北京市 西城区北京师范大学第二附属中学九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市 西城区北京师范大学第二附属中学九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）-A4，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念逐项判断即可；
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合合题意；
B、中心对称图形，符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
2. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A. 2，1，5B. 2，1，－5C. 2，0，－5D. 2，0，5
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．
【详解】解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，
∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．
3. 将抛物线向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数变化规律即可解答．
【详解】解：∵抛物线向上平移3个单位，
∴平移后的解析式为：．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移，掌握平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．
4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案．
【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
5. 在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用时，求函数值进行一一检验是否为0即可．
【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意；
B.当时，，图象过点，选项B合题意；
C.当时，，图象过点，选项C不合题意；
D当时，无意义，选项D不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键．
6. 用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A. (x＋2)2＝5B. (x＋2)2＝2C. (x－2)2＝5D. (x－2)2＝2
【答案】A
【解析】
【分析】方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．
【详解】解：x2＋4x＝1
即
故选A
【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．
7. 把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.
【详解】解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，
由题意得：.
故选：A.
【点睛】本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
8. 如图，二次函数的图象经过点A，B，C．现有四个推断：
①抛物线开口向下；
②当时，y取最大值；
③当时．关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；
④直线经过点A，C，当时，x的取值范围是；
其中推断正确的是（ ）
A ①②B. ①③C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】用待定系数法求出二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质，逐项进行判断即可．
【详解】解：由图象可知点，代入得到，，
解得，
∴二次函数的解析式为，
∵，
∴抛物线开口向下，故①正确；
∵，
∴当时，y取最大值，故②错误；
∵的顶点坐标是，
当时，直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的一元二次方程必有两个不相等的实数根；故③正确；
∵直线经过点A，C，
∴当时，x的取值范围是,故④错误，
综上可知，正确的是①③，
故选：B
【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，利用图象法判断方程的根和求不等式的解集等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
二、填空题（每题3分，共24分）
9. 抛物线的顶点坐标是_________．
【答案】（1，2）
【解析】
【分析】直接根据顶点公式特点求顶点坐标即可得答案．
【详解】∵是抛物线的顶点式，
∴顶点坐标为（1，2）．
故答案为：（1，2）
【点睛】本题主要考查了求抛物线的顶点坐标、对称轴及最值的方法．解题的关键是熟知顶点式的特点．
10. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式________________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据题意，写出一个的解析式即可
【详解】解：根据题意，
故符合题意
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题考查了二次函数各系数与函数图象之间的关系，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
11. 若点，在抛物线上，则，的大小关系为：_____（填“＞”，“=”或“＜”）．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出，的值，再比较大小即可．
【详解】解：∵点，在抛物线上，
∴，
∴．
故答案为：.
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
12. 若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用根的判别式进行计算，根据题意关于的方程有两个不相等的实数根，可得，即可得到关于的不等式，解答即可．
【详解】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
一元二次方程根的情况与判别式的关系是：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点，点．将线段BA绕点B旋转180°得到线段BC，则点C的坐标为__________．

【答案】（2，2）
【解析】
【分析】根据旋转性质可得出点B是A、C的中点，过点C作CD⊥x轴于D，利用相似三角形的判定与性质求得OD和CD即可求解．
【详解】解：∵点，点，
∴OA=2，OB=1，
由旋转性质得：AB=BC，即点B是A、C的中点，
过点C作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，
∴△AOB∽△ADC，
∴，
∴OD=2，CD=2，
∴点C坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．
【点睛】本题考查旋转性质、相似三角形的判定与性质，坐标与图形，熟练掌握旋转性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．
14. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，点B的对应点D恰好落在边上，则____________．
【答案】##75度
【解析】
【分析】根据旋转的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得．
【详解】解：由旋转的性质可知，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
15. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为______ ；连接CP，线段CP长的最小值为_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用“边角边”证明△ADE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DAE＝∠CDF，然后求出∠APD＝90°，从而得出点P的路径是一段以AD为直径的弧，连接AD的中点和C的连线交弧于点P，此时CP的长度最小，然后根据勾股定理求得QC，即可求得CP的长．
【详解】解：四边形ABCD 是正方形，
AD＝CD，∠ADE＝∠BCD＝90°，
在△ADE和△DCF中，，
∴△ADE≌△DCF（SAS）
∴∠DAE＝∠CDF，
∵∠CDF＋∠ADF＝∠ADC＝90°，
∴∠ADF＋∠DAE＝90°，
∴∠APD＝90°，
由于点P在运动中保持∠APD＝90°，
∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，
取AD的中点Q，连接QC，此时CP的长度最小，
则DQ＝AD＝×2＝1，
在Rt△CQD中，根据勾股定理得，CQ＝＝＝，
所以，CP＝CQ−QP＝−1．
故答案为：；−1．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的性质和判定，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
16. 野兔跳跃时的空中运动路线可以看作是抛物线的一部分建立如图所示的平面直角坐标系，通过对某只野兔一次跳跃中水平距离单位：m与竖直高度单位：m进行的测量，得到以下数据：
根据上述数据，回答下列问题：
野兔本次跳跃的最远水平距离为______ m，最大竖直高度为______ m；
已知野兔在高速奔跑时，某次跳跃最远水平距离为3m，最大竖直高度为1m若在野兔起跳点前方2m处有高为0.8m的篱笆，则野兔此次跳跃______ 填“能”或“不能”跃过篱笆．
【答案】 ①. ②. ③. 能
【解析】
【分析】①由表格中的数据可知，野兔本次跳跃的最远水平距离为，最大竖直高度为，于是得出问题的答案；
②设野兔某次跳跃的抛物线为，则，可求得，当时，，由，可知野兔此次跳跃能跃过篱笆，于是得到问题的答案．
【详解】当时，；当时，，且，
野兔本次跳跃的最远水平距离为，抛物线的对称轴为直线，
当时，，
野兔本次跳跃的最大竖直高度为，
故答案为：，．
设野兔某次跳跃的抛物线为，
，且抛物线的对称轴为直线，最大值为，
，
解得，
，
当时，，
，
野兔此次跳跃能跃过篱笆，
故答案为：能
【点睛】此题重点考查二次函数的图象与性质、二次函数的应用等知识，正确地求出二次函数的解析式是解题的关键．
三、解答题（17题8分，18～21题每题5分，22～24题每题6分，25～26题7分）
17.
（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法，公式法解一元二次方程组．熟练掌握因式分解法，公式法解一元二次方程组是解题的关键．
（1）利用因式分解法解一元二次方程组即可；
（2）利用公式法解一元二次方程组即可．
【小问1详解】
解：，
，
∴或，
解得，；
【小问2详解】
解：，
，
∴，
解得，．
18. 已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】6
【解析】
【分析】把代入方程，得出，再整体代入求值即可．
【详解】解： = ．
∵ a是方程的根
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 = 6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．
19. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）将该抛物线向上平移_______个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可求出的值，进而求出抛物线的表达式．
（2）利用顶点坐标的位置，判断抛物线向上平移的单位即可．
【详解】（1）解：∵ 抛物线经过点（2，1），
∴ ．
解得：．
∴ 该抛物线的表达式为．
（2）解：抛物线的顶点为（3，），
若抛物线与轴只有一个公共点，则只需向上平移1个单位，顶点变为（3,0），此时满足题意．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解二次函数表达式以及函数图像平移，熟练利用待定系数法求解函数表达式，根据顶点坐标的平移确定函数图像整体平移的情况，是解决该题的关键．
20. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，将线段CA绕点C逆时针旋转60°，得到线段CD，连接AD，BD．
（1）依题意补全图形；
（2）若BC=1，求线段BD的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据线段旋转的方法，得出，然后连接AD，BD即可得；
（2）根据角的直角三角形的性质和勾股定理可得，由旋转的性质可得是等边三角形，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）根据线段旋转方法，，如图所示即为所求；

（2）∵ ，，，
∴ ，
∴ ，
∵ 线段CA绕点C逆时针旋转60°得到线段CD，
∴且，
∴是等边三角形，
∴ ，，
∴ ，
∴ 在中，
．
【点睛】题目主要考查旋转图形的作法及性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，等边三角形的性质等，理解题意，作出图形，综合运用各个定理性质是解题关键．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，将坐标代入解析式得出解方程组即可；
（2）先求抛物线与x轴的交点，转化求方程的解，再根据函数y＜0，函数图像位于x轴下方，在两根之间即可．
【详解】解：(1) 抛物线经过点A(0，－3)，B(1，0) 代入坐标得：
，
解得，
所求抛物线的解析式是．
(2) 当y=0时，，
因式分解得：，
∴，
∴，
当y＜0时，函数图像在x轴下方，
∴y＜0时，x的取值范围为-3＜x＜1．
【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组，掌握待定系数法求抛物线解析式，利用图像法解不等式，解一元二次方程，方程组是解题关键．
22. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
【详解】（1）证明：∵一元二次方程，
∴
==．
∵，
∴．
∴ 该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程，
解方程，得，．
∵ ，
∴ ．
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴ ．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
23. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）
（2）当时，小花园的面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】（1）由题意知，，且，依题意得，，然后整理后作答即可；
（2）由题意知，，然后根据二次函数的图象与性质求最值即可．
【小问1详解】
解：由题意知，，且，即，
依题意得，，
∴y与x之间的函数关系式为；
【小问2详解】
解：由题意知，，
∵，，
∴当时，y最大，最大值为，
∴当时，小花园的面积最大，最大面积是．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，二次函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数的最值．熟练掌握二次函数的应用，二次函数解析式，二次函数图象与性质，二次函数的最值是解题的关键．
24. 在平面直角坐标系中，点在抛物线上．
（1）该抛物线的对称轴为________．
（2）已知，当时，y的取值范围是，求a，m的值．
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，当时，y的取值范围是，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）直线
（2），
（3）存在，
【解析】
【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．
（2）分别讨论的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下取最大值与最小值时，对应的的取值，进而求出，的值．
（3）由于的取值范围是，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论在对称轴的左右两侧即可．
【小问1详解】
解： 抛物线，
时，，
抛物线过点，
抛物线过点，
该抛物线的对称轴为直线．
【小问2详解】
解：抛物线的对称轴为直线，
，即①．
，
．
，抛物线开口向上，
当时，函数值在上取得最小值．
即②．
联立①②，解得，．
抛物线的表达式为，即．
，
当时，随的增大而减小，当时取得最大值，
当时，随的增大而增大，当时取得最大值，
对称轴为，
与时的函数值相等．
，
当时的函数值大于当时的函数值，即时的函数值．
当时，函数值在上取得最大值3．
代入有，舍去负解，得．
【小问3详解】
解：存在，．
当时，的取值范围是，无法取到最大值与最小值，
关于的取值范围一定不包含对称轴，
①当时，在对称轴的左侧，
二次函数开口向上，
时，有最大值，时，有最小值，
由题意可知：，解得：，
故，
②当时，在对称轴的右侧，
二次函数开口向上，
时，有最小值，时，有最大值，
由题意可知：，此时无解，
故不符合题意，
．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
25. 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接，．
（1）用等式表示与的数量关系，并证明；
（2）当时，
直接写出的度数为______；
若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．
【答案】（1），详见解析
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）利用证明，即可得出答案；
（2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题；
②延长到，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得．
【小问1详解】
解：，理由如下：
是等边三角形，
，，
，
将线段绕点顺时针旋转得到，
，，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：①如图，当时，
则，
，
，
；
②，理由如下：
延长到，使，连接，，

为的中点，
，
四边形为平行四边形，
且，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
又为正三角形，
，
．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，x轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点P与点Q为关联点．
（1）在点，中，与为关联点的是___________________；
（2）如图2，，，．若线段上存在点Q，使点P与点Q为关联点，结合图象，求m的取值范围；
（3）已知点，﹒若线段上至少存在一对关联点，直接写出n的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意作轴于点A，轴于点B，根据点P的坐标得出和是等腰直角三角形，然后根据得出是等腰直角三角形，即可求解；
（2）根据题意表示出为，为，然后表示出关联点所在的表达式，将代入表达式表示出横坐标，根据在线段上可表示出横坐标的取值范围，即可求出m的取值范围；
（3）根据题意求出当点P，Q，B三点重合时n的值，然后根据角的三角函数值求解即可．
【小问1详解】
解：过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
当时，，
∴点的坐标为，
与为关联点的是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：如图所示，
对点而言，依定义，要使，则有：
为，为，
于是函数（）上的点Q即为点P的关联点，
若当点Q在线段上时，时，，则有，
由，得，
解得．
【小问3详解】
∵点Q和点P在线段上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，
如图所示，
作轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当线段上至少存在一对－关联点时，．
水平距离
竖直高度