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初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似课时作业
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这是一份初中数学苏科版九年级下册6.6 图形的位似课时作业，共32页。试卷主要包含了7cm，则它的实际长度约为，5C．3D．4等内容，欢迎下载使用。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
2．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在比例尺为1:1000000的交通地图上，宝应到扬州的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ）
A．1.17kmB．11.7kmC．117kmD．1170km
3．（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
5．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
6．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（ ）
A．20B．16C．D．
9．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）如图，矩形中，点在边上，，，，点是矩形内一动点，满足，连接绕点逆时针旋转90°至，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为．
12．（2023秋·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，四边形四边形，则的度数是．
13．（2023秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）如图，，若，则．
14．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在直角中，，，，、分别为、上的两个动点，若使是等腰三角形且，则．
15．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为．
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．
18．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则.
三、解答题（10小题，共64分）
19．（2023秋·江苏无锡·九年级文林中学校考阶段练习）已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
20．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交、于、.
（1）求证：；
（2）若，，求.
22．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点B的对应点的坐标；
（3）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标．
23．（2023·江苏盐城·校考一模）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈（30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下:现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，从G处望向谷底（H在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，从E处望向谷底（C在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知 、）
24．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在中，以为直径的交于点D，边与相切于点C，点E是边的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当面积是的面积的倍时，求出的值．
26．（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，点A在的边上，以为直径作，交于点D，连接，，给出下列信息：①切于点D；②；③直线与相切．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）若，，求的长．
27．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知，，点在轴上方，且的面积为，点在射线上，且．
（1）求的值；
（2）不论在何处，过点且经过垂直于的直线必经过某一定点，请直接写出这个点的坐标；
（3）利用（2）中的结论，求的最大值．
28．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
参考答案
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．C
【分析】根据线段成比例，可以列出方程a:b=b:c，代入数值求解即可。
【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，∴a:b=b:c，
∵a=3，c=12，∴3:b=b:12，解得b=6．故选：C．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解。
2．C
【分析】由比例尺的定义，由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离。
【详解】解：设这两城市的实际距离是xcm，由题意，得
，解得：，．故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例线段，解题的关键是掌握比例尺的应用．
3．D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
4．D
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可．
【详解】∵，
∴，即
∴解得，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键．
5．C
【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可．
【详解】解：如图，作交于F，
∵，O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
6．D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
7．C
【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出可得结论．
【详解】解：如图，连接．
∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4，
∴四边形是正方形，面积为，
∴，，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念．
8．A
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
【详解】解：若点在上时，如图，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入方程式
解得：（舍去），，
，
，，
矩形的面积为；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
9．B
【分析】过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论．
【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵的面积是4，
∴，
∵反比例函数的图象交于点，交于点，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．C
【分析】取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，则有，即可求出，然后过点作于点G，连接，利用勾股定理可以得到再根据求出结果．
【详解】解：如图，取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，
∵，
∴，
根据旋转可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上移动，
过点作于点G，连接，
则是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，旋转的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形确定点点的运动路线是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．/
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
12．
【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键．
13．
【分析】由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
14．
【分析】先利用勾股定理求得，根据题意得到，再证明，利用相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】解：∵由题意得是等腰三角形且，
∴，设，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．/45度
【分析】延长交与点，得，利用相似三角形的性质，三角形内角和定理可得结论．
【详解】解：如图，延长交与点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练利用正方形网格的格点是解题的关键．
16．/6米
【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即,
由得，
∴，
即路灯高．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点．
17．
【分析】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．先证明为直角三角形，再证明，求出，，即可得解．
【详解】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．
在中，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形判定及性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是解答本题的关键．
18．
【分析】过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，则垂直平分，可知，，设，则，故，由平行线的性质可得，可知，进而确定，，再证明，可得；设，则，，，，证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，解得的值，即可求得，的值，然后在中由勾股定理计算的值，即可获得答案．
【详解】解：过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，如下图，
则垂直平分，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
∴，
∴，（舍去），
∴，，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（1）；（2）
【分析】（1）设代入计算即可；
（2）由（1）中的结论构建方程求出k即可．
【详解】（1）解：设
则：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）根据面积比等于相似比的平方，即可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方，是解答本题的关键．
21．（1）详见解析；（2）16.
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得：，，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，即可证出；
（2）将，代入（1）中结论即可.
【详解】（1）证明：平行四边形
∴，
∴，
∴
（2）：由（1）中证明得：
∵，代入后得
∴
【点睛】此题考查的是成比例的线段的证法，掌握平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.
22．（1）画图见解析，点P的坐标为
（2）画图见解析，点的坐标为
（3）
【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可；
（2）连接、并延长，使、，连接即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，点P为所作；
点P的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
23．谷的深度为419尺
【分析】先证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴谷的深度为419尺．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）的半径为
【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得，根据半径相等可得，根据已知条件可得，然后可得，即可得证；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得的长，勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
∵边与相切于点C，
∴，即，是直角三角形，
∵是的直径，
∴，
∵在中，点为上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理可得的长，由，可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；
（2）表示出的长，求出的面积，根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：；
（2），
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、一元一次方程的应用，平行线分线段成比例定理、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题．
26．（1）②③，①，理由见详解（其他情况也可以）；（2）6
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①时，连接，先证明，即有，可得半径，问题得证；选择的条件是①②，结论是③，证明方法同上；选择的条件是①③，结论是②时，连接，，先证明，即有，根据，可得，即有；
（2）连接，，先证明，再证明，即有，即可得，则有．
【详解】（1）选择的条件是②③，结论是①，
理由：连接，如图，
∵，
∴，
∵直线与相切，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴半径，
∴切于点D；
选择的条件是①②，结论是③，证明方法同上；
选择的条件是①③，结论是②，
理由：连接，，如图，
∵直线与相切，切于点D，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，，如图，
∵直线与相切，，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握切线的判定与性质，是解答本题的关键．
27．（1）；（2）定点；（3）
【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
（2）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（3）由相似三角形的性质可得，则当取最小值时有最大值，确定点的运动轨迹，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
过点且经过垂直于的直线必经过定点；
（3）解：，
，
当取最小值时有最大值，
，
点在以为直径的圆上运动，
，
，
的最小值为，
的最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角所对的弦是直径，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（1），；
（2）与之间的数量关系发生变化，，理由见解析；
（3）或，见解析
【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可得出；
（2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可得出结论；
（3）当点在线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出；当点在线段上时，同理可求，则．
【详解】解：（1），，
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3）连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）如图，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
注意事项：
本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共28题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置。
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．（2023春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）若a，b，b，c是成比例的线段，其中a=3，c=12，则线段b的长为（ ）
A．2B．4C．6D．15
2．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在比例尺为1:1000000的交通地图上，宝应到扬州的长度约为11.7cm，则它的实际长度约为（ ）
A．1.17kmB．11.7kmC．117kmD．1170km
3．（2023·江苏·统考中考真题）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
4．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，直线，它们依次交直线m、n于点A、B、C和D、E、F，已知，，，那么等于（ ）
A．8B．7C．6D．5
5．（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，在中，D在边上，，O是的中点，连接并延长交于点E，若，则的长为（ ）
A．2B．2.5C．3D．4
6．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美.如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的半径为（ ）
A．B．2C．D．4
8．（2023·江苏南通·校考一模）如图1，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是（ ）
A．20B．16C．D．
9．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是4，则的值为（ ）
A．B．C．D．
10．（2023春·江苏宿迁·九年级沭阳县怀文中学校联考阶段练习）如图，矩形中，点在边上，，，，点是矩形内一动点，满足，连接绕点逆时针旋转90°至，连接，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．（2023秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）两个相似三角形对应高的比为，那么这两个三角形的周长比为．
12．（2023秋·江苏镇江·八年级丹阳市第八中学校考阶段练习）如图，四边形四边形，则的度数是．
13．（2023秋·江苏扬州·九年级扬州市竹西中学校考阶段练习）如图，，若，则．
14．（2023秋·江苏苏州·八年级苏州高新区实验初级中学校考阶段练习）如图，在直角中，，，，、分别为、上的两个动点，若使是等腰三角形且，则．
15．（2023秋·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格中：、的顶点都在正方形网格的格点上，，则的度数为
16．（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为．
17．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，，则的长为．
18．（2023秋·江苏无锡·九年级无锡市太湖格致中学校考阶段练习）如图，中，，为延长线上一点，过点作，交延长线于，若，，，则.
三、解答题（10小题，共64分）
19．（2023秋·江苏无锡·九年级文林中学校考阶段练习）已知线段a、b、c，且．
（1）求的值；
（2）若线段a、b、c满足，求a、b、c的值．
20．（2023春·江苏苏州·八年级统考期末）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）如图为平行四边形的边延长线上一点，分别交、于、.
（1）求证：；
（2）若，，求.
22．（2023秋·江苏泰州·九年级校考阶段练习）在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为、、，与是关于点P为位似中心的位似图形．
（1）在图中标出位似中心P的位置，并写出点P的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似，使它与的位似比为，并写出点B的对应点的坐标；
（3）的内部一点M的坐标为，写出M在中的对应点的坐标．
23．（2023·江苏盐城·校考一模）《海岛算经》是我国魏晋时期的著名数学家刘徽所撰，该书研究的对象全是有关高与距离的测量，因首题测算海岛的高、远，故而书名由此而来，它是中国最早的一部测量数学著作，亦为地图学提供了数学基础．书中第四题为：今有望深谷，偃距岸上，令勾高六尺，从勺端望谷底，入下股九尺一寸，又设重矩于上，其矩间相去三丈（30尺），更从勺端望谷底，入上股八尺五寸，问谷深几何？大致译文如下:现在要测量谷的深度，拿一个高为6尺的“矩尺”（）仰放在岸上，从G处望向谷底（H在上），下股为9.1尺，在的延长线上重新放置“矩尺”（），其中尺，尺，从E处望向谷底（C在上），下股为8.5尺，求谷的深度．（已知 、）
24．（2023秋·江苏扬州·九年级校考阶段练习）在中，以为直径的交于点D，边与相切于点C，点E是边的中点，连结．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
25．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．
（1）当为何值时，四边形是矩形？
（2）当面积是的面积的倍时，求出的值．
26．（2023秋·江苏·九年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，点A在的边上，以为直径作，交于点D，连接，，给出下列信息：①切于点D；②；③直线与相切．
（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论，组成一个真命题．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号），并说明理由；
（2）若，，求的长．
27．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）已知，，点在轴上方，且的面积为，点在射线上，且．
（1）求的值；
（2）不论在何处，过点且经过垂直于的直线必经过某一定点，请直接写出这个点的坐标；
（3）利用（2）中的结论，求的最大值．
28．（2023·江苏宿迁·沭阳县怀文中学校联考一模）如图（1），在矩形中，，点，分别在边，上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接，．
（1）如图（2），当时，与的数量关系为______，与的数量关系为______．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，，当矩形旋转至，，三点共线时，请写出线段的长并说明理由．画法
图形
1．以A为端点画一条射线；
2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE；
3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．
参考答案
一、选择题（10小题，每小题2分，共20分）
1．C
【分析】根据线段成比例，可以列出方程a:b=b:c，代入数值求解即可。
【详解】解：∵a，b，b，c是成比例线段，∴a:b=b:c，
∵a=3，c=12，∴3:b=b:12，解得b=6．故选：C．
【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质，列方程求解。
2．C
【分析】由比例尺的定义，由图上距离与实际距离的比叫做比例尺建立等量关系，解这个一元一次方程就可以求出实际距离。
【详解】解：设这两城市的实际距离是xcm，由题意，得
，解得：，．故选：C．
【点睛】本题主要考查了比例线段，解题的关键是掌握比例尺的应用．
3．D
【分析】根据两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即可求解．
【详解】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点
步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得：
M、N就是线段AB的三等分点
故选：D
【点睛】本题考查两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．掌握相关结论即可．
4．D
【分析】由题意根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可．
【详解】∵，
∴，即
∴解得，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解答此题的关键．
5．C
【分析】过点D作交于F，根据平行线分线段成比例定理可得，，，再根据O是的中点，可得，进而解答即可．
【详解】解：如图，作交于F，
∵，O是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．
6．D
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
7．C
【分析】如图，连接，利用相似多边形的性质求出正方形的面积，求出可得结论．
【详解】解：如图，连接．
∵正方形与四边形是位似图形，，正方形的面积为4，
∴四边形是正方形，面积为，
∴，，
∴，
∴四边形的外接圆的半径为．
故选C．
【点睛】本题考查位似变换，相似多边形的性质等知识，解题的关键是掌握位似图形的概念．
8．A
【分析】由题意可知，易证，可得，根据二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，列出方程式即可解题．
【详解】解：若点在上时，如图，
，，
，
在和中，，，
∴，
由二次函数图象对称性可得在中点时，有最大值，此时，
，
即，
，
当时，代入方程式
解得：（舍去），，
，
，，
矩形的面积为；
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出为中点是解题的关键．
9．B
【分析】过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论．
【详解】解：过点C作轴于点E，连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，即，
∵的面积是4，
∴，
∵反比例函数的图象交于点，交于点，
∴，
∵，
∴，
解得：．
故选：B
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键．
10．C
【分析】取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，则有，即可求出，然后过点作于点G，连接，利用勾股定理可以得到再根据求出结果．
【详解】解：如图，取的中点O，再把绕点逆时针旋转至,连接，
∵，
∴，
根据旋转可得：，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在以为圆心，为半径的圆上移动，
过点作于点G，连接，
则是矩形，
∴，，
∴，
∴
∴，
故选C．
【点睛】本题考查相似三角形，旋转的性质，勾股定理等知识，作辅助线构造相似三角形确定点点的运动路线是解题的关键．
二、填空题（8小题，每小题2分，共16分）
11．/
【分析】根据相似三角形周长的比、两个相似三角形对应边上的高的比等于相似比解答即可．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高的比为，
这两个三角形的相似比为，
两个相似三角形的周长比为；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
12．
【分析】利用相似多边形对应角相等即可求解．
【详解】解：∵四边形四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等形的性质及四边形的内角和定理，熟练掌握全等形的性质是解题的关键．
13．
【分析】由已知线段得出，根据平行线分线段成比例定理即可得解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．
14．
【分析】先利用勾股定理求得，根据题意得到，再证明，利用相似三角形的性质列方程即可求解．
【详解】解：∵由题意得是等腰三角形且，
∴，设，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
15．/45度
【分析】延长交与点，得，利用相似三角形的性质，三角形内角和定理可得结论．
【详解】解：如图，延长交与点，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，熟练利用正方形网格的格点是解题的关键．
16．/6米
【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
∴，
∴，
即,
由得，
∴，
即路灯高．
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点．
17．
【分析】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．先证明为直角三角形，再证明，求出，，即可得解．
【详解】连接，过点D作边上的高，交延长线于点H．
在中，，，
∴，，
又∵，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形判定及性质，勾股定理等知识，构造合理的辅助线，证明是解答本题的关键．
18．
【分析】过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，则垂直平分，可知，，设，则，故，由平行线的性质可得，可知，进而确定，，再证明，可得；设，则，，，，证明，由相似三角形的性质可得，进而可得，在中，由勾股定理可得，代入并整理可得，解得的值，即可求得，的值，然后在中由勾股定理计算的值，即可获得答案．
【详解】解：过点作交延长线于点，作于点，延长至点，使得，连接，如下图，
则垂直平分，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，
整理可得，
∴，
∴，（舍去），
∴，，
∴在中，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及一元二次方程的应用等知识，综合性强，难度大，正确作出辅助线，综合运用所学知识是解题关键．
三、解答题（10小题，共64分）
19．（1）；（2）
【分析】（1）设代入计算即可；
（2）由（1）中的结论构建方程求出k即可．
【详解】（1）解：设
则：
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键．
20．（1）见解析；（2）
【分析】（1）证明，即可证明；
（2）根据面积比等于相似比的平方，即可得，问题随之得解．
【详解】（1）∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴.
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握面积比等于相似比的平方，是解答本题的关键．
21．（1）详见解析；（2）16.
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得：，，根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，即可证出；
（2）将，代入（1）中结论即可.
【详解】（1）证明：平行四边形
∴，
∴，
∴
（2）：由（1）中证明得：
∵，代入后得
∴
【点睛】此题考查的是成比例的线段的证法，掌握平行线分线段成比例定理是解决此题的关键.
22．（1）画图见解析，点P的坐标为
（2）画图见解析，点的坐标为
（3）
【分析】（1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心，根据图形写出坐标即可；
（2）连接、并延长，使、，连接即可；
（3）根据位似比，求出点的坐标即可．
【详解】（1）解：如图，点P为所作；
点P的坐标为；
（2）如图，为所作，点的坐标为；
（3）点M在中的对应点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，属于中考常考题型．在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或．
23．谷的深度为419尺
【分析】先证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后证明A字模型相似，再利用相似三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后可得，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
∴，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴谷的深度为419尺．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，数学常识，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）的半径为
【分析】（1）连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，可得，根据半径相等可得，根据已知条件可得，然后可得，即可得证；
（2）证明，根据相似三角形的性质可得的长，勾股定理求得的长，进而即可求解．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
∵边与相切于点C，
∴，即，是直角三角形，
∵是的直径，
∴，
∵在中，点为上的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
即，
∵为的半径，
∴是的切线；
（2）∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴的半径为．
【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键．
25．（1）；（2）
【分析】（1）根据勾股定理可得的长，由，可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题；
（2）表示出的长，求出的面积，根据计算即可．
【详解】（1）解：在中，，，，
，
，
，
，
，，
当时，四边形是矩形，
，
解得：；
（2），
，
，
，
，
解得：．
【点睛】本题考查矩形的判定和性质、一元一次方程的应用，平行线分线段成比例定理、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题．
26．（1）②③，①，理由见详解（其他情况也可以）；（2）6
【分析】（1）选择的条件是②③，结论是①时，连接，先证明，即有，可得半径，问题得证；选择的条件是①②，结论是③，证明方法同上；选择的条件是①③，结论是②时，连接，，先证明，即有，根据，可得，即有；
（2）连接，，先证明，再证明，即有，即可得，则有．
【详解】（1）选择的条件是②③，结论是①，
理由：连接，如图，
∵，
∴，
∵直线与相切，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴半径，
∴切于点D；
选择的条件是①②，结论是③，证明方法同上；
选择的条件是①③，结论是②，
理由：连接，，如图，
∵直线与相切，切于点D，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）连接，，如图，
∵直线与相切，，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，掌握切线的判定与性质，是解答本题的关键．
27．（1）；（2）定点；（3）
【分析】（1）通过证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
（2）通过证明，由相似三角形的性质可求解；
（3）由相似三角形的性质可得，则当取最小值时有最大值，确定点的运动轨迹，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
，
，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
的面积为，
，
，
，
，
，
，
，
过点且经过垂直于的直线必经过定点；
（3）解：，
，
当取最小值时有最大值，
，
点在以为直径的圆上运动，
，
，
的最小值为，
的最大值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，直角所对的弦是直径，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（1），；
（2）与之间的数量关系发生变化，，理由见解析；
（3）或，见解析
【分析】（1）根据题意得出，，即可推出，根据矩形的性质得出，，，则，，即可得出；
（2）根据题意得出，，进而得出，，则，连接，通过证明，即可得出结论；
（3）当点在线段上时，根据勾股定理求出，则，即可得出；当点在线段上时，同理可求，则．
【详解】解：（1），，
理由如下：
当，则，，
，
，
四边形是矩形，四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：，；
（2）与之间的数量关系发生变化，，
理由如下：如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，，
，，
，
如图（3）连接，
矩形绕点顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）如图，当点在线段上时，
，，
，
，
，，
，
，
；
如图，当点在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
【点睛】本题考查了矩形的性质、正方形的性质、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键。
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