河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份河南省焦作市普通高中2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了 过点且与曲线相切的直线方程为， 若，，，则， 已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】由题可知，又因为，故.
故选：C
2. 在等比数列中，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 8
【答案】D
【详解】因为是等比数列，所以，
又，所以.
故答案为：D.
3. 已知函数的最小正周期为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意知，得，
所以.
故选：A.
4. 某火箭发射离开发射架后，距离地面的高度（单位：）与时间（单位：）的函数关系式是，设其在时的瞬时速度为，则当其瞬时速度为时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由，得，
则，
令，
得.
故选：B.
5. 过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【详解】设切点为，因为，所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
又该切线经过点，所以，
整理得，解得或，
所以切线方程为或.
故选：C
6. 已知数列，的通项公式分别为，，由，的公共项从小到大排列得到的数列为，则（ ）
A. 1941B. 1961C. 1981D. 2001
【答案】C
【详解】由题可知是首项为1，公差为4的等差数列，是首项为1，公差为5的等差数列，
则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为20的等差数列，故.
故选：C.
7. 已知函数及其导函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】由题易知不满足不等式，当时，令，
则，，，（为常数），
故，又，，解得，.
不等式，即，得，解得或
故选：A
8. 若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设，
由，，，
得，，，
又，当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以，所以，所以.
故选：D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知复数，则（ ）
A. 的实部为1B. 在复平面内对应的点位于第四象限
C. D. 是方程的复数根
【答案】BCD
【详解】.
对于A，的实部为5，故A错误；
对于B，在复平面内对应的点为，位于第四象限，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，方程的复数根为，
所以是方程的复数根，知D正确.
故选：BCD
10. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ）
A. ，，，四点共面
B.
C. 平面
D. 三棱锥的体积为
【答案】ABD
【详解】对于A，取的中点，的中点，连接，
因为分别是棱的中点，
所以，所以四点共面，
又，所以四点共面，
又因为过不共线的三点的平面具有唯一性，
所以，，，，，六点共面，故A正确；
对于B，因为，而，所以，故B正确；
对于C，平面与平面的交线为，
若平面，平面,则，这显然不成立，故C错误；
对于D，，故D正确.
故选：ABD
11. 已知数列中，，，则（ ）
A. 是递增数列B. ，
C. ，D. 数列的前项和为
【答案】ACD
【详解】对于A，因，，所以，
则，所以是递增数列，故A正确；
对于B，因为，所以，故B错误；
对于C，因为，，所以，
所以，变形得，
用累乘法可得，所以，故C正确；
对于D，因为，
所以，所以，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 的展开式中常数项为_____.
【答案】210
【详解】展开式的通项为，
常数项为.
故答案为：210.
13. 某农场种植了一批梨树，从中随机抽取15棵，单株产量（单位：千克）分别为：24，27，29，31，32，34，35，36，38，40，41，43，45，47，50.若规定单株产量小于等于10%分位数的梨树需重点养护，则估计需重点养护的梨树单株产量的最大值为_____千克.
【答案】27
【详解】因为样本容量为15，所以，
则第2个数27即为分位数，
所以估计需养护的梨树单株产量的最大值为27千克.
故答案为：27.
14. 在数列中，，且，则_____.
【答案】
【详解】由题意得，则，
所以数列为常数列，
因此，即，
则，
所以
.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形.
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【小问1详解】
由条件及正弦定理得，
即，得，
又，所以，所以，解得，
又，所以.
【小问2详解】
解法一：由及正弦定理可得，
由余弦定理得，即，
化简得，所以，
因此，
所以是直角三角形.
解法二：因为，所以.
所以，
所以，又，故，
即是直角三角形.
16. 已知函数，.
（1）若，求曲线在点处的切线方程；
（2）若在上单调递减，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
若，则，，
所以又，
所以曲线在点处的切线方程为即.
【小问2详解】
因为在上单调递减，所以当时，，
即，亦即.
令，，则，故上单调递增，
所以.
要使，只需，故取值范围是.
17. 已知曲线，直线与交于，两点.
（1）若从，，，1，2，3中任选一个数作为，求是椭圆的概率；
（2）已知是上与，均不重合的点，设直线，的斜率分别为，，若，求的方程.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
当或时，是椭圆，当时，是圆，
当时，是双曲线，
综上，从，，，1，2，3中任选一个数作为，是椭圆的概率为；
【小问2详解】
设，则，记为①，
设，则，记为②，
②-①得，故，
则，
所以，解得，则的方程是.
18. 已知，，都是正项数列，且满足，，的前项和.
（1）若是等比数列，求的公比；
（2）若是等差数列，求的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若，证明是等比数列，并求.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析，
【小问1详解】
由题意知，
设的公比为，则上式等价于，
整理得，解得（舍去）.
【小问2详解】
因为，所以，
因为，即，所以，
所以的公差，
所以.
【小问3详解】
由（2）得，
所以，两式作差得，
整理得，所以，
即，所以，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
所以，则，
则.
19. 设，是不同的正数，我们称为，的对数平均值，且，该不等式称为“对数平均不等式”.
（1）任意选择“对数平均不等式”的一边给出证明.（注：如果两边都给出证明，按第一个证明计分）
（2）已知函数有两个极值点，，且.
（i）求的取值范围；
（ii）利用“对数平均不等式”证明：.
【答案】（1）证明见解析
（2）（i）；（ii）证明见解析
【小问1详解】
证明左边不等式：.
不妨设，则该不等式等价于，即.
令，，即证.
设，则，所以在上单调递减，
所以当时，，故原不等式成立.
证明右边不等式：.
不妨设，则该不等式等价于，即.
令，，即证.
设，则，所以在上单调递增.
所以当时，，故原不等式成立.
【小问2详解】
（i）的定义域为，，
因为有两个极值点，所以有两个异号零点.
令，则，.
若，则在上单调递增，此时即不可能有两个零点，不符合题意.
若，令，得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减.
所以，
且当时，，当时，，
要使有两个零点，只需，得，经检验符合题意，
因此，的取值范围是.
（ii）由（i）知，是的两个根，所以，
从而.
由对数平均不等式可得，
故，且，即，
所以.