河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期中考试数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了 已知是数列的前n项和，，则， 若函数在时取得极大值0，则， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题可知，∴.
故选：D.
2. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，
所以，
所以.
故选：A.
3. 的展开式中常数项为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】的展开式的通项为，
令，得，所以常数项为．
故选：B．
4. 记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ）
A. 2B. 1C. D. 0
【答案】B
【解析】设数列的公差为d，因为，所以，
所以.
故选：B.
5. 已知底面半径为1的圆锥的体积为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设该圆锥的高、母线长分别为h，l，由题知，则，
所以，则该圆锥的侧面积.故选：D
6. 已知是数列的前n项和，，则（ ）
A. 2575B. 3435C. 4345D. 5135
【答案】B
【解析】由题知
.
故选：B
7. 若函数在时取得极大值0，则（ ）
A. B. 或C. D.
【答案】C
【解析】由题知，，
由在时取得极大值，∴，解得或，
经检验，当时，，
由，，所以在上单调递减；
由，，所以在上单调递增；
此时在时取得极大值，满足题意，故，
当时，，则在上单调递增，不符合题意，故舍去；
∴，将代入，解得，
所以.
故选：C.
8. 已知是椭圆的左焦点，经过坐标原点的直线与交于两点，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设为的右焦点，连接，，如图，则四边形为平行四边形，
∴，由椭圆定义知，，
∴，.
在中，，
∴.
在中，
.

故选：C.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 是的周期
B. 在区间上单调递减
C. 奇函数
D. 在区间上恰有2个零点
【答案】ACD
【解析】由题知，，所以最小正周期，故A正确；
当时，，令，
则在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故在区间上先减后增，故B错误；
为奇函数.故C正确；
令，得，，
∴，，当时，，当时，，均是在区间上的零点，故D正确.
故选：ACD.
10. 已知数列的通项公式是，前项和为，则（ ）
A. 数列是等差数列
B. 存在，使得成立
C. 当时，最大
D. 数列的最大值为
【答案】ABD
【解析】∵，∴，
，
则为等差数列，故A正确；
∵，，∴，故B正确；
∵当时，，当时，，∴当时，最大，故C错误；
∵，
，，
∴当时，，当或时，，
的最大值为，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知关于x的不等式对任意恒成立，则实数k的可能取值为（ ）
A. B. C. eD. 2e
【答案】BCD
【解析】由题知，不等式对任意恒成立，
设，则，当时，，当时，，∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
当时，，当时，，
当时，，，∴当时.
直线恒过点，
设直线与的图像相切时，切点为，
∴，解得或，
∴直线与的图象相切时，切线斜率分别为，，
在同一坐标系中作出函数的图象与直线，由图知，要使对恒成立，则，
故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数的图象在点处的切线方程为______.
【答案】
【解析】由题知，，，切线的斜率，
∴切线方程为，即.
故答案为：.
13. 已知非零向量，满足，且在上的投影向量为，则向量，的夹角______.
【答案】
【解析】因为在上的投影向量为，所以，所以，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以.
故答案为：
14. 已知，分别是双曲线的左、右焦点，过点的直线与C的右支交于A，B两点，若，，则C的离心率为______.
【答案】2或
【解析】设C的半焦距为，D为线段的中点，连接.
∵，∴，
∴是线段的垂直平分线，∴，，
由双曲线的定义知，，
∵，∴，
∴.
∵，，
在中，，
在中，，
∴，
化简得，解得或.
故答案为：2或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知等差数列的前n项和为，，.
（1）求通项公式；
（2）已知，求数列的前n项和.
解：（1）设的公差为d，依题意，，解得，，
所以的通项公式.
（2）由（1）知，，
所以
.
16. 记为数列的前n项和，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
解：（1）∵，，①
∴当时，，
当时，，②
①-②，得，
∴，
又，∴是首项为1，公比为3的等比数列，
∴.
（2）由（1）知，，
∴，③
∴，④
③-④，得，
∴.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求证：.
解：（1）由的定义域为，
，
若，则，在内单调递增，
若，当时，在内单调递减，
当时，，在内单调递增.
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，由，得，
设，则，
设，则，则即在内单调递增，
∵，，
∴存在，使得，即，即，，
当时，，在内单调递减，
当时，，在内单调递增，
∴，
∵当，即时，，上式取不到等号，
∴时，.
18.如图,在三棱锥中,P,Q分别是,的中点,,.

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求三棱锥的外接球的表面积.
解：（1）设O为的中点，如图，连接，，
∵，
则，∴，
∵P是的中点，∴，.
又，
则是边长为2的正三角形，∴，，
∴，∴.
∵，平面，平面，
平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）由（1）知，两两垂直，
以O为坐标原点，，，方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
因为P，Q分别是，的中点，，
则，，，，，，
∴，，.
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
∴平面的一个法向量为.
设直线与平面所成的角为，
则，
∴直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则，
即，
解得，，，所以，
则，
∴，
∴三棱锥的外接球的表面积为.
19. 已知函数的定义域为，数列满足，若存在数列满足，，且，则称为关于的对称数列.
（1）若，，求数列关于的一个对称数列；
（2）已知函数,数列为数列关于的对称数列，且，，证明：；
（3）已知函数，数列为数列关于的对称数列，证明：.
解：（1）由题知，数列是关于函数的一个对称数列.
理由如下：
由题知，，定义域为，
∵对任意，，，，
，，
∴，
∴数列是关于函数的一个对称数列.
（2）由题知，，
∴，
∴，即，
∵，∴，
∴.
（3）由题知，，
当时，，当时，，
∴在区间内单调递减，在区间内单调递增.
由题知，，，，
不妨令，则一定有，
要证，即证，即，
又在区间内单调递减，
∴只需证，即证，
即证，即证.
设，即证，
∵在区间内单调递增，∴只需证，
两边取对数得，
设，则当时，，
∴在区间内单调递增，∴，
∴，
∴.