[数学]浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)

这是一份[数学]浙江省台州市十校联盟2023-2024学年高二下学期期中联考试题(解析版)，共10页。试卷主要包含了考试结束后，只需上交答题纸， 的展开式中，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1. ，则的值是（ ）
A. 6B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】因为，所以，即，
所以，解得或，
又，所以.
故选：C.
2. 设随机变量的概率分布列如表所示，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为，所以或，
所以或．
故选:D．
3. 已知函数的导函数为，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 8D. 4
【答案】D
【解析】由题意得，
所以．
故选：D.
4. 《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】B
【解析】依题意，每个人选择方案有3种，所以4个人不同的选择方案有种.
故选：B
5. 某科研院校培育大枣新品种，新培育的大枣单果质量近似服从正态分布（单位：），现有该新品种大枣个，估计单果质量在范围内的大枣个数约为（ ）
附：若，则，，.
A. 8186B. 8400C. 9545D. 9759
【答案】A
【解析】记单果质量为，则，所以，，
所以
，
所以，
即现有该新品种大枣个，可估计单果质量在范围内的大枣个数约为个.
故选：A
6. 关于二项式，若展开式中含的项的系数为，则（ ）
A 3B. 2C. 1D. -1
【答案】C
【解析】由题意得的系数为，解得，
故选：C.
7. 如图所示的五个区域中，中心区域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色，有四种颜色可供选择，要求每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，分两种情况：
(1)不同色，先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种；
(2) 同色；先涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，再涂区域有种方法，由分步乘法计数原理可得有种．
由分类加法计数原理，共有种，
故选：A．
8. 已知函数，若有两个零点，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】已知函数，函数的定义域为
，
当时，恒成立，所以在上单调递减，故时，至多有一个零点；
当时，令得，当时，；
当时，，所以上单调递减，在上单调递增．
此时最小值为，
①当时，由于，故只有一个零点；
②当时，即，故没有零点；
③当时，即，又
；
，
由零点存在定理知在上有一个零点；在有一个零点．
所以有两个零点，a的取值范围为；
故选:A．
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 已知定义域为的函数的导函数为，且的图象如图所示，则（ ）

A. 在上单调递减B. 有极小值
C. 有3个极值点D. 在处取得最大值
【答案】ABC
【解析】由的图象可知时，，
则单调递减，故A正确；又时，，则单调递增，
所以当时，有极小值，故B正确；
由的图象可知时，有极值，所以有3个极值点，故C正确；
当时，，则单调递增，所以，
则在处不能取得最大值，故D错误．
故选：ABC．
10. 的展开式中，下列结论正确的是（ ）
A. 展开式共7项B. 含项的系数为480
C. 无常数项D. 所有项的二项式系数之和为128
【答案】CD
【解析】对于A中，由二项式的展开式共有8项，所以A错误；
对于B中，由二项式，可得展开式的通项为，
令，可得，则展开式的项的系数为，所以B错误；
对于C中，由，
令，可得，
所以展开式中没有常数项，所以C正确；
对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式中所有二项式系数和为，所以D正确.
故选：CD.
11. 饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好，现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的速冻饺子，已知甲箱中有3盒肉馅饺子，2盒三鲜馅饺子和5盒青菜馅饺子，乙箱中有3盒肉馅饺子，3盒三鲜馅饺子和4盒青菜馅饺子，则下列正确的是（ ）
A. 从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是
B. 依次从甲箱中取出两盒饺子，第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率是
C. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是
D. 先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜㿟饺子的概率是
【答案】ACD
【解析】对于，从甲箱中取出两盒饺子都是肉馅的概率是，故正确；
对于，依次从甲箱中取出两盒饺子，
第一盒是肉馅的条件下，第二盒是青菜馅的概率为：
，故错误；
对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
则乙箱取出的饺子是肉馅的概率是：
，故正确；
对于，先从甲箱中随机取出一盒饺子放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒饺子，
若从乙箱取出的饺子是肉馅的，则从甲箱中取出三鲜馅饺子的概率为：
，故正确．
故选：．
非选择题部分
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 设函数，则=__；
【答案】1
【解析】由，得，
所以，
故答案为：1
13. 若，则______．
【答案】
【解析】由二项分布的方差公式，可知，
，
故答案为：.
14. 定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件条件下的期望为，其中为X的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时的投掷次数，则______．
【答案】2
【解析】由可得或或，
由题意可得
故答案为：2
四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 已知函数在时取得极大值3.
（1）求实数，的值；
（2）求函数在区间上的最值.
解：（1），由题意得，解得.
此时，，
当时，，所以在单调递增，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以在时取得极大值.
所以.
（2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增.
又因为，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为.
16. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值.
解：（1）二项式展开式的通项为：（且），
所以，所以.
（2）令，得，
令，得，
所以.
（3）因为展开式的通项为（且），
所以当为奇数时，项的系数为负数.
所以，
令，得，
∴.
17. 现有4名男生和3名女生，
（1）若安排7名学生站成一排照相，要求甲乙排在一起，这样的排法有多少种？
（2）若安排7名学生站成一排照相，要求3名女生互不相邻，这样的排法有多少种？
（3）若邀请7名学生中的4名参加一项活动，其中男生甲和女生乙不能同时参加，求邀请的方法种数.
解：（1）由题意可知：运用捆绑法，可得共有排法数为种.
（2）由题意可知：运用插空法，可得共有排法数为种.
（3）由题意可知：邀请这7名学生中的4名参加一项活动共有种方法，
男生甲和女生乙同时参加的方法有，共有邀请方法数为种.
18. 在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10个不同的题目中随机抽取3个题目进行作答.已知这10个题目中，选手甲只能正确作答其中的7个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
（1）求选手乙正确作答2个题目的概率；
（2）求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
（3）从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
解：（1）设事件A为“选手乙正确作答2个题目”，则，所以选手乙正确作答2个题目的概率．
（2）设选手甲正确作答的题目个数为，则的所有可能取值为0，1，2，3．
所以，，，．
所以的分布列为：
所以数学期望．
（3）设选手乙正确作答的题目个数为，
则，
数学期望，
由，可得，所以可以认为选手甲晋级的可能性更大．
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线的斜率为，求的值；
（2）若，讨论函数的单调性；
（3）当时，恒成立，求的取值范围.
解：（1）
，.
（2）由题，
可得
由于，的解为，.
①当，即时，，则在上单调递增；
②当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为；
③当，即时，
在区间，上，，在区间上，，
所以的单调增区间为，；单调减区间为.
（3）
①当时，因为，所以，，所以，
则在上单调递增，成立；
②当时，，
所以在上单调递增，所以成立；
③当时，在区间上，：在区间，，
所以在上单调递减，上单调递增，
所以当时，，不符合题意.
综上所述，的取值范围是.
2
3
4
0
1
2
3