
0 1 2
数学期望 .
16. 如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形， 分别为 中点．
第 13页/共 23页
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，平面 平面 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2） .
【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，根据已知证明 ，再由线面平行的判定证明结论；
（2）取 中点为 中点为 ，连接 ， ，构建合适的空间直角坐标系，标出相关点坐标，并
求出相关平面的法向量，再由夹角公式求二面角的余弦值.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ， ，
三角形 中， 分别为 中点，则 且 ，
又正方形 中， 为 中点，则 ，
且 ，四边形 为平行四边形，故 ，
由 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
【小问 2 详解】
取 中点为 中点为 ，连接 ， ，
中 ，则 ，
平面 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
第 14页/共 23页
所以 平面 ，又四边形 为正方形，则 ，
以 所在直线分别为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，则 ，
，设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，所以 ，
取 ，则 ，可得 ，
设平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ．
由图，二面角 为锐角，所以其余弦为 ．
17. 在 中，角 所对的边分别为 ，且
（1）求角 ；
（2）若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围：
（3）若 ，点 在边 上，且 ，求 的面积：
【答案】（1）
（2）
第 15页/共 23页
（3）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，再根据三角恒等变换得 ，得解；
（2）利用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解；
（3）由 结合 ，利用向量数量积运算求得 ，进而求得 的面积.
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
又 ，则 ，
，
，即 ，
又 ，得 ，又 ，
.
【小问 2 详解】
由 ， ，则 ，
，
，
因为 为锐角三角形，所以 ，得 ，
，故 ，即 ，
所以 ，
第 16页/共 23页
所以故 的周长的取值范围为 .
【小问 3 详解】
，点 在边 上， ，
，
，
，即 ，解得 ，
所以 的面积 .
18. 已知函数 ，
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）讨论函数 的零点个数；
（3）对任意的 恒成立，求 的取值范围；
【答案】（1）答案见详解
（2）答案见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）求导后分类讨论 与 的大小关系，由此可分析出 的单调区间；
（2）将问题转为“讨论 与 的图象交点个数”，根据条件作出 的图象，由此
可分析出 的零点个数；
（3）先分离参数将问题转化为 ，然后构造函数 ，利用导数结
合隐零点的分析方法求解出 ，则 的取值范围可知.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 ，
第 17页/共 23页
令 ，解得 或 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，则 ，若 ， ，则 在 上单调递增，
若 ， ，则 在 上单调递减，
若 ， ，则 在 上单调递增；
当 时，则 ，若 ， ，则 在 上单调递增，
若 ， ，则 在 上单调递减，
若 ， ，则 在 上单调递增；
综上所述，当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
【小问 2 详解】
的零点个数即为方程 解的个数，
则 的零点个数即为 与 的图象交点个数；
令 ，则 ，令 ，解得 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 ， 时， ，且 时， 恒成立，
作出 的图象如下图所示，
第 18页/共 23页
当 ，即 时， 与 的图象无交点，所以 无零点，
当 或 ，即 或 时， 与 的图象有 个交点，
所以 有 个零点，
当 ，即 时， 与 的图象有 个交点，
所以 有 个零点；
综上所述，当 时， 无零点；
当 或 时， 有 个零点；
当 时， 有 个零点.
【小问 3 详解】
因为 对任意 恒成立，所以 对任意 恒成立，
所以 ，令 ， ，
令 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
又因为 ， ，
所以 存在唯一零点 且 ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
第 19页/共 23页
当 时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ， ，
当 时， ，所以 上单调递增，
又因为 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
即 的取值范围是 .
19. 已知椭圆 过点 ，离心率为 ，
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过椭圆 的右焦点 作相互垂直的直线 与椭圆 分别交于 四点，设线段
的中点分别为 ，
①证明：直线 过定点，并求出定点的坐标；
②求四边形 面积的最小值；
【答案】（1）
（2）①过定点 ，证明见解析；② .
【解析】
第 20页/共 23页
【分析】（1）依题意得到关于 、 、 的方程组，解得即可求出椭圆方程；
（2）①根据直线 的斜率进行分类讨论，根据根与系数关系分别求出中点的坐标，进而可判断直线过定
点.
②由弦长公式可得 ，再由 直接计算四边形的面积，由基本不等式可得最小值.
【小问 1 详解】
因为椭圆 过点 ，离心率 ，且.
所以 ，由 ，即 ，得 ，
代入 ，得 ，解得 ，所以 .
故椭圆 的标准方程为 .
【小问 2 详解】
①当直线 的斜率存在且不等于零时，设斜率为 ，因 ，所以直线 的斜率为 .
因为右焦点 ，直线 的方程为 ，设 .
由 ，消去 得， .
， ，
所以线段 的中点 M 的坐标 ， ，即
.
同理将直线 的方程 ，代入椭圆方程 ，同理可得（只需将 换成 ），
第 21页/共 23页
所以线段 的中点 N 的坐标 ， ，即 .
所以 的斜率 ，其中 ，
所以直线 的方程为 ，
化简得 ，即 ，
所以当 ，直线 ： 过定点 .如图：
当 时， ，此时直线 与 轴垂直且过定点 ；
当 时， ，此时直线 仍与 轴垂直且过定点 ；
当直线 的斜率不存在时， 与 轴垂直且过焦点 ，根据椭圆的对称性可知 ，
此时 为椭圆的长轴，所以 ，所以直线 为 轴，过定点 ；
当直线 的斜率为 0 时， 与与 轴垂直且过焦点 ，根据椭圆的对称性可知 ，
此时 为椭圆的长轴，所以 ，所以直线 为 轴，过定点 ；
综上可知，直线 过定点 .
②当直线 斜率存在且不等于零时，
由①可知，
第 22页/共 23页
同理可得（只需将 换成 ） ，因为 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，即 时，四边形 面积有最小值 .
当直线 的斜率不存在时，或者斜率等于零时 与 位置互换，
此时， ， 或者 ，
所以 ，显然 .
综上可知，所以四边形 面积有最小值 .
第 23页/共 23页