河南省部分高中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）（北师大版）

这是一份河南省部分高中2025-2026学年高一上学期12月联考数学试卷（Word版附解析）（北师大版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．下列命题中，正确的是( ).
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
3．“”是“函数是幂函数”的（ ）
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
4．某校从500名同学中用随机数法抽取30人参加这一项调查．将这500名同学编号为001，002，…，500，假设从第1行第4列的数字开始，则第4个被抽到的同学的编号为（ ）
3484 4217 5572 1754 5560 8331
0474 4767 2176 3350 2583 9212
0676 6301 6378 5916 9555 6719
A．331B．047C．455D．447
5．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
6．设函数，则使得成立的的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知函数，若关于的方程有4个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（ ）
A．该校高一学生总数为600
B．该校高一学生中选考物化政组合的人数为80
C．该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多
D．用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取4人
10．已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．.D．
11．已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．的图象关于点中心对称
C．
D．
三、填空题
12．样本数据20，24，6，15，18，10，42，57，2，7的40%分位数为 ．
13．当生物体死亡后，它机体内原有的元素含量会按确定的比率衰减.刚死亡的生物体某元素含量为，经过天后元素含量与时间（天）的关系式为：.已知生物体死亡10天后，它机体内该元素含量变为，则生物体死亡 天后，它机体内该元素含量变为.
14．已知函数，则的最小值是 .
四、解答题
15．已知集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)已知，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16．某地区有小学生人，初中生人，高中生人，教育局组织“人工智能科普”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；
(2)成绩位列前%的学生平台会生成“人工智能科普达人”优秀证书，试估计获得“人工智能科普达人”的成绩至少为多少分；
(3)已知落在内的平均成绩为，方差是，落在内的平均成绩是，方差是，求落在内的平均成绩和方差.
附：设两组数据的样本量，样本平均数和样本方差分别为：.记两组数据总体样本平均数为，则总体样本方差
17．某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）；
(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？
18．已知函数是定义在上的奇函数.
(1)求实数的值.
(2)若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.
(3)是否存在实数，使得在区间上的取值范围是？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.
19．已知函数，若对于其定义域中任意的非零实数，都有，就称函数为“JC函数”.
(1)已知，判断是否是“JC函数”，并说明理由；
(2)已知函数是定义在上的“JC函数”，函数在上单调递增，判定并证明函数在上的单调性；
(3)若函数是“JC函数”，且定义域为，已知时，，求函数的解析式，并指出方程是否有正整数解？若有整数解，请求出；若没有整数解，请说明理由.
1．A
求出集合，再利用交集的定义运算.
【详解】由，得，故，
因，则.
故选：A
2．C
利用不等式的基本性质解决此问题即可.
【详解】对于A，因为，所以，故A错误；
对于B，当时，，故B错误；
对于C，因为，所以，所以，故C正确；
对于D，若，，则，所以，故D错误.
故选： C.
3．B
根据幂函数的定义以及充分、必要条件等知识确定正确答案.
【详解】若函数是幂函数，则，解得或，
所以“”是“函数是幂函数”的充分不必要条件.
故选：B
4．A
由随机数法概念即可求解.
【详解】由题意，依次读取的三个数字编号分别是442，175，572，175，455，608，331，047，
剔除一个重复数据175和超过500的数据572，608，
所以符合条件的前5个编号是442，175，455，331，047，
所以第4个是331．
故选:A
5．A
利用中间值法和幂函数的单调性比较大小.
【详解】因为.
又因为，且在上单调递增，，
所以，即.综上，.
故选：A.
6．B
利用偶函数的定义得到 是偶函数.求出当时和的单调性，从而得到当时的单调性，利用 是偶函数将转化为，利用当时的单调性，解出不等式，即可得解.
【详解】的定义域为，
所以是偶函数.当时，单调递减，单调递增，
所以单调递减，则等价于，
所以，，解得或.
所以实数的取值范围是.
故选：B.
7．A
根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，函数在上单调递增，
所以当时，，即，
显然不存在最小值，不符合题意，
当时，当时，，
当时，函数单调递增，则有，
因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意；
当时，函数在上单调递减，
所以当时，，即，
当时，函数单调递增，则有，
要想存在最小值，只需，而，所以；
当时，函数在上单调递减，
所以当时，，即，
当时，函数单调递减，则有，
因此函数存在最小值，最小值为，
综上所述：，
故选：A
8．A
由题意或，作出的图象，数形结合求得有三个不同的实数根，从而结合图象求得有一个实数根时的取值范围.
【详解】由，
得，所以或.
作出的图象，如图.
因为函数的图象与直线有三个交点，所以有三个不同的实数根.
所以必须有一个实数根，即函数的图象与直线有一个交点.
由图可知，
所以实数的取值范围为.
故选：A.
9．BCD
A：由扇形图和条形图中选政史地的人数和占比即可求出高一学生总数；B：结合扇形图和条形图即可计算；C：直接计算比较即可；D：利用分层抽样的原理即可求解．
【详解】A：由扇形图和条形图可知，选政史地的人数为200，占比25%，
∴该校高一学生总数为人，故A错误；
B：由扇形图知，选择物化生的人数为，
∴选择物化地和物化政的人数为，
又∵选考物化地和物化政组合的人数相等，
∴选考物化地和物化政组合的人数均为，故B正确；
C：该校高一学生中选考物理的有人，选考历史的有人，选考物理的人数比选考历史的人数多，故C正确；
D：∵选考生史地的学生人数占比为，∴用分层随机抽样的方法从该校高一学生抽取20人，则生史地组合抽取人，故D正确．
故选：BCD．
10．ACD
对于A，利用基本不等式判断；对于，利用基本不等式结合指数幂的运算判断；对于C，令，
利用“1”的代换判断；对于 由，结合选项A判断.
【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故A正确；
对于，当且仅当，即时等号成立，故B错误；
对于C，令，则，
，
当且仅当，即时取等号，故C正确；
对于，
因为，所以，由A知，
所以，当且仅当时取等号，所以成立，故D正确.
故选：ACD.
11．BCD
根据函数的递推关系推导出函数的奇偶性、周期性、对称性，然后逐项进行分析推导求值即可.
【详解】因为是偶函数，所以，
则，所以.
选项A，当时，，又因为，所以，
由，得，所以，故A错误；
选项B，由，得，
两式相加得，
化简得，即，
又因为，所以，
所以的图象关于点中心对称，故B正确；
选项C，由B知，，即，所以，
所以，故是以6为一个周期的周期函数，
所以，故C正确；
选项D，由B知，，所以，，
，
所以，
由A知，，.
由得，，所以.
所以.
则
，故D正确.
故选：BCD.
12．
根据百分位数的计算方法计算即可．
【详解】将数据从小到大排列为2，6，7，10，15，18，20，24，42，57，共10个数，
，
∵4为整数，∴分位数为第四个数与第五个数的平均数．
故答案为：12.5．
13．20
根据题意列出等式，求出值，得到函数解析式，进而可求得结果.
【详解】由题意，得，解得，则.
由，即，解得.
故答案为：20.
14．4
先求证，再结合基本不等式可求最值.
【详解】由，得或，故的定义域为，
因，
则，
所以，
所以
，
若，则，等号成立时；
若，则，等号成立时；
故，等号成立时，
则，
当且仅当时等号成立，
所以最小值为4.
故答案为：.
15．(1)
(2)
（1）先由集合的运算，得到两个集合的关系，再分和两种情况讨论，最后取两种情况的并集；
（2）先由是的充分不必要条件，得到是的真子集，再根据集合的关系列不等式求解．
【详解】（1）因为，所以，
当时，此时满足，则，解得；
当且，则，解得，所以，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，
则，其中不同时取等号，解得，
所以实数的取值范围是．
16．(1)
(2)
(3)
（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解；
（2）依题意可知题目所求是第%分位数，先判断第%分位数落在哪个区间再求解即可；
（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.
【详解】（1）一至六组的频率分别为，
所以，平均数为.
由图可知，众数为.
因此，以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为分，众数为分.
（2）前组的频率之和为，
前组的频率之和为，
第%分位数落在第组，设为，则，解得.
“人工智能科普达人”的成绩至少为分.
（3）的频率为，的频率为，
所以的频率与的频率之比为，
的频率与的频率之比为，
设内的平均成绩和方差分别为，
依题意有，解得，
，解得，
所以内的平均成绩为，方差为.
17．(1)
(2)当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元
（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式；
（2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润.
【详解】（1）由题意，当时，，所以.
当时，
当时，
.
所以年利润关于年产量的函数关系式为
（2）由（1）得，
当时，，
当时，；
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
.
因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元.
综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元.
18．(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，所以，
即，解得.所以.
由，可知函数是奇函数，所以.
（2）因为，且是上的奇函数，
所以（*）.
由（1）知，，
由指数函数性质得，在上恒正且单调递增，故函数在上单调递增.
则由（*）得成立，即成立.
设，则，
所以，
所以.
设，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
即实数的取值范围是.
（3）由（2）知，函数在上单调递增，
设存在实数，使得函数在区间上的取值范围是，
则即
所以方程，即有两个不相等的实数根，
即方程有两个不相等的实数根.
令，则，故方程有两个不相等的正根，
结合韦达定理，可得解得，
所以实数的取值范围为.
19．(1)不是，理由见解析
(2)单调递增，证明见解析
(3)，有，9
【详解】（1）由于不恒成立，
所以不是“JC函数”.
（2）函数在上单调递增.
由函数是定义在上的“JC”函数，得，即，
任取，则，
由，得，由在上单调递增，得，
则，即，
所以在上单调递增.
（3）当时，，则当时，，
，当时，，解得，
所以函数的解析式为；
而，则方程有正整数解9，
又函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
因此方程有唯一正整数解，