2025秋九年级数学上学期期中综合素质评价试卷（含解析苏科版）

这是一份2025秋九年级数学上学期期中综合素质评价试卷（含解析苏科版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．设方程x2－3x＋c＝0的两根分别是x1，x2，则x1＋x2的值是( )
A．－3 B．3 C．－6 D．6
2.如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，∠1＝45°，则∠2＝( )
A．60° B．30° C．45° D．40°
3．若关于x的一元二次方程x2－mx＋2n＝0有一根是2，则m－n的值是( )
A．－2 B．2 C．1 D．－1
4．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是6π，则正六边形的边长是( )
A.eq \r(3) B．3 C．6 D．2eq \r(3)
5．[2025苏州工业园区月考]若关于x的一元二次方程kx2－6x＋9＝0有实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜1 B．k≤1 C．k＜1且k≠0 D．k≤1且k≠0
6．如图，△BCD内接于⊙O，∠D＝70°，OA⊥BC交⊙O于点A，连接AC，则∠OAC的度数为( )
A．40° B．55° C．70° D．110°
7．若关于x的一元二次方程x2＋2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图像可能是( )
8．如图，点M是矩形ABCD的边BC上的动点，过点B作BN⊥AM于点P，交CD边于点N，连接DP.若AB＝6，AD＝4，则DP的长的最小值为( )
A．2 B.eq \f(12\r(13),13) C．4 D．5
二、填空题(每题2分，共20分)
9．一元二次方程x2－12x＝0较大的根是x＝________．
10．[2025镇江期中]用配方法解方程x2－8x＋2＝0时，可将方程变为(x－m)2＝n的形式，则m的值为________．
11．[2025扬州邗江实验学校期中]直角三角形的两直角边长分别为6和8，它的外接圆的半径是________．
12．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，C是优弧ACB上的一个动点，若∠P＝70°，则∠ACB＝________．
13．如图，在一幅长为80 cm，宽为50 cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5 400 cm2，则金色纸边的宽为________cm.
14．已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根为x1，x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则实数k＝________．
15．小朋在手工制作课上，用面积为90π cm2，半径为15 cm的扇形卡纸，围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的高为________cm.
16．若菱形的两条对角线长是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则该菱形的周长等于________．
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，以点A为圆心，分别以AB，AD的长为半径作弧，两弧分别交CD，AB于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
18．如图，在△ABC中，AC＝4，AB＝5，BC＝6，⊙A的半径为2，点P是BC边上的动点，过点P作⊙A的一条切线PQ(其中Q为切点)，则线段PQ长度的最小值为________．
三、解答题(19 ～21题每题8分，22 ～25题每题10分，26题12分，共76分)
19.解下列方程：
(1)(x－2)2＝4; (2)x2－1＝3x.
20．[2025盐城期中]如图，在⊙O中，AB，CD是直径，CE∥AB且交⊙O于点E，求证：eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵)).
21．已知关于x的一元二次方程x2＋(k＋3)x＋2k＋2＝0.
(1)求证：方程有两个实数根；
(2)若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
22．已知等腰三角形ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程eq \f(1,2)kx2－(k＋3)x＋6＝0的两根．
(1)求△ABC的周长；
(2)如果⊙O是△ABC的外接圆，求⊙O的半径．
23.如图，老李想用长为70 m的栅栏，再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2 m宽的门(建在EF处，另用其他材料)．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640 m2的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到650 m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
24.如图，CD是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，弦DE∥OA，连接AE，AE的延长线与CD的延长线交于点B.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若BD＝2，BE＝4，求⊙O的半径．
25．[2025镇江期中]如图，在平面直角坐标系xOy中，已知M(0，4)，A(4，0)，以点M为圆心，MA的长为半径作⊙M，与x轴的另一个交点为B，点C是⊙M上的一个动点，连接BC，AC，点D是AC的中点，连接OD.
(1)证明：BC＝2OD；
(2)当点C不与点A，B重合时，求∠ADO的度数；
(3)当点C在优弧ACB上运动时，求点D的运动路径长．
26．实践与综合
【问题背景】阅读材料：若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b2－4ac一定为完全平方数．现规定F(a，b，c)＝eq \f(4ac－b2,4a)为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”x2－3x－4＝0的两根均为整数，其“快乐数”F(1，－3，－4)＝eq \f(4×1×（－4）－（－3）2,4×1)＝－eq \f(25,4).若有另一个“快乐方程”px2＋qx＋r＝0(p≠0)的“快乐数”为F(p，q，r)，且满足r·F(a，b，c)－c·F(p，q，r)＝0，则称F(a，b，c)与F(p，q，r)互为“开心数”．
【任务1】“快乐方程”x2－2x－3＝0的“快乐数”为________；
【任务2】若关于x的一元二次方程x2－(2m－1)x＋m2－2m－3＝0(m为整数，且1＜m＜6)是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”；
【任务3】若关于x的一元二次方程x2－mx＋m＋1＝0与x2－(n＋2)x＋2n＝0(m，n均为整数)都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求n的值．
答案
一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.D 6.B 7.B 8.A
二、9.12 10.4 11.5 12.55° 13.5 14.－5
15．3eq \r(21) 16.10 17.2eq \r(3)＋eq \f(π,3)
18.eq \f(\r(111),4) 点拨：连接AQ，AP，过点A作AH⊥BC于点H.设AH＝x，CH＝y，则BH＝6－y.
在Rt△ACH中，x2＋y2＝42①，在Rt△ABH中，x2＋(6－y)2＝52②.①－②，得－36＋12y＝－9，解得y＝eq \f(9,4).把y＝eq \f(9,4)代入①，得x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)))eq \s\up12(2)＝42，解得x1＝eq \f(5\r(7),4)，x2＝－eq \f(5\r(7),4)(不合题意，舍去)，∴AH＝eq \f(5\r(7),4).∵PQ为⊙A的切线，∴AQ⊥PQ.∴PQ＝eq \r(PA2－AQ2)＝eq \r(PA2－4).
∴当PA最小时，PQ最小．又易知PA的最小值为eq \f(5\r(7),4)，∴PQ的最小值为eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5\r(7),4)))\s\up12(2)－4)＝eq \f(\r(111),4).
三、19.解：(1)(x－2)2＝4，∴x－2＝±2.∴x＝2±2.
∴x1＝4，x2＝0.
(2)x2－1＝3x，∴x2－3x－1＝0.
∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0，
∴x＝eq \f(3±\r(13),2).∴x1＝eq \f(3＋\r(13),2)，x2＝eq \f(3－\r(13),2).
20．证明：连接OE.
∵CE∥AB，∴∠DOB＝∠C，∠BOE＝∠E.
∵OC＝OE，∴∠C＝∠E.∴∠DOB＝∠BOE.
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵)).
21．(1)证明：b2－4ac＝(k＋3)2－4×1×(2k＋2)＝k2－2k＋1＝(k－1)2.
∵不论k为何值，(k－1)2≥0，∴方程有两个实数根．
(2)解：x＝eq \f(－（k＋3）±\r(（k－1）2),2×1)，
∴x1＝eq \f(－k－3＋k－1,2)＝－2，x2＝eq \f(－k－3－k＋1,2)＝－k－1.
∵方程的两个根都是负根，∴－k－1＜0.∴k＞－1.
22．解：(1)∵两腰长恰好是关于x的一元二次方程eq \f(1,2)kx2－(k＋3)x＋6＝0的两根，
∴b2－4ac＝[－(k＋3)]2－4×eq \f(1,2)k×6＝0，解得k1＝k2＝3.
∴一元二次方程为eq \f(3,2)x2－6x＋6＝0.
∴两腰长之和为－eq \f(－6,\f(3,2))＝4.∴△ABC的周长为4＋3＝7.
(2)设AB＝AC，连接OB，OC，作直径AE，交BC于点D.
∵AB＋AC＝4，AB＝AC，∴AB＝AC＝2.
又∵OB＝OC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(3,2).
∴AD＝eq \r(AB2－BD2)＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(7),2).
设AO＝OB＝r，
∵OB2＝OD2＋BD2，∴r2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(7),2)－r))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))eq \s\up12(2).
∴r＝eq \f(4\r(7),7).∴⊙O的半径为eq \f(4\r(7),7).
23．解：(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝(72－2x) m.
根据题意，得x(72－2x)＝640，
化简，得x2－36x＋320＝0，
解得x1＝16，x2＝20.
当x＝16时，72－2x＝72－32＝40；
当x＝20时，72－2x＝72－40＝32.
∴当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．
(2)不能．理由如下：
由题意，得x(72－2x)＝650，
化简，得x2－36x＋325＝0.
∵b2－4ac＝(－36)2－4×325＝－4＜0，
∴该一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到650 m2.
24．(1)证明：连接OE.∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED.
∵DE∥AO，∴∠COA＝∠ODE，∠AOE＝∠OED.
∴∠COA＝∠AOE.
在△ACO和△AEO中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(OC＝OE，,∠COA＝∠EOA，,OA＝OA，))
∴△ACO≌△AEO(SAS)．∴∠ACO＝∠AEO.
∵AC是⊙O的切线，∴∠ACO＝90°.
∴∠AEO＝90°，即OE⊥AB.
又∵OE为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)解：设⊙O的半径是R，
∴BO＝BD＋OD＝2＋R，OE＝R.
∵∠AEO＝90°，∴∠BEO＝90°.
在Rt△BOE中，由勾股定理得BE2＝BO2－OE2，
∴42＝(2＋R)2－R2，解得R＝3，
即⊙O的半径是3.
25．(1)证明：∵O是BA的中点，D是CA的中点，
∴OD∥BC，BC＝2OD.
(2)解：如图①，连接MB.
∵M(0，4)，A(4，0)，∴AO＝OM＝4.
∴∠AMO＝∠MAO＝45°.
易知AM＝BM，∴∠ABM＝∠BAM＝45°.
∴∠AMB＝90°.∴∠ACB＝45°.
∵CB∥DO，∴∠ADO＝∠C＝45°.
(3)解：如图②，作△ODA的外接圆⊙E，连接OE，AE.
∵∠ADO＝45°，∴∠OEA＝2∠ADO＝90°.
又∵AO＝4，EO＝AE，∴OE＝2eq \r(2).
∵当点C在eq \(ACB,\s\up8(︵))上运动时，
∴点D在eq \(ODA,\s\up8(︵))上运动．
∴点D的运动路径长＝eq \f(（360°－90°）×π×2\r(2),180°)＝3eq \r(2)π.
26．解：【任务1】－4
点拨：“快乐方程”x2－2x－3＝0的“快乐数”F(1，－2，－3)＝eq \f(4×1×（－3）－（－2）2,4×1)＝－4.
【任务2】对于方程x2－(2m－1)x＋m2－2m－3＝0，其b2－4ac＝4m＋13.
∵1＜m＜6，∴17＜4m＋13＜37.
∴4m＋13＝25或36.
∴m＝3或m＝eq \f(23,4)(舍去)．
∴原方程为x2－5x＝0，
则其“快乐数”F(1，－5，0)＝eq \f(4×1×0－（－5）2,4×1)＝－eq \f(25,4).
【任务3】对于方程x2－mx＋m＋1＝0，
其b2－4ac＝(－m)2－4(m＋1)＝(m－2)2－8.
设b2－4ac＝k2(k为整数)，
则(m－2＋k)(m－2－k)＝8，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝8，,m－2－k＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝1，,m－2－k＝8))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝－8，,m－2－k＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝－1，,m－2－k＝－8))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝4，,m－2－k＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝2，,m－2－k＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝－4，,m－2－k＝－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m－2＋k＝－2，,m－2－k＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(7,2)，,m＝\f(13,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(7,2)，,m＝\f(13,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(7,2)，,m＝－\f(5,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(7,2)，,m＝－\f(5,2)))(舍去)或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,m＝5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,m＝5))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,m＝－1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1，,m＝－1.))
∴m＝5或－1.
∴原方程为x2－5x＋6＝0或x2＋x＝0.
对于方程x2－(n＋2)x＋2n＝0，
其b2－4ac＝(n－2)2，
∴F[1，－(n＋2)，2n]＝－eq \f(（n－2）2,4).
当m＝5时，2n×eq \f(4×1×6－（－5）2,4)－6×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(（n－2）2,4)))＝0，
解得n＝3或eq \f(4,3)(舍去)；
当m＝5，n＝3时，两个方程相同，故当m＝5时，不存在其“快乐数”互为“开心数”．
当m＝－1时，2n×eq \f(0－12,4)－0＝0，解得n＝0，
综上，n＝0.