河南省焦作市普通高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省焦作市普通高中2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．椭圆的焦距为（ ）
A．B．6C．D．2
3．已知直线与垂直，则实数的值为（ ）
A．1B．C．D．
4．从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机一次性抽取2张，则抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．从点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为，过点作直线与交于，两点，线段的中点为，过点作轴的垂线交于点，若，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为纯虚数
B．若，则为实数
C．对任意的复数均有
D．对任意的复数均有
10．在直三棱柱中，，，为棱的中点，为棱上的动点（与端点不重合）.以为坐标原点，垂直于平面的直线为轴，直线、分别为、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A．点关于平面的对称点的坐标为
B．的取值范围为
C．存在点，使得平面的一个法向量为
D．若，则点到平面的距离为
11．已知双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与交于另一点，的中点为，为坐标原点，则下列说法错误的是（ ）
A．存在点，使得直线的斜率为2
B．存在点，使得
C．存在点，使得
D．存在点，使得点的横坐标为
三、填空题
12．函数的最小正周期为 .
13．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于A，B两点，若，则 .
14．在如图所示的四棱锥中，底面为正方形，底面，，，若、分别是棱、上的动点（均与端点不重合），且，则点到直线的距离的最小值为 .
四、解答题
15．在中，角、、的对边分别为、、.已知.
(1)求；
(2)若，，点在边上，且，求
16．已知圆的圆心在直线上，且圆与直线相切于点.
(1)求圆的方程；
(2)过原点的直线交圆于A，B两点，且，求直线的方程.
17．已知双曲线的渐近线方程为，焦距为6.
(1)求的方程；
(2)过点的直线与交于M，N两点，若以为直径的圆过坐标原点，求的方程.
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求；
(3)若，求直线与平面所成角的正弦值.
19．已知椭圆的离心率为，且过点.
(1)求的方程.
(2)过点的直线（不与轴重合）与交于M，N两点，是的右焦点.
（i）证明：；
（ii）求面积的最大值.
1．B
根据集合的交集运算求解.
【详解】，，
.
故选：B.
2．C
由椭圆方程确定，即可求解.
【详解】由题意，可得，，则，即，
所以椭圆的焦距为.
故选：C.
3．A
根据两直线垂直的充要条件列式求解.
【详解】由题可得，，解得.
故选：A.
4．C
利用组合计数求出从4张卡片中抽取2张及抽到的2张卡片编号之和为奇数的选法，利用古典概率公式求解.
【详解】从4张卡片中抽取2张共有种选法，
抽到的2张卡片编号之和为奇数，即一奇一偶，共种选法，
所以抽到的2张卡片编号之和为奇数的概率.
故选：C.
5．A
利用幂函数的单调性判断大小及范围，利用对数函数的单调性判断的范围，得解.
【详解】因为在上单调递增，所以，
又由对数函数的图象可得，，
所以.
故选：A.
6．D
设切点为，连接、，则，利用勾股定理和二次函数的基本性质可求得的最小值.
【详解】设切点为，连接、，则，
易知圆心为，圆的半径为，
由勾股定理可得
，
当且仅当时，等号成立，故切线长的最小值为.
故选：D.
7．D
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的大小.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、，
所以，，则，故，
所以异面直线与所成角的大小为.
故选：D.
8．B
由题可得轴，得，设出直线方程与抛物线方程联立，得，进而求得答案.
【详解】由，易知轴，则，
显然直线的斜率存在，设直线，，，
将直线方程代入抛物线，消去，整理得，
，故，即，解得.
所以直线的斜率为.
故选：B.

9．BC
举反例判断A，D；根据复数运算及复数的概念判断B；根据复数模的运算及复数的乘法运算判断C即可.
【详解】对于A，当时，，但不是纯虚数，故A错误；
对于B和C，设，则，
若，则，所以为实数，故B正确；
而，
故，故C正确；
对于D，不妨取，则，
但，不满足，故D错误．
故选：BC.
10．ACD
利用点关于坐标平面的对称性可判断A选项；设，其中，利用空间向量数量积的坐标运算可判断B选项；利用平面法向量的概念可判断C选项；利用空间向量法可判断D选项.
【详解】在中，，，
由余弦定理可得，
因为，故，
由图可得、、、、、、，
对于A选项，点关于平面的对称点的坐标为，A对；
对于B选项，，
设点，其中，则，
所以，B错；
对于C选项，假设存在点，使得平面的一个法向量为，
则，解得，符合题意，C对；
对于D选项，若，则，由C选项可知，此时平面的一个法向量为，
且，则点到平面的距离为，D对.
故选：ACD.
11．ABD
对于A，找到渐近线斜率即可判断；对于B，利用，求出A点的横坐标，然后结合条件检验即可判断；对于C，将转化成两点间距离公式，求出A点的横坐标在符合题目范围内即可判断；对于D，利用点差法得，进而判断出不存在点使得等式成立.
【详解】设点，，，，
由题知离心率，解得，
故有，双曲线C的渐近线为，
对于A选项，如果存在点，使得直线的斜率为2，
直线与渐近线平行，不会与双曲线有两个交点，故A错误；
对于B选项： ，，若，即，
可得，即：（①），
而位于双曲线右支上，其中，
故有：，即：（②），
联立①②两个等式可得：，又，此时，由选项A可知不合题意，故B选项错误；
对于C选项：由，即：，化简得：，由点在的右支上可知：，故存在点，使得，故C选项正确；
对于D选项：设，，，
而，带入化简得：，而，
故，可知不存在这样的点M使等式成立，
故不存在点，使得点的横坐标为，故D选项错误.
下面为证明：，
的中点为，根据中点坐标公式可知，故，
，故，
而，两点均位于双曲线上，故： （③）
（④），用③减④得：，
化简得，故，证毕.
故选：AD
12．4
利用三角函数周期公式求解.
【详解】由题，函数的最小正周期.
故答案为：4.
13．6
由抛物线定义结合相似三角形列式求解.
【详解】如图，设直线与抛物线准线交于点，抛物线准线与轴交于点，
分别过点作准线的垂线，垂足分别为，
由抛物线定义可得，由已知,，设，
由，得，即，解得，
又，得，即，解得，即.
故答案为：6.
14．/
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得点到直线距离的最小值.
【详解】因为四边形为正方形，底面，，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
设，则、、，
，，
故点到直线距离为
令，
因为函数在上单调递增，
故当时，即当时，取最小值，即.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）利用两角和的正切公式结合诱导公式可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）由余弦定理可得出关于的等式，结合可得出的值，根据题意可得出的长，然后在中利用余弦定理可求得的长.
【详解】（1）由两角和的正切公式可得，
即，故，
因为，故.
（2）由余弦定理可得，即，即，
因为，解得，
因为点在边上，且，故，
在中，，，，
由余弦定理可得，
故.
16．(1)
(2)或
（1）根据题意求出圆心坐标和半径，得解；
（2）利用弦心距、弦和半径的关系求出弦心距的长，然后分直线的斜率存在和不存在两种情况，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.
【详解】（1）设，圆与直线相切于点，故，
又圆在直线上，故，
所以圆心的坐标为，半径，
所以圆的方程为.
（2）由，，则圆心到直线的距离，
当直线的斜率不存在时，直线符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线，即，
所以圆心到直线的距离，解得，
所以直线的方程为；
综上，直线的方程为或.
17．(1)
(2)或
（1）根据题意建立的方程组，求出进而即得；
（2）设，与双曲线方程联立得，，结合求得的值，进而即得直线方程.
【详解】（1）由题，可得，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）由题，直线的斜率一定存在，设，，，
联立，消去，整理得，
，即，，，
若以为直径的圆过坐标原点，则，
，
整理得，
，解得，满足，
所以直线的方程为或.

18．(1)证明见详解
(2)
(3)
（1）由平面得，结合，根据线面垂直的判定定理得证；
（2）取的中点，由题可得，平面，是直角三角形，利用勾股定理求解；
（3）以点为坐标原点，为轴，过点在平面内垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求出答案.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，
又，平面，，
所以平面.
（2）取的中点，连接，
，，，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，，
由平面，平面，所以，
所以是直角三角形，故，
由（1），平面，又，所以平面，
平面，所以，即是直角三角形，
所以.
（3）由（1），平面，平面，则平面平面，
如图，以点为坐标原点，为轴，过点在平面内垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，
由，结合是直角三角形，可得，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．(1)
(2)（i）证明见详解，（ii）.
【详解】（1）由题，可得，解得，，
所以椭圆的方程为.
（2）（i）设直线，，，，
联立，消去，整理得，
，得，
，，
所以直线的斜率，直线的斜率，
，
又
，
所以，即.

（ii）由，
由于，则，
，
令，则，
，
当且仅当，即，即时，等号成立，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
C
A
D
D
B
BC
ACD
题号
11









答案
ABD