河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学试卷（Word版附解析）

这是一份河南省豫北名校2025-2026学年高二上学期阶段性测试（二）数学试卷（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
2．在1与64之间插入3个正数，使这5个数成等比数列，则该数列的公比为（ ）
A．2B．C．4D．8
3．已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
4．记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A．7B．9C．D．
5．已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（ ）
A．外切B．相交C．内切D．内含
6．如图，在四棱锥中，平面平面，，为的中点，则点到平面的距离为（ ）

A．B．C．D．
7．已知抛物线的焦点为，点在上且均位于第一象限，若，且直线的斜率为，则（ ）
A．6B．C．D．8
8．已知数列中，，设，则数列的前30项和为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知直线和圆，则下列说法正确的是（ ）
A．若直线过圆的圆心，则B．若，则直线与圆相交
C．若直线与圆相切，则D．圆心到直线的最大距离为
10．记为数列的前项和，已知，则（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．D．
11．如图，在正方体中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ）
A．是平面的一个法向量
B．当时，
C．若是平面的一个法向量，则恒成立
D．直线与所成角的余弦值的最大值为
三、填空题
12．记为等比数列的前项和，若（为常数），则 ．
13．已知点分别在直线和上，若的中点恰好在直线上，则点的坐标为 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为 ．
四、解答题
15．已知抛物线上一点到其焦点的距离为3．
(1)求的方程；
(2)若直线与C交于两点（与坐标原点不重合），且满足，求与轴的交点坐标．
16．记正项等比数列的前项和为，已知．
(1)求；
(2)证明：对任意正整数，总存在正整数，使得成等差数列．
17．已知数列满足，．
(1)证明数列是等差数列，并求的通项公式；
(2)若数列满足，求的前项和；
(3)设，求数列中的最小项．
18．如图，正方形与梯形所在平面垂直，．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
(3)若点满足，且平面与平面的夹角的余弦值为，求的值．
19．已知椭圆的右焦点为，离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左、右顶点分别为，点在第一象限且，直线与的另一个交点为，以为直径作圆，判断直线与该圆的位置关系；
(3)设是轴正半轴上的一点，直线与交于两点，求的取值范围．
1．C
确定双曲线的标准方程，求出的值，即可求得答案.
【详解】由双曲线可得其标准方程为，
故，
故双曲线的离心率为，
故选：C
2．B
由已知结合等比数列的性质即可直接求解．
【详解】设，则，
所以，
因为，所以
所以．
故选：B．
3．D
设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解.
【详解】设所求圆的方程是.
已知的三个顶点分别为，
因为，
且，所以是直角三角形，
所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心，
斜边的一半即为外接圆的半径，即，
所以的外接圆的方程为.
故选：D
4．A
利用等差数列的通项公式和前项和公式，结合已知条件求出首项和公差，进而求出．
【详解】是等差数列，设首项是，公差是，
，，
，，
，
，故A正确．
故选：A．
5．B
利用两圆的圆心距和两圆半径和差的关系，判断两圆的位置关系.
【详解】圆的圆心为，半径为；
圆的圆心为，半径为.
因为，，，，
所以圆与圆相交.
故选：B
6．A
利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离.
【详解】由取的中点为，连接，则，
因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：

由，则，
可得：，
又因为为的中点，所以，
即，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，所以，
则点到平面的距离为，
故选：A.
7．C
作出图象，由抛物线的定义结合勾股定理计算可得.
【详解】
如图，作垂直于准线上两点，作于，
由抛物线的定义可知，
所以，
又直线的斜率为，所以，即，
所以在中，.
故选：C.
8．B
由递推公式求出数列是周期数列，再结合等比数列求和公式求出数列的前项和.
【详解】因为，则，
且，所以，
所以是周期为3的周期数列，
因为，
设数列的前30项和为，
则数列的前30项和为
，
，
所以，
所以.
故选：B.
9．BD
确定圆心的坐标，根据直线经过点求的值，判断A的真假；根据点到直线的距离小于圆的半径求的取值范围，判断B的真假；根据点到直线的距离等于圆的半径求的值，判断C的真假；问题转化为直线过定点，圆心到直线的最大距离为圆心与定点的距离，判断D的真假.
【详解】对A：圆的圆心为，半径为2.
若直线过圆的圆心，则.故A错误；
对B：由.所以若，则直线与圆相交.故B正确；
对C：由或，所以若直线与圆相切，则或.故C错误；
对D：因为直线：，所以直线过定点，所以圆心到直线的最大距离.故D正确.
故选：BD
10．BCD
利用两式作差可得，再转化为，从而可判断B，通过求出和，可判断A，再利用等比数列求和可判断C，利用错位相减法求和可判断D.
【详解】由，可得：
，
两式相减得：，即，
所以为等比数列，故B正确；
再由，可得，
即，
当时，有，
由于不满足上式，所以，故A错误；
由
，故C正确；
由，
则，
两式相减得：
，故D正确；
故选：BCD
11．ACD
以为原点建系，利用坐标计算，再结合线面垂直的判定定理证明平面即可判断A；利用向量的加减运算化简即可判断B；求出的坐标，利用坐标计算即可判断C；求出，结合一元二次函数求最值判断D.
【详解】以为原点，分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，
则，
故，即，
又平面，故平面，
故是平面的一个法向量，故A正确；
当时，，
则
，
故B错误；
因为，所以，
设，则，不妨令，则，
又，则，故C正确；
因为，所以，
则，
又，则
，
令，所以，
令，则，
当时有最小值，此时有最大值，
故直线与所成角的余弦值的最大值为，故D正确.
故选：ACD
12．2
根据条件，求出，的值，根据等比中项的性质，即可得答案.
【详解】因为，所以，
，
因为为等比数列，
所以，即，解得.
故答案为：2
13．
先分析两条直线是平行关系，那么中点在两条平行直线等距的直线上，求出那条直线，然后与联立即可求出答案.
【详解】直线与直线是平行关系，所以的中点在两直线等距且平行的直线上，设，因为直线与直线和直线等距，所以，
又因为在直线又在直线上，所以，解得，，即.
故答案为：.
14．
由双曲线的性质和定义求出坐标，进而求出，结合已知条件求出点坐标，进而求出，再根据三角形内切圆的性质列方程求出内切圆半径，最后根据面积公式求解．
【详解】
双曲线的左、右焦点分别为，
，故，
，故，
点在双曲线的右支上且位于第一象限，则，
，
直线的斜率为，
直线的方程为，
联立直线与双曲线方程得，化简整理得，
解得或（时，，不合题意舍去），
，
，
，
设的内切圆半径为，圆心为，则，
即，
，解得，
的内切圆面积为．
故答案为：．
15．(1)
(2)．
（1）由题意结合抛物线的焦半径公式求出，即可得答案；
（2）设，的方程为，联立抛物线方程，可得根与系数的关系，结合，可得，即可求得的值，继而求出答案.
【详解】（1）因为抛物线上一点到其焦点的距离为3，
根据抛物线的定义，可知点到的准线的距离也为3，即得，即，
故的方程为．
（2）设，的方程为，由题意知，
由，得，需满足，
则
因为，所以，
解得或（舍去），
所以的方程为，与轴的交点坐标为．
16．(1)
(2)证明见解析
（1）根据条件求出公比和首项，再根据等比数列的通项公式求出；
（2）利用等比数列的求和公式求出，再利用等差中项求出即可.
【详解】（1）设正项等比数列的公比为，
因为，所以，解得或（舍去）．
由，代入得，所以，
故．
（2）由（1）得，
所以，
当时，，
即，
所以对任意正整数，只需令，
即使得成等差数列．
17．(1)证明见解析，
(2)
(3)．
（1）将取倒数后，根据等差数列定义求解即可；
（2）整理通项后，运用裂项相消求解；
（3）运用作商求出数列单调性，即可求出数列最小项.
【详解】（1）由题可知，则，即．
所以是公差为的等差数列．
所以，故．
（2），
则．
故
（3）由题意知，
则，
易知关于单调递增，当时，，当时，，
所以，
故数列中的最小项为．
18．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
（1）方法一：利用空间向量证明线线垂直即可；
方法二：连接，由面面垂直的性质定理和判定定理可得；
（2）方法一：利用空间向量方法证明线面垂直即可；
方法二：设与交于点，的中点为，连接，由中位线的性质结合线面平行的判定定理可得；
（3）分别求出平面和平面的法向量，代入空间二面角公式计算可得.
【详解】（1）方法一：因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，所以两两互相垂直，
故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
由已知得．
（1），
所以，所以．
方法二：如图，连接．
因为，平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，
所以．
因为四边形是正方形，所以，
又，，
所以平面，平面，
因此．
（2）设平面的法向量为，因为，
所以，取．
则，
又平面，所以平面．
方法二：设与交于点，的中点为，连接．
因为是的中点，是的中点，所以，且．
因为，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（3），则，
从而，所以．
设平面的法向量为，
则取．
易知平面的一个法向量为．
由题意知，
化简整理得，解得或（舍去）．
19．(1)
(2)直线与该圆相切
(3)
【详解】（1）由题意可知椭圆的半焦距.
由离心率为，可得，解得.
所以，所以椭圆的标准方程为；
（2）

由题意得．
设，则直线的方程为．
由消去得．
因为直线与的两个交点分别为和，
所以，得．
直线的斜率为，
直线的方程为，即．
的中点为，点到直线的距离，
所以直线与该圆相切；
（3）设直线的方程为，
由消去得，
所以.
则．
如图1所示，当点在椭圆上或外部时，，此时，

于是．
如图2所示，当点在椭圆内部时，，

所以，
令，则，
所以．