人教版（2024）八年级上册（2024）13.3 三角形的内角与外角习题

这是一份人教版（2024）八年级上册（2024）13.3 三角形的内角与外角习题，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为( )
A．B．C．D．
2．体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
3．如图，是的直径，弦，若，则的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
4．在中，，，平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，，点是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=3∠B，则∠P的度数为( )
A．18°B．24°C．36°D．54°
7．如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的个数为( )
①AD平分∠BAF；②AF平分∠DAC；③AE平分∠DAF；④AE平分∠BAC．
A．1B．2C．3D．4
8．一个三角形内角的度数比是，其中最大的内角是（ ）度．
A．30B．60C．90D．150
9．如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（ ）
A．B．
C．不一定是锐角三角形D．
10．小明一笔画成了如图所示的图形，则的度数为（ ）
A．360°B．540°C．600°D．720°
11．下列说法不正确的是（ ）
A．三角形的三个内角之和为
B．三角形的内心在三角形内部
C．同旁内角互补
D．直角三角形的两个锐角互余
12．如图，在中，，，平分交于点，点是射线上的动点，连接，的平分线与交于点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．或D．或
二、填空题
13．如图，在中，分别为边的中点，已知，若与互余，则图中阴影部分的面积等于 ．
14．如图，在中，，大于长为半径画弧，直线与相交于点E，过点C作，与相交于点F，若，则的度数是 ．
15．两块不同的三角板按如图所示位置摆放，其中点C与点E重合，保持三角板不动，将三角板绕着点B按逆时针以每秒的速度旋转后停止．在此旋转过程中，当旋转时间 秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行．
16．如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为 ．
17．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD=AD，则∠BOC的度数为 .
三、解答题
18．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
(1)如图1，求C点坐标；
(2)如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；
(3)在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
19．如图是三座城市的平面图，市在市北偏西方向（）处，市在市北偏东方向（），市在市南偏东方向（）处．
(1)求的度数．
(2)甲、乙两辆车分别从市和市同时开往市，其中乙车速度为，甲车速度至少为多少，才能不比乙车晚到达市？
20．如图，中，于点D，平分，点F在的延长线上，过点C作直线，且．求的度数．
21．如图所示，已知，求的度数．
22．如图，在中，平分于点，交于于点．若，求的度数．
23．在中，，是的高，是的平分线，求的度数．
24．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数．
《13.3三角形的内角与外角》参考答案
1．B
【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数．
【详解】解：是的一个外角，
，
，，
，
，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了三角形的外角的性质.根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
故选：A．
3．C
【分析】由OA=OC，得∠C=∠A=25°，再由三角形外角性质得∠AOD=50°，然后根据平行线的性质可求解．
【详解】解：∵是的直径，
∴OA=OC，
∴∠C=∠A=25°，
∴∠AOD=∠C+∠A=50°，
∵OADE，
∴∠D=∠AOD=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查圆的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的性质，本题属基础题目，难度不大．
4．B
【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，角平分线的性质，
先利用直角三角形的两锐角互余，求出，再根据角平分线的定义即可求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
故选：B．
5．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，由，点是边的中点，得到，从而得到， 由题意可知，，得到，再根据三角形内角和定理得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵在中，，点是边的中点，
∴，
∴，
由题意可知，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】连接AO，根据切线的性质可得，由OA=OB和外角的性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可求得答案．
【详解】解：如图，连接AO，
∵PA是⊙O的切线，切点为A，AO是⊙O的半径，
∴，
∵OA=OB，
∴，
∴，
在中，，
∴，
即：
解得：，
∴∠P=3∠B＝54°．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、外角的性质和直角三角形的性质，熟记并应用相关性质是解题的关键．
7．B
【详解】解：AD不一定平分∠BAF，①错误；
AF不一定平分∠DAC，②错误；
∵∠1=∠2，∴AE平分∠DAF，③正确；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，∴AE平分∠BAC，④正确；
故选B．
8．C
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，正确求出三个内角是解题的关键．
根据三角形内角和定理求出这个三角形的三个内角即可得到答案．
【详解】解：由题意得，这个三角形三个内角分别为，
∴其中最大的内角是90度，
故选：C．
9．C
【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、中线的性质以及三角形的面积和形状判断，解题的关键是熟练掌握这些性质并进行分析．
根据三角形的高、角平分线、中线的性质，对每个选项进行分析判断．
【详解】是高，
，
，所以A说法正确；
是角平分线，
，所以B说法正确；
中，
，
锐角；
在和，和都小于，
因此一定是锐角三角形，所以C说法错误；
是中线，
，
和以和为底时，高相同，
，所以D说法正确．
故选：C．
10．B
【分析】根据五边形的内角和是540°，可求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠1＝540°，又由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠1＝∠E＋∠2，∠2＝∠F＋∠G，从而求出所求的角的和．
【详解】解：如图，
在五边形ABCDH中：∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠1＝540°，
∵∠1＝∠E＋∠2，∠2＝∠F＋∠G，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＝540°．
故选：B．
【点睛】本题考查三角形外角的性质及五边形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．
11．C
【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的内心、同旁内角、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据三角形内角和定理、三角形的内心、同旁内角、直角三角形的性质，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、三角形的三个内角之和为，故原说法正确，不符合题意；
B、三角形的内心在三角形内部，故原说法正确，不符合题意；
C、两直线平行，同旁内角互补，故原说法不正确，符合题意；
D、直角三角形的两个锐角互余，故原说法正确，不符合题意；
故选：C．
12．C
【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余，关键是要分两种情况讨论．当在线段上时，由角平分线定义求出，由直角三角形的性质求出，得到，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数；当在的延长线上时，求出，由角平分线定义求出，由三角形内角和定理即可求出的度数，即可得到答案．
【详解】解：当在线段上时，
，平分，
，
，
，
，
平分，
，
；
当在的延长线上时，
，平分，
，
，
，
，
平分，
，
，
综上所述，或．
故选：C．
13．3
【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形中线的性质．根据与互余求得，根据三角形的面积公式求出的面积，再根据中线平分三角形的面积，进行求解即可．
【详解】解：∵与互余，即，
∴，
∴．
∵点D、E、F分别为边、、的中点，
∴是的中线，是的中线，是的中线，是的中线，
∴，
∴，
∴，
∴，
即：阴影部分的面积为3．
故答案为：3
14．/106度
【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质．连接，如图，利用基本作图得到E点为的中点，则根据斜边上的中线性质得到，则，再证明得到，然后根据三角形外角性质计算出，接着计算出．
【详解】解：连接，
，
由作法得垂直平分，
∴E点为的中点，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
15．2或14
【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，注意分类讨论是解题的关键．
根据题意分两种情况讨论：①当第一次平行于时；②当第二次平行于时，画出图形，根据平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：如图所示：当第一次平行于时，
∵，
∴，
∴（秒）；
如图所示：当第二次平行于时，
∵，
∴，
∴旋转了，
∴（秒）；
综上，旋转时间或秒时，三角板的边与三角板的边恰好平行
故答案为：2或14．
16．/80度
【分析】本题考查三角形内角和，先根据平角定义求出，再利用三角形内角和求出即可．理解并掌握三角形内角和是解题关键．
【详解】解：∵，
∴．
在中，由三角形内角和定理，得．
故答案为：．
17．140°/140度
【分析】根据旋转前后图形不发生变化，得出三角形COD是等边△OCD，从而表示出∠AOD与∠ADO，进而求出∠OAD，再根据等腰三角形的性质，从而求出∠BOC．
【详解】解：∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，
∴∠OCD＝60°，OC＝CD，∠ADC＝∠BOC，
∴三角形COD是等边△OCD，
∴∠COD＝∠60°，∠CDO＝60°，
∠ADO＝∠ADC−∠CDO＝∠BOC−60°，
∵∠AOD＝360°−110°−60°−∠BOC＝190°−∠BOC，
当OD＝AD时，∠DAO=∠AOD，
2×（190°−∠BOC）＋∠BOC−60°＝180°，
解得∠BOC＝140°
故答案为：140°．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，熟练掌握旋转前后图形不变的性质是解决问题的关键．
18．(1)（1，﹣4）
(2)相等和垂直，见解析
(3)135°；（1，0）
【分析】（1）作CH⊥y轴于H，证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
（2）证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的性质得到PA=CQ，再证明CQOH，即可证垂直；
（3）根据C、P，Q三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
【详解】（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【点睛】本题考查的是坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
19．(1)
(2)甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市
【分析】本题考查了方向角，平行线的性质，角的和差，三角形内角和定理以及一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题关键．
（1）根据，得到，所以，在中，根据三角形内角和定理求解即可．
（2）设甲车速度为，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解．
【详解】（1）解：处在处北偏西方向，处在处北偏东方向，处在处南偏东方向，
，，，
，
，
，
在中，．
（2）设甲车速度为，根据题意得，
解得：，
答：甲车速度至少为，才能不比乙车晚到达市．
20．11°
【分析】本题主要考查了平行线的性质、邻补角的性质、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据平行线的性质可求解，根据邻补角的定义可得，再根据角平分线的定义可得，然后感觉三角形外角的性质可得，然后根据垂直的定义以及角的和差即可解答．
【详解】解：∵，
∴ ，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵于点D，
∴，
∴．
21．
【分析】此题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识．根据三角形内角和定理得到，再利用三角形外角的性质得到，即可得到的度数．
【详解】解：∵，
∴．
∵，，
∴．
22．
【分析】本题主要考查了角平分线、垂线以及三角形外角的定义和性质，熟练掌握三角形外角的定义和性质是解题关键．
根据题意易得，然后根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”，利用求解即可．
【详解】解：∵平分，，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．的度数为
【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线，直角三角形的两个锐角互余．
由三角形的内角和定理，结合已知可得的度数，从而可得和的度数，相减即可得的度数．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵是的高，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
答：的度数为．
24．
【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键．
根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可；
【详解】解：由题意知：，
，
，
．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
C
D
B
C
C
B
题号
11
12








答案
C
C