河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学（A）试卷（Word版附解析）

这是一份河南省百师联盟2025-2026学年高二上学期12月联考数学（A）试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列的通项公式为，则下列各数不是数列的项的是（ ）
A．2B．4C．8D．80
2．已知点，若直线与互相垂直，则实数的值为（ ）
A．8B．10C．6D．4
3．在等差数列中，为其前项和．若，则（ ）
A．205B．410C．230D．460
4．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且（为坐标原点）．若，则焦点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．已知椭圆的左、右焦点分别为．记以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知点，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面可以表示为集合．设，则,，所以平面的方程为．若点在方程为的平面内，点在平面外，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为6，离心率为．过点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则当时最小
D．若，则
10．已知公比为的正项等比数列的前3项和为，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．数列是递减数列D．
11．已知菱形的边长为，沿对角线将折起，得到如图所示的三棱锥．设，是棱上靠近的三等分点，是的中点，且，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．棱的长为
D．异面直线与所成角的余弦值为
三、填空题
12．在等比数列中，，则 ．
13．已知点在双曲线的一条渐近线上,则双曲线的离心率为 ．
14．设数列的前项和为，且，则的最小值为 ．
四、解答题
15．已知等差数列的公差，且成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前项和为，求证：．
16．已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)设动点的轨迹是曲线，求曲线的方程并指出曲线是什么曲线；
(2)已知点为曲线上任意一点，是圆的直径，求的取值范围．
17．已知数列满足．设，数列的前项和分别为．
(1)证明：为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)求和．
18．已知圆的半径为2，圆心在直线上，且圆被轴截得的弦长为4，直线与圆交于两点．
(1)求圆的标准方程；
(2)弦长是否有最大值？何时弦长最小？当弦长最小时，求直线的方程及弦长；
(3)直线过点，且，直线与圆交于两点，求四边形面积的最大值．
19．如图，在四棱锥中，四边形为矩形，，．平面平面为的中点，点为线段上的动点（点不与点重合）．
(1)求证：平面．
(2)当时，求证：平面．
(3)是否存在点，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
1．B
根据数列的概念和通项公式进行验证即可.
【详解】因为，
所以．
而，，
所以4不是数列的项.
故选：B．
2．C
根据给定点的坐标求出直线与斜率，利用直线与互相垂直其斜率乘积等于即可求得.
【详解】依题意，直线的斜率，直线的斜率；
因为，所以，即，解得.
故选：C．
3．A
根据等差数列的下标和性质得出，再利用等差数列的前项和公式求出.
【详解】因为，所以，
由等差数列的性质得，
所以．
故选：A．
4．C
方法一：根据抛物线的定义及直角三角形的性质得焦点到准线的距离为，即，从而求得焦点的坐标；方法二：过点作轴，利用直角三角形的性质可求出点的坐标，代入抛物线方程化简可求出，从而可求出焦点坐标.
【详解】方法一：由抛物线的对称性，不妨设点在轴上方．设抛物线的准线与轴的交点为，则．
过点作轴于点，作准线于点，则四边形是矩形.
因为，所以．
在Rt中，因为，所以.
所以．
因为焦点的坐标为，所以焦点的坐标为．
方法二：过点作轴于点，
在Rt中，因为，
所以，.
所以点的坐标为，
代入抛物线方程得，整理得.
因为，所以，所以焦点的坐标为．
故选：C．
5．A
利用椭圆的定义以及，设，用表示出来，在中解三角形可把用表示出来，即得答案.
【详解】设，则，由椭圆的定义，得．
因为以为直径的圆与椭圆在第一象限的交点为，所以．
在中，，即．
所以离心率．
故选A．
6．B
根据圆的定义、直线与圆的位置关系进行求解即可.
【详解】因为，所以点在以为直径的圆上，记为圆．
因为，所以，圆的半径．
因为点在直线上，所以直线与圆有公共点，
所以圆心到直线的距离，
即，化简得，解得，
即实数的取值范围是．
故选：B
7．C
由题意可得平面方程，然后得出法向量，最后用空间向量线面角公式计算.
【详解】因为点在平面内，所以，解得，
所以平面,由题意得平面的一个法向量为．
因为，所以，
设直线与平面所成的角为，
则，
故选：C
8．D
先根据已知条件求出双曲线方程，然后求出直线的方程，联立直线方程与双曲线方程，根据韦达定理求出的值.
【详解】由题意得，所以，所以，
所以双曲线的方程为．
因为，直线过点且倾斜角为，所以直线的方程为．
与双曲线的方程联立，消去，整理得．
解得，所以．
故选：D．
9．BCD
对于A，根据等差数列基本量计算即可；对于B，由等差数列的性质可得即可；对于C，由等差数列的单调性，时，，当时，即可判断；对于D，由等差数列前项和性质，为等差数列即可求解．
【详解】因为，所以，解得，故A错误．
因为，所以，所以．故B正确．
因为，所以当时，，当时，，所以当时最小．故C正确．
由等差数列的性质，得是公差为的等差数列，
即是等差数列．
因为，所以成等差数列，
即，解得．故D正确．
故选：BCD．
10．ABD
对于AB，根据题意列出方程组求解即可；对于CD，由求出的等比数列通项公式即可判断．
【详解】对于AB，由题意得且，，
由得，由得，
所以，化简得，
解得或（舍），将2代入，解得，故AB正确；
对于C，由AB选项可知，，所以数列是递增数列，故C错误；
对于D，法一：由等比数列的性质，得，因为，所以；
法二：因为，所以，所以；
故D正确．
故选：ABD．
11．ABD
由题可得，根据空间向量线性运算法则可表示出，判断A；由数量积的定义及运算律可判断B；由余弦定理可求得，判断C；根据异面直线所成角的向量求法可求得异面直线与所成角的余弦值，判断D.
【详解】因为是棱上靠近的三等分点，是的中点，所以．
因为，所以．
因为，所以，故A正确．
因为菱形的边长为，所以．
因为，所以
，解得，故B正确．
因为，所以．
在三棱锥的侧面中，由余弦定理得，所以，故C错误．
因为，所以，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故D正确．
故选：ABD．
12．729
先根据，求出等比数列的公比，再由求出.
【详解】设等比数列的公比为．
因为，所以，所以．
所以
故答案为：
13．
由点在双曲线的渐近线上，即可求得与的关系，代入离心率公式计算即得.
【详解】因双曲线的渐近线方程为，
由点在渐近线上，即，所以，
所以离心率．
故答案为：.
14．
根据题意得出数列是常数列，进而求出，再利用等差数列的前项和公式求出，最后利用基本不等式求最值.
【详解】因为，所以，所以数列是常数列，
因为，所以，所以，故数列为等差数列，
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为：
15．(1)
(2)证明见解析
（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可；
（2）运用裂项相消法进行计算证明即可.
【详解】（1）由题意，得且，
解得
所以.
（2）证明：由（1）得，因为，
所以.
则
因为，所以，所以.
16．(1)曲线的方程为，曲线是椭圆.
(2).
（1）利用条件，建立方程，化简，即可求曲线的轨迹方程；
（2）利用向量运算转化，再利用坐标配方法求最值．
【详解】（1）因为，
所以由题意得.
两边平方并化简，得，所以.
所以曲线的方程为，曲线是椭圆.
（2）由圆的方程知，圆的圆心为，半径为2.
设，则，所以.
因为是圆的直径，所以，
所以
.
因为，
所以.
因为，所以，即的取值范围是.
17．(1)证明见解析，
(2)，
（1）根据题意得，等式两边取倒数，得，再通过配凑即可求证；
（2）分组求和法求，再利用错位相减法求.
【详解】（1）由得，
因为，所以，所以.
等式两边取倒数，整理得，所以，即.
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列.
所以，即，所以.
（2）由（1）可知.
所以
，
两式作差，得.
所以.
18．(1)
(2)没有最大值；有最小值，直线轴时，弦长最短，的方程为，最短弦长为
(3)7
【详解】（1）因为圆的半径，且被轴截得的弦长为4，所以圆心在轴上，
又因为圆心在直线上，令，解得，所以圆心，
所以圆的标准方程为．
（2）由直线的方程知，若直线的斜率存在，则；
直线恒过定点，且此定点在圆内，如图所示，
当弦为圆的直径时，弦最长，即的值最大，
此时直线为轴，斜率，又直线的斜率，所以弦长没有最大值；
当直线轴时，弦长最短，此时直线的方程为，
此时圆心到直线的距离为1，
所以最短弦长．
（3）由（2）知，直线恒过点，如图所示，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，则直线的方程为，
由（2）知，，
弦是圆的直径，所以，
所以四边形的面积；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
则直线的方程为，
因为圆心到直线的距离，
所以，
同理得，
所以四边形的面积
，
令，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
由，解得，即；
因为，所以四边形面积的最大值为7．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，或.
【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接.
因为四边形是矩形，所以为的中点．
又因为为的中点，所以在中，.
因为平面平面，所以平面.
（2）证明：因为，所以．
又因为平面平面，平面平面平面，
所以平面.
因为平面，所以．
因为，所以两两垂直．
以点为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以.
因为，所以．
因为
，
所以，即.
又因为平面平面，
所以平面.
（3）解：设，
则．
设平面的法向量为，
则
即
令，则，
所以，
取平面的法向量，
则
，
化简得，解得或．